直面相異構(gòu)想，調(diào)正轉(zhuǎn)化路徑
——以“平行四邊形面積計算公式的推導(dǎo)”教學(xué)為例

□ 楊文杰

在幾何圖形的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生原有的經(jīng)驗?zāi)軐缀螌W(xué)習(xí)產(chǎn)生促進(jìn)作用，但是也有可能產(chǎn)生一些負(fù)面影響。學(xué)生在解決新的問題時，可能會受到一些無關(guān)特征的影響，從而導(dǎo)致認(rèn)知錯誤或者誤解，從而產(chǎn)生對新事物的錯誤認(rèn)知，也就是對新知識的錯誤的相異構(gòu)想。在“平行四邊形的面積”一課教學(xué)中，很多學(xué)生產(chǎn)生平行四邊形的面積就是鄰邊相乘這樣的錯誤的相異構(gòu)想。而我們在教學(xué)中，要基于這樣的錯誤構(gòu)想，進(jìn)行教學(xué)實踐，從而達(dá)到從“錯誤”到“正確”的調(diào)正目的。

一、相異構(gòu)想產(chǎn)生的原因分析

學(xué)生產(chǎn)生平行四邊形面積計算方法就是鄰邊相乘這樣錯誤的相異構(gòu)想，是受到以往知識概念、學(xué)習(xí)經(jīng)驗、心理因素等多種因素的影響。

幾何視覺的錯誤判斷：我們知道長方形是特殊的平行四邊形，兩組對邊分別平行且相等。在觀察兩個性質(zhì)類似，大小、邊長等差距比較小的圖形時，學(xué)生的幾何視覺就直接認(rèn)同了兩個圖形面積計算的相似性，有些學(xué)生則會直觀認(rèn)為面積大小相等?！昂芟瘛焙汀罢鎸崱笔遣煌模@部分學(xué)生僅僅憑借幾何視覺就定義了平行四邊形面積計算方法，從而導(dǎo)致產(chǎn)生錯誤的相異構(gòu)想。

上位知識學(xué)習(xí)程度影響：平行四邊形面積的上位知識是面積的概念。歐幾里得幾何概念的建構(gòu)認(rèn)為：學(xué)生學(xué)習(xí)面積概念是基于測量能力的發(fā)展，同時指出學(xué)生習(xí)得面積概念的發(fā)展形成于十五歲左右。受到個體心理發(fā)展差異的影響，五年級的有些兒童，測量能力還停留在長度和距離一維程度，無法建立二維層面上的測量。而在學(xué)習(xí)平行四邊形面積前，學(xué)生學(xué)習(xí)了長方形面積，所以簡單地把平行四邊形面積計算方法思考為“長×寬”。

圖形運動觀念的缺乏：平行四邊形面積的計算公式推導(dǎo)過程是基于轉(zhuǎn)化的思想，而這個轉(zhuǎn)化其本質(zhì)是圖形的剪拼，也就是圖形的變換與運動。圖形的變換概念的形成也是源自學(xué)生的生活經(jīng)驗，針對這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅要具有圖形的直覺，而且要具有圖形會動的直覺。產(chǎn)生“S＝ab”的錯誤相異構(gòu)想，并不是學(xué)生頭腦中無轉(zhuǎn)化思想，而是恰巧有了轉(zhuǎn)化的想法，卻存在著轉(zhuǎn)化過程中的錯誤。這個錯誤形成的原因主要是學(xué)生在轉(zhuǎn)化過程中缺乏圖形變換的經(jīng)驗，缺少對于圖形整體拼組過程中整體的運動的面積守恒的認(rèn)識。

幾何推理能力的不足：學(xué)生錯誤地把平行四邊形面積計算為鄰邊相乘，是學(xué)生幾何推理能力不足的體現(xiàn)。因為沒有一定的操作指導(dǎo)（學(xué)生對模型、圖形或表象進(jìn)行思維操作），所以學(xué)生只能“直覺”對“空想”，這對于平行四邊形面積計算的推導(dǎo)是沒有根據(jù)的，所以產(chǎn)生錯誤的相異構(gòu)想也是情有可原的。這一階段兒童的幾何推理能力還不能脫離直觀的操作實驗，這也是我們教師在課堂上需要補足的短板。

綜上分析，在平行四邊形面積的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生錯誤的相異構(gòu)想形成是基于學(xué)生在解決新問題中已經(jīng)有了初步的“轉(zhuǎn)化”意識，但缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹稗D(zhuǎn)化”方式（面積守恒），從而導(dǎo)致錯誤的轉(zhuǎn)化結(jié)果（S=ab）。

