基于實(shí)測的脈動風(fēng)隨機(jī)幅值譜模型

淡丹輝， 王向杰， 閆興非， 夏 燁

(1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092；2.上海城市建設(shè)設(shè)計研究總院，上海 200125)

對于超高、大跨工程結(jié)構(gòu)而言，風(fēng)荷載引起的結(jié)構(gòu)振動可對結(jié)構(gòu)的安全性造成嚴(yán)重威脅，風(fēng)荷載是此類結(jié)構(gòu)的設(shè)計控制因素[1]，對風(fēng)荷載的監(jiān)測、分析、建模以及對結(jié)構(gòu)風(fēng)效應(yīng)的分析，不僅是結(jié)構(gòu)前期規(guī)劃設(shè)計的重點(diǎn)難題之一，而且也是建成結(jié)構(gòu)服役期安全性能評估的一項重要內(nèi)容[2].

已有風(fēng)功率譜從能量的頻域分布角度描述了紊流脈動風(fēng)的特性，它只反映了脈動風(fēng)速的二階數(shù)據(jù)特征，本質(zhì)上，丟失了包括相位在內(nèi)的更豐富的概率信息，難于完全還原脈動風(fēng)的隨機(jī)性原貌[3].因此，使用已知風(fēng)功率譜產(chǎn)生模擬風(fēng)速時程，常常需要用到諧波合成法(WAWS法、CAWS法)[4-5]或線性回歸濾波器法[6]，但這些方法不能同時在計算效率和計算精度上滿足要求.因此，如果能采用幅值譜和相位譜的方式來表征脈動風(fēng)速，不僅可以忠實(shí)地保留脈動風(fēng)速的全面統(tǒng)計特性，從而在使用時得到更加接近真實(shí)的風(fēng)速模擬時程，而且可以大大降低模擬計算的工作量.文獻(xiàn)[7]在2007年利用實(shí)測數(shù)據(jù)擬合得到了基于Fourier的隨機(jī)風(fēng)幅值譜，證明了幅值譜在反映脈動風(fēng)統(tǒng)計特性方面的優(yōu)勢.

由于在實(shí)測數(shù)據(jù)譜估計結(jié)果時發(fā)現(xiàn)相位譜在全頻域范圍內(nèi)符合在[-π, π]上均值為零的均勻分布，故只需得到脈動風(fēng)幅值譜的表達(dá)式，即可得到模擬風(fēng)速時程.本文根據(jù)量綱分析法，給出一般化的風(fēng)速幅值譜經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式，利用PSO算法結(jié)合實(shí)測風(fēng)幅值譜對其參數(shù)進(jìn)行估計，研究一個全面包含脈動風(fēng)隨機(jī)統(tǒng)計特性的幅值譜模型，以及此模型的3種具體使用方法.

1 脈動風(fēng)的幅值譜經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式

根據(jù)Kolmogrov理論，頻域內(nèi)的脈動風(fēng)速功率譜可以寫成如下經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式：

(1)

式中：S(z,n)表示距地面z高度處的脈動風(fēng)功率譜,n為頻率；A和B為常數(shù)；α，β和γ為譜的冪指數(shù)，三者滿足關(guān)系式αβ-γ=2/3；u*表示摩阻速率，可由式(2)得到:

u*=uzk/ln(z0/z)

(2)

其中uz為距地面z高度處的脈動風(fēng)平均風(fēng)速,k為Von Karman常數(shù)，通常取為0.4,z0為地面粗糙度；f為莫寧(Molin)坐標(biāo)，可取如下形式[8].

當(dāng)f=1 200n/u10時，對應(yīng)于Davenport功率譜.

根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)信號的功率譜、幅值譜定義，其單邊功率譜S(z,n)與幅值譜U(z,n)的關(guān)系如下：

(3)

式中：T為時間，按照中國規(guī)范取600 s.

(4)

式中：C、D為待求系數(shù)；f與式(1)一致，當(dāng)f取不同形式，對應(yīng)于不同的脈動風(fēng)幅值譜形式.摩阻速率u*和Molin坐標(biāo)f均為隨機(jī)變量，因此經(jīng)驗(yàn)幅值譜U(z,n)是隨機(jī)變量.可通過實(shí)測得到的幅值譜樣本來擬合經(jīng)驗(yàn)幅值譜.

