基于任意四邊形單元的約束阻尼板的模態(tài)分析

, *， ,2

(1.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 工程力學(xué)系,大連 116024；2.西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院 西安 710072)

1 引 言

薄板和薄殼等薄壁構(gòu)件具有剛度低和阻尼小的特點(diǎn)，在外部激勵(lì)下容易引起振動(dòng)，因此有必要采取減振措施。約束層阻尼CLD是一種復(fù)合夾芯結(jié)構(gòu)，它是在結(jié)構(gòu)表面鋪設(shè)粘彈性材料，并在粘彈性材料外部貼上約束材料，利用粘彈性材料在振動(dòng)變形過(guò)程中的時(shí)滯特性來(lái)耗散能量，可以有效地減振降噪。

約束層阻尼結(jié)構(gòu)的概念最早由Kerwin[1]提出，他研究發(fā)現(xiàn)中間層為阻尼材料的三層復(fù)合梁結(jié)構(gòu)具有明顯的減振效果。此后，Mead等[2]進(jìn)一步推導(dǎo)了三層阻尼夾芯梁關(guān)于橫向位移的六階微分方程，其中粘彈性層只考慮其剪切變形。Wang等[3]基于Hamilton變分原理建立了約束阻尼板的運(yùn)動(dòng)方程，而且運(yùn)用假設(shè)模態(tài)法對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行求解。李恩奇等[4]用分布參數(shù)傳遞函數(shù)方法建立了約束阻尼板的運(yùn)動(dòng)方程，但是求解方法仍然受限于結(jié)構(gòu)的形狀和約束條件。Alvelid[5]推導(dǎo)了三層粘彈性?shī)A芯梁的新的六階微分方程，考慮了約束層和基體層的剪切效應(yīng)。Khalfi等[6]建立了局部覆蓋約束阻尼板的解析模型，而且分析了其簡(jiǎn)諧和瞬態(tài)響應(yīng)。雖然解析方法具有清晰的理論而且能得到精確解，但受限于結(jié)構(gòu)的形狀和邊界條件，很難在工程實(shí)際中得到廣泛的應(yīng)用。近年來(lái)，有限元方法在約束阻尼結(jié)構(gòu)的研究中得到了廣泛的應(yīng)用。Johnson等[7]建立了約束阻尼板三維塊體與殼體的復(fù)合單元有限元模型，并引入模態(tài)應(yīng)變能方法MSE，使用無(wú)阻尼系統(tǒng)的模態(tài)振型計(jì)算了結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子，這種處理方法對(duì)于大型阻尼結(jié)構(gòu)有明顯的優(yōu)勢(shì)，不需要求解復(fù)數(shù)方程，提高了運(yùn)算速度。Chen等[8]研究了四種約束阻尼結(jié)構(gòu)的有限元模型，8個(gè)和12個(gè)自由度的梁?jiǎn)卧Ｐ停?2個(gè)和42個(gè)自由度的板單元模型。這四種不同單元的數(shù)值穩(wěn)定性、精度和收斂性通過(guò)數(shù)值結(jié)果與商業(yè)軟件和實(shí)驗(yàn)的對(duì)比得到了很好的驗(yàn)證；Moita等[9]推導(dǎo)了約束阻尼板的三角形單元模型，其中彈性層滿足經(jīng)典板理論，粘彈性層滿足Ressiner-Mindlin理論；Huang等[10]對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)5自由度的約束阻尼板矩形單元和每個(gè)節(jié)點(diǎn)7個(gè)自由度的矩形單元進(jìn)行了對(duì)比，并研究了兩種矩形約束阻尼板單元的精度；Liu等[11]建立了主動(dòng)約束阻尼板的矩形單元模型，而且進(jìn)一步研究了模型的魯棒性控制方法。此外，Golla-Hughes-McTavish (GHM)方法應(yīng)用于描述粘彈性材料的頻率相關(guān)性方面。鄧年春等[12]基于虛功原理，采用層合理論用4節(jié)點(diǎn)28個(gè)自由度矩形復(fù)合單元，建立了約束阻尼板的動(dòng)力學(xué)模型并研究了其振動(dòng)特性；王慧彩等[13]推導(dǎo)了基于Mindlin理論的約束阻尼結(jié)構(gòu)的有限元模型；胡明勇等[14]研究了基于Reddy分層理論的約束阻尼板的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)方程，并得到其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