二、相異構(gòu)想調(diào)正轉(zhuǎn)化的路徑

基于學(xué)生的錯誤相異構(gòu)想，我們需要給學(xué)生提供診斷的調(diào)正路徑，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，從而有效地根除學(xué)生的錯誤概念。當(dāng)然借鑒別人的教學(xué)經(jīng)驗，選擇最優(yōu)的調(diào)正路徑，也不失為一種好的策略方法。以下筆者將從本節(jié)課的引入—調(diào)正—反饋來實現(xiàn)平行四邊形面積計算公式從“異”到“正”的調(diào)正目標(biāo)。

調(diào)正引入：不規(guī)則圖形面積比較，引入“轉(zhuǎn)化”思想

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)過面積，下面兩個圖形哪個圖形的面積大，你是怎么想的？（出示

生：一樣大。因為都有12格。

師：你是通過數(shù)格子的方法來比較的是嗎？

生：是的。

師：一個圖形包含有幾個單位面積，面積就是多少。

師：還有不同的方法進(jìn)行比較的嗎？

生：我是把圖形①中的那個凸出來的部分移到下面，正好變成了和圖形②一模一樣的長方形。所以它們的面積相等。

生：形狀變了，面積沒變。周長變了。（生上臺手指）

師：是的，像這樣經(jīng)過分割、移補后圖形的面積沒有改變，這也是數(shù)學(xué)中所說的“出入相補”原理。

【設(shè)計意圖】學(xué)生的原有認(rèn)知已經(jīng)有了轉(zhuǎn)化的意識，只是在轉(zhuǎn)化的過程中缺乏面積守恒的概念。為了弱化其他因素，特別是為了摒棄長方形面積公式的干擾，筆者借鑒蘇教版和北師大版教材的編排，用不規(guī)則圖形面積大小比較來引入學(xué)習(xí)。呈現(xiàn)格子圖的目的是為了讓學(xué)生的認(rèn)知回歸到事物的原點，即面積的本質(zhì)屬性——單位面積的累加。分割、移補圖形的過程讓學(xué)生直面面積轉(zhuǎn)化“形變而積不變原理”，形成面積守恒的概念。

調(diào)正初階：借助格子圖，回歸面積本質(zhì)的探索糾正

師：同學(xué)們，我們也學(xué)過平行四邊形了，這個平行四邊形的面積是多少？（出示你是怎么想的？

生1：數(shù)格子，36平方厘米。

師：你是怎么數(shù)的？

生1：滿格是1平方厘米，超過半格的也是1平方厘米，不足半格的就忽略。

師：你是用估計數(shù)的方法，還有其他數(shù)的方法嗎？

生2：我數(shù)出來是35平方厘米，我發(fā)現(xiàn)左邊的那個不足1平方厘米的格子可以拼到右邊，正好是1格。

生：每行有7個，這樣的有5排，5×7＝35（平方厘米）。

師：你還有其他的想法嗎？

生3：我也是像陳科航（生2）一樣的方法，只是我不是一格一格補的，我是一大塊移的（上臺移動，見右圖）。

生：長方形。

師：轉(zhuǎn)化的過程中，你發(fā)現(xiàn)什么變了，什么沒變。

生：面積沒變，高也沒變；形狀變了，那一塊平移過來了。

師：現(xiàn)在你能知道原來平行四邊形的面積嗎？

生：35平方厘米，也就是算長方形的面積。

師：還有其他不一樣的想法嗎？

生4：我還可以對半剪開，再拼成一個長方形，面積也能算出來。

師：這一個方法和剛才的方法有什么相同的地方，有什么不同的地方？

生：都是轉(zhuǎn)化成了長方形。

生：面積都一樣。

生：也可以用算式7×5來快速算出面積。

生：不一樣，剪的大小不一樣。

師：剪的大小不一樣，怎么剪的？

生：都是豎著剪的，但剪的地方不一樣，所以比剛才的三角形大了很多。

師：豎著剪，那是沿著什么剪的？

生：哦，都是沿著高剪的。

師：我們剛才在格子圖的幫助下成功地計算出了平行四邊形的面積。這一學(xué)習(xí)過程，你有什么心得想和大家分享嗎？

生：我們可以沿著高，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形來計算面積。

【設(shè)計意圖】圖形的運動想象是比較復(fù)雜的，特別是二維圖形的組合。而格子圖其實就是單位面積，借助格子圖進(jìn)行操作實驗，是一把很好的輔助梯。學(xué)生可以借助格子圖產(chǎn)生多種剪拼方法，例如生2的想法，就是單位面積的累加，是一種回歸面積本質(zhì)的想法；例如生4的想法，是大板塊的拼組，在這個過程中，學(xué)生必須分離出更抽象的格子結(jié)構(gòu)進(jìn)行拼組，說明學(xué)生的思維經(jīng)過前面的輔助已經(jīng)開始慢慢脫離了背景的限制。這一環(huán)節(jié)的調(diào)正過程，學(xué)生已經(jīng)明白了平行四邊形的面積與斜邊無關(guān)。