2 經(jīng)驗(yàn)風(fēng)譜模型的具體表達(dá)式選取

2.1 實(shí)測脈動風(fēng)速幅值譜

上海地區(qū)某橋是一座公軌兩用一體化雙層特大橋，位于上海市黃浦江上游閔行—奉賢段.該橋的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)監(jiān)測內(nèi)容綜合考慮橋梁結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇了多種監(jiān)測目標(biāo)，共有測點(diǎn)172個，其中風(fēng)速風(fēng)向測點(diǎn)有2個，分別位于塔頂與主跨跨中，其中塔頂150 m，跨中29 m(吳淞零點(diǎn)高程)，均小于當(dāng)?shù)靥荻蕊L(fēng)高度，采樣頻率為4 Hz，采用不間斷采樣方式監(jiān)測作用在結(jié)構(gòu)上的風(fēng)速.

根據(jù)交通部規(guī)范文獻(xiàn)[9]規(guī)定的10 min為平均風(fēng)時距，將2016年1月份至3月份監(jiān)測得到的風(fēng)速數(shù)據(jù)分解為13 104個樣本，每個樣本包括塔頂與跨中2組數(shù)據(jù).應(yīng)用文獻(xiàn)[10]中的方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選，得到了1 014組可供應(yīng)用的平穩(wěn)風(fēng)速數(shù)據(jù)，如圖1、圖2所示.通過矢量分解法[11]得到水平脈動風(fēng)速數(shù)據(jù)，并采用APES(amplitude and phase estimation)法[12-13]估計出脈動風(fēng)速的幅值譜.APES譜估計方法是一種高精度的非參數(shù)譜估計方法，通過構(gòu)造觀測數(shù)據(jù)的Hankel矩陣，將指定頻率處的幅值問題轉(zhuǎn)化為一個最佳濾波器問題，根據(jù)文獻(xiàn)[13]給出的最佳濾波器設(shè)計，得到時程信號對應(yīng)的幅值譜與相位譜估計，結(jié)果如圖3、圖4所示.

圖1 跨中平穩(wěn)脈動風(fēng)樣本時程曲線Fig.1 Time history of stationary fluctuating windvelocity in the middle of the span

圖2 塔頂平穩(wěn)脈動風(fēng)樣本時程曲線Fig.2 Time history of stationary fluctuating windvelocity at the top of the tower

圖3 跨中脈動風(fēng)速幅值譜Fig.3 Fluctuating wind velocity amplitudespectra in the middle of the span

圖4 塔頂脈動風(fēng)速幅值譜Fig.4 Fluctuating wind velocity amplitude spectraat the top of the tower

2.2 實(shí)測脈動風(fēng)幅值譜形式的選取

式(4)中給出的經(jīng)驗(yàn)幅值譜具體表達(dá)形式取決于Molin坐標(biāo)的表達(dá)式，可通過比較實(shí)測幅值譜的譜線與式(4)經(jīng)驗(yàn)幅值譜的譜線來確定.但是由于式(4)中的系數(shù)均是未知的，沒有辦法進(jìn)行直接比較.而已有的風(fēng)譜模型均為功率譜形式，多數(shù)模型中的系數(shù)已通過大量研究得以確定，部分已成為規(guī)范中的標(biāo)準(zhǔn)模型.因此，可以將監(jiān)測數(shù)據(jù)得到的功率譜曲線與規(guī)范中的標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)功率譜曲線進(jìn)行比較，來選取合適的經(jīng)驗(yàn)幅值譜表達(dá)形式.實(shí)測脈動風(fēng)功率譜可通過式(3)求得.

以加拿大抗風(fēng)設(shè)計手冊[14]采用的Davenport譜以及中國規(guī)范[9]采用的Simiu譜為例，圖5給出了上述二者譜曲線與本文監(jiān)測數(shù)據(jù)得到的斜拉橋塔頂和跨中2處的脈動風(fēng)功率譜的譜曲線對比情況.

由圖5可知，實(shí)測得到的塔頂風(fēng)功率譜與跨中風(fēng)功率譜除了在低頻和高頻區(qū)各一小段內(nèi)有差異外，在其余大部分頻段內(nèi)，二者基本吻合，這說明本橋所在地區(qū)的脈動風(fēng)呈現(xiàn)與高度無關(guān)的特性.這不僅與Davenport譜的與高度無關(guān)的規(guī)律相同，而且，除在低頻區(qū)與其有較大誤差外，在其余頻段二者基本吻合；而Simiu譜在理論上與高度有關(guān)，盡管其跨中功率譜與實(shí)測結(jié)果較為接近，但塔頂功率譜與實(shí)測結(jié)果相差較大.