目前，關(guān)于約束阻尼板殼結(jié)構(gòu)的有限元研究已經(jīng)取得了一定的成果，不過(guò)現(xiàn)有的研究工作中基本采用矩形單元或三角形單元。關(guān)于矩形單元的研究較多，但其用于不規(guī)則邊界外形結(jié)構(gòu)時(shí)會(huì)帶來(lái)形狀擬合上的困難，而三角形單元雖然能適應(yīng)不規(guī)則結(jié)構(gòu)外形，但其計(jì)算精度有待改進(jìn)。本文基于離散的Kirchhoff和Layer-wise層合板理論，推導(dǎo)了基于一種任意四邊形4節(jié)點(diǎn)28個(gè)自由度的約束阻尼板的有限單元格式，該單元不僅能適應(yīng)不規(guī)則的板殼結(jié)構(gòu)形狀，而且具有較高的計(jì)算精度。在有限元模型的基礎(chǔ)上，本文考慮了粘彈性材料本構(gòu)的頻率相關(guān)性，給出了復(fù)特征值問(wèn)題的迭代求解算法。數(shù)值算例表明了本文單元的計(jì)算精度和對(duì)不規(guī)則復(fù)雜約束阻尼板結(jié)構(gòu)的有效性。

2 四邊形單元模型的建立

約束阻尼板是由基體層、粘性層和約束層構(gòu)成的夾芯板。模型的建立需滿足以下假設(shè)。(1)各層同一坐標(biāo)點(diǎn)在z方向的橫向位移相等，而且約束層和基體層都滿足Kirchhoff假設(shè)。(2)忽略各層的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。(3)粘彈性材料沿厚度方向是不可壓縮的。(4)層間滿足位移連續(xù)性要求。(5)僅考慮粘彈性材料變形產(chǎn)生的阻尼效應(yīng)。

2.1 運(yùn)動(dòng)關(guān)系

約束阻尼板是由基體層、粘性層和約束層構(gòu)成的夾芯板。在建立模型時(shí)只考慮粘性層的阻尼效應(yīng)，基體層和約束層均滿足Kirchhoff假設(shè)，層與層之間滿足位移連續(xù)性，而且各層在z方向具有相同的橫向位移。

圖1 約束阻尼板單元模型

Fig.1 Element model of plates treated with CLD

(1，2)

粘彈性層沿x方向的位移uv及繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的剪切變形βx為

(3)

(4)

同理可知，粘彈性層沿y方向的位移vv及繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的剪切變形βy為

(5)

(6)

2.2 形函數(shù)

本文推導(dǎo)的約束阻尼板四邊形單元是四節(jié)點(diǎn)單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有七個(gè)自由度uc,vc,up,vp,w,θx和θy，分別代表約束層和基體層面內(nèi)x和y向位移、板的橫向位移、繞x軸的轉(zhuǎn)角和繞y軸轉(zhuǎn)角。對(duì)于單元面內(nèi)位移，采用四節(jié)點(diǎn)等參插值

(7)

(8)

圖2 約束阻尼板單元的運(yùn)動(dòng)關(guān)系

Fig.2 Kinematic relationships of the CLD plate element

對(duì)于單元約束層和基體層的橫向位移和繞x和y軸的轉(zhuǎn)角，本文參考DKQ板單元的推導(dǎo)思想[5]。如圖3所示，在四邊形每條邊上增加一個(gè)中點(diǎn)，最后通過(guò)位移協(xié)調(diào)條件把四個(gè)中點(diǎn)的自由度凝聚掉。首先，對(duì)約束層和基體層中面法線在x-z和x-y平面的轉(zhuǎn)角γx和γy進(jìn)行不完備的三次多項(xiàng)式插值

(9)

式中 形函數(shù)Ni(ξ,η)i= 1,2,…,8和八節(jié)點(diǎn)等參元相同，八個(gè)節(jié)點(diǎn)分別是圖3所示的四邊形的四個(gè)角點(diǎn)和四條邊的中點(diǎn)。引入Kirchhoff假定，對(duì)于圖3的角點(diǎn)和各邊中點(diǎn)有如下關(guān)系。

(a) 在角點(diǎn)處

(10)

(b) 在各邊中點(diǎn)處

γs k+w,s k= 0

(k= 1,2,3,4)(11)

式中s為單元邊界。然后對(duì)w,s k沿單元每邊采用Hermit三次插值

(12)

