非均勻Winkler彈性地基上變厚度矩形板自由振動的DTM求解

， ，

(蘭州理工大學 理學院，蘭州 730050)

1 引 言

變厚度板作為一種承載結構元件，在土木、海洋、機械、核工業(yè)和航空航天等工程中具有較為廣泛的應用。變厚度板與等厚度板相比的優(yōu)勢是其能改善板結構元件的承載能力，減小其重量和幾何尺寸，同時也可以改變其振動的固有頻率[1]。因此，變厚度板或彈性地基上變厚度板振動問題的研究一直得到關注，已有許多研究成果[2-6]。工程實際中通常見到的彈性地基大多是均勻的[7]，但也會遇到非均勻彈性地基的情況，例如高層建筑筏基和含填充物彈性地基等。因此，對非均勻彈性地基上構件的靜動力學行為進行研究是必要的。

無論是變厚度板還是非均勻彈性地基上的板，其自由振動問題的控制微分方程均是變系數(shù)偏微分方程，一般邊界條件下很難求得其解析解，故目前大多采用近似方法求解，如有限元法[8]、Levy解法[9]、模態(tài)約束法[10]和Ritz法[11]等。但是上述方法中，有些需要較多的網(wǎng)格和較大的計算量才能達到需要的精度，有些則對邊界的適用性較差。微分變換法DTM(Differential Transform Method)是一種有效的將線性或非線性微分方程變換成代數(shù)方程求解的半解析方法，最初用于對電路問題的分析[12]，近年來DTM也逐漸用于結構的靜動力學響應求解，且具有較高的計算精度和計算效率，所得結果完全能滿足工程方面的要求。Attarnejad等[13]采用DTM研究了轉動變截面Euler-Bernoulli梁的自由振動，并給出了轉速參數(shù)和錐度比對梁固有頻率的影響。Kaya等[14]采用DTM分析了軸向載荷作用下閉截面復合材料Timoshenko梁彎扭耦合的振動特性，考察了彎扭耦合效應、軸向力和梁的細長比對固有頻率的影響。Kaya[15]推導了旋轉Timoshenko梁自由振動問題的運動控制微分方程，并用DTM進行求解，給出了輪轂半徑、轉動慣量、剪切變形和轉速對梁固有頻率的影響。滕兆春等[16]用DTM研究了彈性地基上變截面梁的自由振動。Yalcin等[17]用DTM研究了在簡支、夾緊和自由邊界條件下圓薄板的自由振動，并給出了具有較高精度的無量綱固有頻率。Kumar[18,19]采用DTM分別分析了Winkler彈性地基上各向同性矩形板和晶體矩形板的自由振動，得出了前三階無量綱固有頻率。

本文采用DTM研究非均勻Winkle彈性地基上變厚度矩形板的自由振動特性。首先，通過經(jīng)典薄板理論，推導非均勻Winkle彈性地基上變厚度矩形板自由振動的控制微分方程，并進行無量綱化。其次，通過DTM將無量綱化的控制微分方程及其邊界條件轉換為等價的代數(shù)方程，進行其代數(shù)方程的數(shù)值求解，并將退化后的數(shù)值結果與已有文獻進行比較，驗證DTM的正確性。最后，在不同邊界條件下，分析地基變化參數(shù)、厚度變化參數(shù)和長寬比對矩形板無量綱固有頻率的影響，并給出了非均勻Winkler彈性地基上對邊簡支對邊固定變厚度矩形板的前六階振型。

2 控制微分方程及參數(shù)的無量綱化

如圖1所示，考慮一放置在非均勻Winkler彈性地基上的變厚度矩形板，并建立笛卡爾直角坐標系，板的長度和寬度分別為a和b，厚度為h，本文用k表示地基彈性剛度系數(shù)。

為了簡化計算，該地基彈性剛度系數(shù)和矩形板的厚度只沿x方向線性變化，即

k(x) =k0[1+α(x/a)]

(1)

h(x) =h0[1+β(x/a)]

(2)

式中k0為x= 0處地基彈性剛度系數(shù)，α為地基變化參數(shù),h0為x= 0處矩形板的初始厚度，β為厚度變化參數(shù)。

根據(jù)經(jīng)典薄板理論，變厚度矩形板在非均勻彈性地基上的小振幅橫向自由振動的控制微分方程為

(3)

(4)

圖1 非均勻Winkler彈性地基上變厚度矩形板

Fig.1 Rectangular plates with variable thickness resting on a non-uniform Winkler elastic foundation

(5)

K(1+αX)W= (1+βX)Ω2W

(6)

已知，在Y= 0，Y= 1處為簡支邊界條件(S),于是振型函數(shù)為

W=F(X)sin(mπY)

(7)

運用式(7)，控制微分方程(6)可簡化為常微分方程

K(1+αX)F=(1+βX)Ω2F

(8)