圖5 實(shí)測脈動風(fēng)功率譜與已有規(guī)范中脈動風(fēng)功率譜的比較

Fig.5Comparisonbetweenmeasuredfluctuatingwindvelocitypowerspectraandthespectrainthespecifications

可見，通過調(diào)整Davenport功率譜經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式的參數(shù)可以改善其與實(shí)測功率譜曲線的吻合程度，從而使其具備表達(dá)本地區(qū)脈動風(fēng)功率譜的能力；而對于Simiu功率譜，無論對其模型參數(shù)如何調(diào)整，均不可能很好地擬合本文實(shí)測風(fēng)功率譜表現(xiàn)出的高度無關(guān)的特性.這說明，Davenport經(jīng)驗(yàn)功率譜形式更適于描述與本地區(qū)脈動風(fēng)功率譜特性.據(jù)此可推斷，Davenport形式的經(jīng)驗(yàn)幅值譜表達(dá)式也應(yīng)該更適于描述本地區(qū)脈動風(fēng)的幅值譜特性.本文針對Davenport形式的經(jīng)驗(yàn)幅值譜模型展開，用實(shí)測得到的風(fēng)幅值均值譜和標(biāo)準(zhǔn)差譜來估計經(jīng)驗(yàn)幅值譜模型的參數(shù)，以期建立適于橋址地區(qū)風(fēng)場的經(jīng)驗(yàn)幅值譜模型.

3 Davenport形式的經(jīng)驗(yàn)幅值譜參數(shù)確定

3.1 PSO算法簡介

PSO(particle swam optimization)是群集智能方法的一種，由Kennedy等[15]于1995年提出，通過模擬蟻群、鳥群、魚群等的尋徑行為，從而找到問題的最優(yōu)解.

PSO用于參數(shù)優(yōu)化問題的具體實(shí)現(xiàn)方式為,在一個d(參數(shù)個數(shù))維目標(biāo)搜索空間中，隨機(jī)生成n個粒子組成的粒子群，粒子的位置表示為：xi=(xi1,xi2,…,xid),i=1,2,…,n，粒子的速度表示為：vi=(vi1,vi2,…,vid),i=1,2,…,n，每個粒子由位置和速度決定其飛行的速度和方向，同時由目標(biāo)函數(shù)決定的適應(yīng)函數(shù)來評價每個個體的優(yōu)劣程度.

粒子更新方程可表示為

xij(k+1)=xij(k)+vij(k+1)

式中：k代表迭代次數(shù)，視問題復(fù)雜程度而定；rand()為0～1之間的隨機(jī)數(shù)；pbest與gbest為文獻(xiàn)[15]中定義的能反應(yīng)個體最優(yōu)與全局最優(yōu)的解.為了保證全局搜索能力，一般都會為vij設(shè)定一個范圍[16].經(jīng)過若干次迭代或已滿足收斂條件，即可得到參數(shù)優(yōu)化問題的最優(yōu)解.

3.2 Davenport經(jīng)驗(yàn)幅值譜參數(shù)確定

由于Davenport形式的經(jīng)驗(yàn)幅值譜與高度無關(guān)，故將測得的塔頂與跨中的脈動風(fēng)速幅值譜取平均后作為實(shí)測脈動風(fēng)速幅值譜對其進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化.

取Molin坐標(biāo)的形式為f=1 200n/u10.同時，取z=10，uz=u10，將式(2)給出的摩阻速率代入式(4)，可得到Davenport形式的經(jīng)驗(yàn)幅值譜表達(dá)式

(5)

由于與高度無關(guān)，因此可將U(z,ω)簡記為U(n).同時，為了參數(shù)估計的便利，特將原式(4)中的參數(shù)C、D、γ、α和β統(tǒng)一改寫為待識別參數(shù)C1、C2、C3和C4.