式中k= 5,6,7,8分別是對(duì)應(yīng)邊j= 12,23,34,41的中點(diǎn)，li j代表邊ij的長(zhǎng)度，如圖3所示。假設(shè)γn在單元的每條邊上線性變化，則

γn k= 1/2(γn i+γn j) =-1/2(w,n i+w，n j)

(13)

式中n為單元邊界的法向。

令d= {w1,θx 1,θy 1,w2,θx 2,θy 2,w3,θx 3,θy 3,w4,θx 4,θy 4}，結(jié)合式(9～13)和單元的幾何形狀參數(shù)可得

(14)

圖3 DKQ單元模型

Fig.3 DKQ element model

uc=NUcUe,up=NUpUe,vc=NvcUe,vp=NvpUe

(15)

w,x=NθxUe,w,y=NθyUe

(16)

由式(3～6)，粘彈性層面內(nèi)位移uv和vv,剪應(yīng)變?chǔ)聏和βy可表示為

uv=NUvUe,vv=NvvUe

(17)

βx=NβxUe,βy=NβyUe

(18)

式中

(19)

(20)

(21)

(22)

2.3 能量關(guān)系

約束阻尼板的能量主要由各層結(jié)構(gòu)的動(dòng)能和勢(shì)能組成。

(1) 單元?jiǎng)幽?/p>

約束阻尼板單元的動(dòng)能由約束層、粘性層和基體層的動(dòng)能組成。各層的動(dòng)能為

基體層動(dòng)能

(23)

約束層動(dòng)能

(24)

粘性層動(dòng)能

(25)

則整個(gè)約束阻尼板的動(dòng)能為

Te =Tep+Tev+Tec

(26)

(2) 單元?jiǎng)菽?/p>

約束阻尼板單元各層的勢(shì)能分別為

基體層勢(shì)能

(27)

約束層勢(shì)能

(28)

基體層和約束層的應(yīng)變由面內(nèi)應(yīng)變和彎曲應(yīng)變兩部分組成

(i=p,c)

式中εi p和εi b分別為膜應(yīng)變和彎曲應(yīng)變，σi p和σi b分別為其對(duì)應(yīng)的應(yīng)力。

由于粘性材料層的面內(nèi)變形和彎曲變形相對(duì)剪切變形很小，本文只考慮粘性材料層的剪切變形。

(29，30)

式中G*為粘彈性材料的復(fù)剪切模量。整個(gè)約束阻尼板的單元?jiǎng)菽転?/p>

Ee =Eep+Eev+Eec

(31)

2.4 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程

運(yùn)用Hamilton原理

(32)

(33)

將式(23～31)代入式(32)可得

(34)

將單元形函數(shù)帶入式(34)可得約束阻尼板單元的動(dòng)力學(xué)方程為

(35)

(36)

式中

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

式中 [Mep],[Mev]和[Mec]分別為基體層、粘性層和約束層的質(zhì)量陣。

通過(guò)單元組裝，引入邊界條件，可得約束阻尼板的整體動(dòng)力學(xué)方程為

(43)

由于G*是與頻率相關(guān)的復(fù)模量，則式(43)可表示為

(44)

式中K+Kv R為結(jié)構(gòu)的總體彈性剛度陣，iKv I為結(jié)構(gòu)復(fù)剛度陣，它在結(jié)構(gòu)的振動(dòng)過(guò)程中會(huì)耗散能量，起到阻尼的作用。

3 復(fù)特征值問(wèn)題

本文粘彈性材料的彈性模量為復(fù)模量，因此約束阻尼板的剛度陣為復(fù)矩陣，這也導(dǎo)致了約束阻尼板結(jié)構(gòu)的非線性復(fù)特征值問(wèn)題。式(44)的非線性特征值問(wèn)題可以表示為

(45)

(46)

由于粘彈性材料本構(gòu)的頻率相關(guān)性，粘彈性材料的彈性模量和剪切模量可以表示為

(47)

(48)

式中ER(ω)為模量的實(shí)部，稱為儲(chǔ)能模量，EI(ω)為模量的虛部，稱為損耗模量。儲(chǔ)能模量與應(yīng)變同相位，而損耗模量與應(yīng)變有/2個(gè)相位差。

(49)