調(diào)正進(jìn)階：從特殊到一般，發(fā)展幾何推理能力

操作探究1：剛才，我們借助格子圖來計算平行四邊形的面積?，F(xiàn)在老師給每個小組一些平行四邊形，你們?nèi)ハ朕k法求出它們的面積。（學(xué)具：底邊7cm，高3cm，斜邊5cm；底邊10cm，高3cm，斜邊5cm）

生小組合作探究，教師巡視。

匯報：（通過剪拼成長方形）第一個面積是21平方厘米，第二個面積是30平方厘米。

師：計算了三個平行四邊形的面積，你覺得平行四邊形的面積和什么有關(guān)？

生：與高有關(guān)，與底有關(guān)，與長方形有關(guān)。

師：與長方形有什么關(guān)系？

生：求平行四邊形的面積，其實是轉(zhuǎn)化成長方形的面積，長方形的寬就是平行四邊形的高，長方形的長就是平行四邊形的底。

師：與斜邊無關(guān)。

操作探究2：提供一個標(biāo)有字母的平行四邊形，利用字母進(jìn)行面積公式推導(dǎo)。

師：如果用S表示平行四邊形的面積，用a表示平行四邊形的底，用h表示平行四邊形的高，平行四邊形面積的計算公式你會表示嗎？

生：S等于a乘h。根據(jù)學(xué)生回答板書：

長方形面積=長×寬

平行四邊形面積=底×高

【設(shè)計意圖】學(xué)生的幾何推理能力發(fā)展需要經(jīng)歷想象、思考、操作、計算等過程。這一調(diào)正過程中學(xué)材的選擇從具象到抽象，從特殊到一般，最后到用字母進(jìn)行公式推理。在對比中強化辯證，理清平行四邊形的面積=底×高，與斜邊無關(guān)。這一過程不僅是學(xué)生相異構(gòu)想的調(diào)正過程，更是幾何推理能力鍛煉與發(fā)展的過程。

調(diào)正反饋：尋找反例，從變化的角度看問題

練習(xí)活動1：下面的平行四邊形面積相等嗎？

練習(xí)活動2：活動平行四邊形的拉升過程，你有什么發(fā)現(xiàn)？

反饋：什么沒變？平行四邊形的面積怎么變化？為什么？

【設(shè)計意圖】學(xué)生相異構(gòu)想調(diào)正后，設(shè)計反饋的練習(xí)，可以是正強化，也可以是反例強化。練習(xí)活動1是再次在變與不變中感受等底等高的平行四邊形的面積相等，平行四邊形的面積與斜邊無關(guān)，同時面積相等的平行四邊形的形狀可能不同。練習(xí)活動2的設(shè)計目的是為了讓學(xué)生在反例中明白，底邊和斜邊相等的平行四邊形的面積不一定相等，原因是高不相等；同時滲透極限思想——隨著高的變小，面積越來越小，最終趨向于0。

學(xué)生相異構(gòu)想的形成是基于其知識結(jié)構(gòu)、思維能力和活動經(jīng)驗的。通過分析其相異構(gòu)想形成的原因，針對形成原因進(jìn)行調(diào)正路徑的學(xué)習(xí)和分析，借鑒前人的活動經(jīng)驗，設(shè)計有針對性的引入環(huán)節(jié)，可操作性的調(diào)正活動，有探究性的調(diào)正過程，有正反兩方強化的反饋練習(xí)，能幫助學(xué)生糾正錯誤的想法，提高學(xué)生的推理能力，豐富數(shù)學(xué)的活動經(jīng)驗。

參考資料：

[1]楊靈君、陳慶憲.回歸認(rèn)知本真關(guān)注自主經(jīng)歷——“平行四邊形的面積”教學(xué)實錄與評析[J].小學(xué)教學(xué)(數(shù)學(xué)版),2013(12):22-24.

[2]李幫魁.簡單之中見豐厚——特級教師姜錫春執(zhí)教“平行四邊形的面積”教學(xué)賞析[J].教育科學(xué)論壇，2013（10）：46-47.

[3]沈燕.基于學(xué)生，為了學(xué)生——賁友林老師“平行四邊形的面積計算”教學(xué)賞析[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2015（6）:70-73.

[4]潘小明.數(shù)學(xué)思維的發(fā)展不是空洞的——“平行四邊形的面積”教學(xué)實踐及思考[J].人民教育（教學(xué)），2012（12）：34-37.