通過實(shí)測隨機(jī)風(fēng)幅值譜樣本估計上述模型的參數(shù)，本質(zhì)上是一個多參數(shù)優(yōu)化問題，即尋找一組待識別參數(shù)C1、C2、C3和C4，使得擬合得到的經(jīng)驗(yàn)幅值譜的均值與標(biāo)準(zhǔn)差均盡可能靠近實(shí)測風(fēng)幅值譜均值和實(shí)測幅值譜標(biāo)準(zhǔn)差.為此，可定義譜曲線誤差為

(6)

采用PSO算法進(jìn)行若干次尋優(yōu)迭代，得到的參數(shù)C1、C2、C3和C4的優(yōu)化結(jié)果代入式(5)，得到最終的Davenport經(jīng)驗(yàn)幅值譜模型如下：

(7)

上式給出的經(jīng)驗(yàn)幅值譜模型由于同時滿足了均值和標(biāo)準(zhǔn)差2個方面與實(shí)測風(fēng)的逼近，因此該模型至少能夠反映實(shí)際風(fēng)幅值的一、二階概率特性.采用該式，可以得到包括均值和標(biāo)準(zhǔn)差在內(nèi)的較為全面的隨機(jī)風(fēng)幅值信息.這也是本文建議的經(jīng)驗(yàn)幅值譜的第1種用法.

3.3 Davenport經(jīng)驗(yàn)幅值均值譜與經(jīng)驗(yàn)幅值標(biāo)準(zhǔn)差譜參數(shù)確定

(8)

(9)

通過式(8)、式(9)也可以得到隨機(jī)風(fēng)場的主要概率特性，可據(jù)此模擬隨機(jī)風(fēng)速信號.這就是本文建議的第2種經(jīng)驗(yàn)幅值譜使用方式，即經(jīng)驗(yàn)幅值均值譜和經(jīng)驗(yàn)幅值標(biāo)準(zhǔn)差譜的組合使用方式.

4 Davenport經(jīng)驗(yàn)幅值譜的概率特性

4.1 風(fēng)譜模型與實(shí)測結(jié)果的數(shù)值對比

實(shí)測幅值譜均值、經(jīng)驗(yàn)幅值譜均值和經(jīng)驗(yàn)幅值均值譜的對比曲線如圖6給出，可見，在所有頻率范圍內(nèi)，三者均吻合得非常好，這說明通過式(7)和式(8)均可以得到較為準(zhǔn)確的幅值譜均值，也說明本文給出的經(jīng)驗(yàn)幅值譜從一階矩角度很好地逼近了實(shí)際風(fēng)速幅值概率特性.

圖6 風(fēng)譜模型與實(shí)測數(shù)據(jù)的均值對比

Fig.6Meanvaluecomparisonbetweenfluctuatingwindvelocityamplitudespectrummodelandmeasurementresult

圖7給出實(shí)測幅值譜標(biāo)準(zhǔn)差、經(jīng)驗(yàn)幅值譜標(biāo)準(zhǔn)差和經(jīng)驗(yàn)幅值標(biāo)準(zhǔn)差譜的頻域?qū)Ρ惹€.由圖可見，三者曲線在整個頻域范圍內(nèi)均較好地吻合.這說明，無論是采用經(jīng)驗(yàn)幅值譜，還是采用近似的經(jīng)驗(yàn)幅值標(biāo)準(zhǔn)差譜，均能很好地描述實(shí)際風(fēng)速幅值的二階特性.

圖7 風(fēng)譜模型與實(shí)測數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差對比

Fig.7Standarddeviationcomparisonoffluctuatingwindvelocityamplitudespectrumandmeasurementresult

定義經(jīng)驗(yàn)變異系數(shù)δ為經(jīng)驗(yàn)幅值均值譜與經(jīng)驗(yàn)幅值標(biāo)準(zhǔn)差譜的比值，其在頻域的分布情況在圖8中給出.由圖可以看出，δ在整個頻域內(nèi)基本保持不變，其平均值為1.884 7.這說明，只需通過式(8)計算得到風(fēng)幅值均值譜，然后將其值除以δ，也可以近似得到相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差，這就是建議的第3種經(jīng)驗(yàn)幅值譜使用方式.