是粘彈性材料的損耗因子。

如果在整個(gè)頻域內(nèi)或在某個(gè)所關(guān)心的頻率段內(nèi)，粘彈性材料的的彈性模量變化不大，則可以忽略其頻率相關(guān)性，式(47)可簡(jiǎn)化為復(fù)常模量模型。在這種情況下，剛度陣簡(jiǎn)化為復(fù)常對(duì)稱矩陣，則式(45)的非線性特征問(wèn)題也退化為一般的線性特征值問(wèn)題，可以直接采用Leung[17]提出的復(fù)對(duì)稱子空間迭代法求解。

然而，當(dāng)考慮粘彈性材料的頻率相關(guān)性時(shí)，約束阻尼結(jié)構(gòu)的特征值問(wèn)題為非線性特征值問(wèn)題，經(jīng)典的特征值求解方法不能直接求解，需要迭代求解[18]。在求解過(guò)程中，每個(gè)特定的模態(tài)都需要執(zhí)行一個(gè)完整的迭代過(guò)程。迭代開(kāi)始時(shí)需要給先給定一個(gè)初始頻率值，此后的每個(gè)頻率點(diǎn)，都需要對(duì)剛度陣進(jìn)行重新計(jì)算，迭代收斂的判定條件為

(50)

4 算例分析

研究對(duì)象為文獻(xiàn)[8]的約束阻尼懸臂梁板模型。約束阻尼梁板的夾芯層為粘彈性材料ZN-1，其彈性模量是隨頻率變化的，文獻(xiàn)[4]給出了基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的ZN-1的標(biāo)準(zhǔn)線性粘彈性模型參數(shù)，列入表1。標(biāo)準(zhǔn)線性參數(shù)模型在頻域上的表達(dá)式為

表1 粘彈性標(biāo)準(zhǔn)線性模型的參數(shù)

Tab.1 Parameters of the standard linear viscoelastic model

模型參數(shù)數(shù)值模型參數(shù) 數(shù)值q02.3752 q10.1681q20.7651e-3q31.4106e-7q4-0.2112e-11q5-0.4364e-17p10.0261p20.1953e-4p3-0.3874e-9p4-0.9566e-14p5-0.2793e-20

圖4 迭代流程圖

Fig.4 Flow chart of iteration

(51)

用本文四邊形單元離散懸臂約束阻尼梁板，建立有限元模型，單元數(shù)為20。對(duì)模型進(jìn)行模態(tài)分析，將計(jì)算得到的前三階自振頻率、模態(tài)損耗因子和實(shí)驗(yàn)結(jié)果[8]列入表2。

由表2可知，對(duì)于模型的前三階頻率，本文單元模型的分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的最大誤差小于2%；對(duì)于模型的前三階模態(tài)損耗因子,本文單元模型的分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。因此，本文任意四邊形單元的模態(tài)分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有很高的吻合度。

算例2約束阻尼矩形板模型

研究文獻(xiàn)[7]的矩形約束阻尼板模型，并對(duì)其在不同的邊界條件下進(jìn)行模態(tài)分析。為了考察網(wǎng)格形狀對(duì)本文單元分析精度的影響，對(duì)矩形約束阻尼板同時(shí)進(jìn)行規(guī)則網(wǎng)格和畸變網(wǎng)格剖分，兩種網(wǎng)格模型如圖5所示。表3為在SSSS，F(xiàn)FFF，CCCC，CFFF和CFCF五種邊界條件下矩形約束阻尼板的模態(tài)分析結(jié)果，其中SSSS，F(xiàn)FFF，CCCC，CFFF和CFCF分別代表四邊簡(jiǎn)支、四邊自由、四邊固支、單邊固支和對(duì)邊固支五種邊界條件。

由表3可知 ，矩形約束阻尼板在SSSS，F(xiàn)FFF和CCCC邊界條件下，本文單元計(jì)算得到的頻率和模態(tài)損耗因子與解析解及文獻(xiàn)[19-23]的結(jié)果吻合程度很好，誤差在3%以內(nèi)；在CFFF和CFCF邊界條件下，本文結(jié)果與文獻(xiàn)[19]的計(jì)算結(jié)果基本一致，誤差低于2%。因此，通過(guò)不同邊界條件下本文單元與文獻(xiàn)[19-23]的計(jì)算結(jié)果對(duì)比，說(shuō)明了本文單元的準(zhǔn)確性;此外，對(duì)于不同的邊界條件，規(guī)則網(wǎng)格和畸變網(wǎng)格模型的計(jì)算結(jié)果都非常的吻合，誤差在1%以內(nèi)，說(shuō)明了本文單元不同網(wǎng)格形狀的有效性。