在邊界X= 0，X= 1處，可為固定邊界條件(C)、簡支邊界條件(S)或自由邊界條件(F)，其無量綱邊界條件分別如下。

固定(C)邊界條件：

F= 0， dF/dX= 0

(9)

簡支(S)邊界條件：

F= 0， d2F/dX2 = 0

(10)

自由(F)邊界條件：

d2F/dX2-νλ2m2π2F= 0

(11)

3 無量綱控制微分方程及邊界

條件的DTM變換

本文運用DTM對非均勻彈性地基上變厚度矩形板的自由振動進行求解，首先需要將其控制微分方程和邊界條件轉化為等價的代數(shù)方程，具體變換規(guī)則可參考文獻[12]。

運用DTM，控制微分方程(8)可變換為

(12)

式中

A0= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

A1= 3β(k+1)(k+2)2(k+3)

A2= [3β2(k-1)k-2λ2m2π2+12β2k+6β2]×

(k+1)(k+2)

A3= [β3(k- 2)(k- 1)k-6βλ2m2π2k+6β3(k- 1)k-

6βλ2m2π2+6β3](k+1)

A4= [-6β2λ2m2π2(k-1)k+λ4m4π4+K-Ω2-

12β2λ2m2π2k-6νβ2λ2m2π2]

A5=- 2β3λ2m2π2(k-2)(k-1)+3βλ4m4π4-

6β3λ2m2π2(k- 1)-6νβ3λ2m2π2+αK-βΩ2

A6= 3β2λ4m4π4，A7=β3λ4m4π4

(13)

運用DTM，邊界條件變換如下，

在X= 0處，

簡支(S)邊界條件：

(14)

固定(C)邊界條件：

(15)

自由(F)邊界條件：

(16)

在X= 1處，

簡支(S)邊界條件：

(17)

固定(C)邊界條件：

(18)

自由(F)邊界條件：

(19)

將式(13)分別代入邊界條件式(14,17)、式(14,18)和式(14,19)，分別求解SSSS，SSCS和SSFS邊界條件下的無量綱固有頻率，則

(20)

式中X(n)11，X(n)12，X(n)21和X(n)22為迭代n次得到的含有未知量無量綱固有頻率Ω的多項式，寫成矩陣的形式為

(21)

要使式(21)有非零解，則

(22)

通過式(22)，可求得無量綱固有頻率Ω。

在CSCS，CSSS和CSFS邊界條件下，同理可得含有未知量無量綱固有頻率Ω的特征方程，寫成矩陣的形式為

(23)

在FSCS，F(xiàn)SSS和FSFS邊界條件下，同理可得

(24)

式中

要使式(23，24)有非零解，必須有

(25)

為了控制求出的無量綱固有頻率Ω的精度，有

(26)

4 計算結果及分析

通過編寫MATLAB程序，可獲得由DTM求解非均勻Winkler彈性地基上變厚度矩形板自由振動特征值問題的無量綱頻率。首先，為了驗證計算方法的正確性和精度，給出了兩個算例，一是Winkler 地基上矩形板的自由振動(α= 0，β= 0)；二是變厚度矩形板的自由振動(K= 0，α= 0)。然后，分析地基變化參數(shù)α、厚度變化參數(shù)β以及長寬比λ對無量綱固有基頻Ω的影響。

表1 Winkler彈性地基上等厚度矩形板的無量綱基頻Ω1(α =0,β =0,λ=1)Tab.1 Dimensionless fundamental frequency Ω1 for rectangular plates with constant thickness on Winkler foundations (α =0,β =0,λ=1)

表2 變厚度矩形板的前六階無量綱固有頻率Ω(K=0,α =0,λ=1)Tab.2 First six dimensionless natural frequencies Ω for rectangular plates with variable thickness (K=0, α=0,λ=1)

圖2 不同邊界條件下厚度變化參數(shù)β與無量綱固有基頻Ω的關系曲線(λ=0.5，α=0.5，K=1000)

Fig.2 Dimensionless fundamental frequenciesΩversus the varied thickness parameterβfor different boundary conditions(λ=0.5，α=0.5，K=1000)