4.2 脈動風(fēng)速經(jīng)驗(yàn)幅值譜的分布統(tǒng)計

進(jìn)一步考察經(jīng)驗(yàn)幅值譜的概率分布情況.圖9分別給出頻率為0.005,0.1,1 Hz時的實(shí)測風(fēng)幅值數(shù)據(jù)分布頻數(shù)和經(jīng)驗(yàn)幅值譜給出的分布頻數(shù)圖，3個頻率分別代表低頻區(qū)、中頻區(qū)和高頻區(qū)，圖中橫軸為量綱一化的幅值，定義為幅值與均值的比值，表示了風(fēng)幅值的分布情況.從這3個圖中可以看出，經(jīng)驗(yàn)幅值譜給出的量綱一化的頻數(shù)分布和實(shí)測風(fēng)幅值頻數(shù)分布較為一致，在3個頻率處均為先急劇上升再急劇下降的趨勢，與對數(shù)正態(tài)分布較為吻合.

圖8 變異系數(shù)曲線Fig.8 Variation coefficient curve

a 0.005 Hz

b 0.1 Hz

c 1 Hz圖9 脈動風(fēng)幅值分布頻數(shù)Fig.9 Histogram of amplitude

為了進(jìn)一步考察給出經(jīng)驗(yàn)幅值譜的全頻域取值分布情況，在每一個頻率線處給出估計幅值的均值和上下1倍標(biāo)準(zhǔn)差，得到如圖10所示的曲線.可見，經(jīng)驗(yàn)幅值譜的均值線、上下1倍標(biāo)準(zhǔn)差線在雙對數(shù)坐標(biāo)軸下呈現(xiàn)基本平行下降趨勢，與實(shí)測風(fēng)幅值譜的全頻率分布規(guī)律一致.這說明，本文建議的經(jīng)驗(yàn)幅值譜模型在全頻率區(qū)域內(nèi)能夠很好地描述實(shí)際風(fēng)幅值譜的概率分布規(guī)律.

圖10 經(jīng)驗(yàn)幅值譜在全頻域與實(shí)測數(shù)據(jù)對比

Fig.10Comparisonbetweenempiricalamplitudespectrumandmeasurementresultinfullfrequencyregion

4.3 脈動風(fēng)譜的使用方式

根據(jù)給出的脈動風(fēng)幅值譜、幅值均值譜、幅值標(biāo)準(zhǔn)差譜以及幅值在各頻率處的分布情況，脈動風(fēng)速時程可表示為

u(t)=∑U(n)sin(2πnt+φn)

(10)

式中：φn為[-π, π]上均值為零的均勻分布；U(n)則有如下3種確定方式.

(1) 已知10 m處風(fēng)速u10與地面粗糙度z0全部統(tǒng)計特性時，采用經(jīng)驗(yàn)幅值譜(式(7))即可得到U(n)的概率信息.

5 結(jié)語

對于工程結(jié)構(gòu)風(fēng)致效應(yīng)分析和結(jié)構(gòu)抗風(fēng)設(shè)計而言，不適當(dāng)?shù)娘L(fēng)譜模型會導(dǎo)致不精確的分析結(jié)果和不適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)設(shè)計方案.對于地區(qū)個性化的風(fēng)場，采用實(shí)際監(jiān)測信息建立的風(fēng)譜模型，比采用規(guī)范給出的模型更具備針對性和準(zhǔn)確性.通過量綱分析建議經(jīng)驗(yàn)幅值譜模型，并根據(jù)實(shí)測得到的脈動風(fēng)幅值譜數(shù)據(jù)，估計了Davenport 經(jīng)驗(yàn)幅值譜的具體參數(shù)；在此基礎(chǔ)上，給出了3種具體的經(jīng)驗(yàn)幅值譜使用方式，可供不同已知條件下風(fēng)譜模型建模使用.

通過對經(jīng)驗(yàn)幅值譜的統(tǒng)計特性研究，表明文中建議的隨機(jī)風(fēng)幅值譜模型可以從一階矩、二階矩和全頻域統(tǒng)計分布方面準(zhǔn)確描述當(dāng)?shù)仫L(fēng)場的統(tǒng)計特性，彌補(bǔ)已有的功率譜形式的風(fēng)譜模型的不足，為提高地區(qū)風(fēng)荷載建模精度、改進(jìn)新建結(jié)構(gòu)風(fēng)工程設(shè)計質(zhì)量、提高既有結(jié)構(gòu)抗風(fēng)安全性評估的準(zhǔn)確性提供參考.