表2 約束阻尼梁板的自振頻率和模態(tài)損耗因子

Tab.2 Natural frequencies and modal loss factors of the beam-plate treated with CLD treatment

模態(tài)本文模型實(shí)驗(yàn)[8]f/Hzηf/Hzη117.500.17017.500.170298.160.15596.500.1553267.590.106260.00.106

圖5矩形約束阻尼板的有限元網(wǎng)格模型

Fig.5 Finite element mesh models of the rectangular plate treated with CLD

表3 矩形約束阻尼板的模態(tài)分析結(jié)果Tab.3 Modal analysis results of the rectangular PCLD plate

算例3中心有圓孔的正六邊形約束阻尼板模型

為了驗(yàn)證本文單元對(duì)于不規(guī)則形狀約束阻尼板的有效性，進(jìn)一步研究中心有圓孔的正六邊形約束阻尼板模型。分別采用本文的任意四邊形單元和NASTRAN中的HEXA8三維塊體單元建立約束阻尼板的有限元模型，兩種有限元網(wǎng)格模型如 圖6 所示。其中正六邊形邊長(zhǎng)b=400 mm,圓孔半徑a=200 mm，約束阻尼板的約束層和基體層厚度為2 mm,粘彈性層厚度為1 mm，約束阻尼結(jié)構(gòu)的各層材料參數(shù)與算例2相同。對(duì)兩種有限元模型分別進(jìn)行模態(tài)分析，計(jì)算得到的自振頻率和模態(tài)損耗因子列入表4。 其中，四邊形單元網(wǎng)格模型的單元數(shù)為96，NASTRAN 三維塊體單元網(wǎng)格模型的單元數(shù)為59136。

表4 約束阻尼板的自振頻率和模態(tài)損耗因子

Tab.4 Natural frequencies and modal loss factors of the plate treated with CLD

模態(tài)本文方法NASTRAN(HEXA8)f/Hzηf/Hzη126.360.105025.950.1070226.360.105026.170.1055351.710.105551.270.1047455.130.129655.550.1297562.520.117662.090.1181

圖6 約束阻尼板的有限元模型

Fig.6 Finite element model of the plate treated with CLD

由表4可知，對(duì)于約束阻尼板前五階自振頻率和模態(tài)損耗因子，本文單元和NASTRAN的HEXA8 三維塊體單元計(jì)算結(jié)果均實(shí)現(xiàn)了很好的吻合，最大偏差小于2%。算例3說(shuō)明了本文單元的準(zhǔn)確性和對(duì)于不規(guī)則形狀約束阻尼板結(jié)構(gòu)的適用性。

5 結(jié) 論

本文推導(dǎo)了一種4節(jié)點(diǎn)28個(gè)自由度的約束阻尼板的任意四邊形單元。相比矩形約束阻尼板單元的應(yīng)用受限于板結(jié)構(gòu)的幾何形狀，任意四邊形單元能夠適應(yīng)不規(guī)則的結(jié)構(gòu)形狀和復(fù)雜的邊界條件。有限元模型的推導(dǎo)基于離散的Kirchhoff 理論和Layer-wise 理論，其中，彈性層變形滿足Kirchhoff假設(shè)，粘性層只考慮其剪切變形，并在此基礎(chǔ)上考慮粘彈性材料本構(gòu)的頻率相關(guān)性，給出了約束阻尼結(jié)構(gòu)復(fù)特征值問(wèn)題的迭代求解算法。數(shù)值算例對(duì)約束阻尼梁板模型，矩形約束阻尼板模型和中心帶有圓孔的正六邊形約束阻尼板模型進(jìn)行了模態(tài)分析，通過(guò)自振頻率和模態(tài)損耗因子的數(shù)值比較，可以得到如下結(jié)論。(1) 數(shù)值模型的分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)、解析解、有限元解和商業(yè)軟件的結(jié)果吻合度高，誤差小，說(shuō)明了本文約束阻尼板任意四邊形單元的準(zhǔn)確性。(2) 本文單元對(duì)不規(guī)則幾何形狀的約束阻尼板結(jié)構(gòu)具有很好的適用性，在工程實(shí)際中具有重要的意義。

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