圖2給出了λ=0.5，α=0.5，K=1000時，四邊簡支(SSSS)、對邊自由對邊簡支(FSFS)、對邊固定對邊簡支(CSCS)、一邊固定三邊簡支(CSSS或SSCS)、一邊自由三邊簡支(FSSS或SSFS) 以及一邊固定一邊自由對邊簡支(CSFS或FSCS)邊界條件下，無量綱固有基頻Ω與厚度變化參數(shù)β的關系曲線。可以看出，在相同參數(shù)條件下，對邊固定對邊簡支(CSCS)的無量綱固有基頻Ω最大；對邊自由對邊簡支(FSFS) 的無量綱固有基頻Ω最?。徊煌吔鐥l件下無量綱基頻隨厚度變化參數(shù)的下降趨勢越來越緩慢，但是對邊固定對邊簡支(CSCS)和一邊固定三邊簡支(SSCS)的無量綱固有基頻隨β的增大在下降后又有上升的趨勢。圖3分別給出了在K=1000，λ=0.5和不同α時，四邊簡支(SSSS)、一邊固定三邊簡支(CSSS或SSCS)以及對邊固定對邊簡支(CSCS)邊界條件下，厚度變化參數(shù)β與無量綱基頻Ω的關系曲線?？梢钥闯?，四邊簡支(SSSS)和一邊固定三邊簡支(CSSS)的無量綱固有基頻Ω呈現(xiàn)下降趨勢，且隨β的增大，下降趨勢越來越緩慢；一邊固定三邊簡支(SSCS)和對邊固定對邊簡支(CSCS)的無量綱基頻Ω隨β的增大先下降然后緩慢上升；當K，λ和β不變時，所有邊界條件下的無量綱基頻Ω均隨α的增大而增大。圖4分別給出了在K=1000，β=0.5和不同λ時，四邊簡支(SSSS)、一邊固定三邊簡支(CSSS或SSCS)以及對邊固定對邊簡支(CSCS)邊界條件下地基變化參數(shù)α與無量綱基頻Ω的關系曲線?？梢钥闯?，當K，β和λ不變時，無量綱基頻Ω隨α的增大而增大；當K，β和α不變時，無量綱基頻Ω也隨λ的增大而增大。

圖3 不同邊界條件下厚度變化參數(shù)β與無量綱基頻Ω之間的關系曲線(K=1000，λ=0.5)

Fig.3 Dimensionless fundamental frequenciesΩversus the varied thickness parameterβfor different boundary conditions (K=1000，λ=0.5)

圖4 不同邊界條件下地基變化參數(shù)α與無量綱基頻Ω之間的關系曲線(K=1000，β=0.5)

Fig.4 Dimensionless fundamental frequenciesΩversus the variable foundation parametersαfor different boundary conditions(K=1000，β=0.5)

在計算出非均勻Winkler彈性地基上變厚度矩形板的各階無量綱固有頻率Ω后，可根據(jù)無量綱固有頻率Ω運用DTM反求出板的振型函數(shù)W(X,Y)=F(X)sin(mπY)。圖5給出了在K=1000，ν=0.3，α=0.5，β=0.4和λ=1時，對邊簡支對邊固定(CSCS)邊界條件下非均勻Winkler彈性地基上變厚度矩形板的前六階振型。

圖5 對邊簡支對邊固定板的前六階振型

Fig.5 First six mode shapes for CSCS plates

5 結 論

本文通過運用微分變換法(DTM)研究非均勻Winkler彈性地基上變厚度矩形板的自由振動特性，并通過MATLAB編程計算出無量綱固有頻率Ω。當?shù)鼗兓瘏?shù)α=0或厚度變化參數(shù)β=0時，將數(shù)值結果與已有文獻結果進行對比，證明本文方法研究該問題可行并能達到較高的計算精度。最后，計算并分析了不同邊界條件下地基變化參數(shù)α、厚度變化參數(shù)β和長寬比λ對矩形板無量綱固有頻率的影響，并給出了非均勻Winkler彈性地基上對邊簡支對邊固定(CSCS)變厚度矩形板的前六階振型。得到以下主要結論。

(1) DTM求解非均勻Winkler彈性地基上變厚度矩形板的自由振動具有較強的適用性，又由于計算過程為代數(shù)方程的迭代求解且所選迭代誤差限η值很小，故DTM的計算效率和計算結果的精度相對較高。

(2) 當無量綱地基剛度系數(shù)K、矩形板長寬比λ和地基變化參數(shù)α一定時，對邊固定對邊簡支板(CSCS)的無量綱固有基頻Ω最大；對邊自由對邊簡支(FSFS) 的無量綱固有基頻Ω最小。不同邊界條件下無量綱固有頻率基頻Ω一般隨厚度變化參數(shù)β增大而下降，且趨勢越來越緩慢，但是對邊固定對邊簡支(CSCS)和一邊固定三邊簡支(SSCS)的無量綱基頻在下降后又有上升的趨勢。

(3) 四邊簡支(SSSS)、一邊固定三邊簡支(CSSS或SSCS)和對邊固定對邊簡支(CSCS)邊界條件下，當無量綱地基剛度系數(shù)K和厚度變化參數(shù)β一定時，地基變化參數(shù)α越大，無量綱基頻Ω越大；矩形板長寬比λ越大，無量綱基頻Ω越大。

(4) 本文雖然只考慮了地基剛度系數(shù)線性變化的Winkler彈性地基上板的厚度沿單向線性變化的情況，但求解過程能完全推廣用于各種邊界條件下地基剛度系數(shù)任意變化的Winkler地基上厚度任意變化矩形板的自由振動問題或雙參數(shù)等彈性地基上變厚度矩形板的自由振動問題，為矩形板的工程應用提供依據(jù)。

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