參考文獻(xiàn):

[1] DAVENPORT A G. How can we simplify and generalize wind loads?[J]. Journal of Wind Engineering & Industrial Aerodynamics,1995, 54(94): 657.

[2] CAMPBELL S, KWOK K C S, HITCHCOCK P A,etal. Field measurements of natural periods of vibration and structural damping of wind-excited tall residential buildings[J]. Wind & Structures An International Journal,2007, 10(5): 401.

[3] 李杰, 張琳琳. 脈動風(fēng)速功率譜與隨機(jī)Fourier幅值譜的關(guān)系研究[J]. 防災(zāi)減災(zāi)工程學(xué)報, 2004, 24(4):363.

LI Jie, ZHANG Linlin. A study on the relationship between turbulence power spectrum and stochastic Fourier amplitude spectrum[J]. Journal of Disaster Pnevention & Mitigation Engineering, 2004, 24(4):363.

[4] SHINOZUKA M, JAN C M. Digital simulation of random processes and its applications[J]. Journal of Sound & Vibration, 1972,25(1): 111.

[5] SHINOZUKA M. Simulation of multivariate and multidimensional random processes[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1971, 49(1): 357.

[6] SPANOS P D, MIGNOLET M P. Simulation of homogeneous two-dimensional random fields: Part Ⅱ——MA and ARMA models[J]. Journal of Applied Mechanics, 1992, 59(2S): S270.

[7] 李杰，張琳琳. 實(shí)測風(fēng)場的隨機(jī)Fourier譜研究[J]. 振動工程學(xué)報,2007,20(1):66.

LI Jie, ZHANG Linlin. Research on the random Fourier spectrum of observational wind[J]. Journal of Vibration Engineering,2007,20(1)：66.

[8] 項海帆. 現(xiàn)代橋梁抗風(fēng)理論與實(shí)踐[M]. 北京：人民交通出版社, 2005.

XIANG Haifan. Modern theory and practice on bridge wind resistance[M]. Beijing: China Communications Press，2005.

[9] 中華人民共和國交通部.公路橋梁抗風(fēng)設(shè)計規(guī)范: JTG/T D60-01—2004[S].北京：人民交通出版社，2004.

Ministry of Transport of the People’s Republic of China. Wind-resistent design specification for highway bridges：JTG/T D60-01—2004[S]. Beijing: China Communications Press, 2004.

[10] 胡曉紅,葛耀君,龐加斌. 上海“派比安”臺風(fēng)實(shí)測結(jié)果的二維脈動風(fēng)譜擬合[J]. 結(jié)構(gòu)工程師,2002(2):41.

HU Xiaohong, GE Yaojun, PANG Jiabin. The fitting of 2d fluctuating wind spectrum for the actual measurement data of “PBA” typhoon in Shanghai[J]. Structural Engineers, 2002(2):41.

[11] 徐安，傅繼陽，趙若紅，等. 土木工程相關(guān)的臺風(fēng)近地風(fēng)場實(shí)測研究[J]. 空氣動力學(xué)學(xué)報，2010，28(1):23.

XU An, FU Jiyang, ZHAO Ruohong,etal. Field measurements of typhoons according to civil engineering research[J]. ACTA Aerodynamica Sinica, 2010,28(1): 23.

[12] LI J, STOICA P. An adaptive filtering approach to spectral estimation and sar imaging[J]. IEEE Transactions on Signal Processing,1996,44(6): 1469.

[13] STOICA P, LI H, LI J. A new derivation of the apes filter[J]. IEEE Signal Processing Letters,1999, 6(8), 205.

[14] MEYER C, HUGLO M, PHILLIPS N C. Canadian structural design manual. National Building Code of Canada, Supplement Number 4, Publication No. NRC11530 of the National Research COUNCIL, Ottawa, Canada,1970.

[15] KENNEDY J, EBERHART R. Particle swarm optimization[C]//IEEE International Conference on Neural Networks. New York: IEEE Xplore, 1995:1942-1948.

[16] 余嶺, 萬祖勇, 朱宏平,等. 基于POS算法的結(jié)構(gòu)模型修正與損傷檢測[J]. 振動與沖擊, 2006, 25(5):37.

YU Ling, WAN Zuyong, ZHU Hongping,etal. Structural model updating and damage detection through particle swarm optimization. Journal of Vibration & Shock, 2006,25(5): 37.