具有運(yùn)動速度的印刷紙板的穩(wěn)定性分析

武吉梅， 邵明月， 王 硯， 武秋敏， 朱禮彬

(1.西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院， 西安 710048； 2.西安理工大學(xué) 印刷包裝與數(shù)字媒體學(xué)院， 西安 710048；3.西安理工大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院， 西安 710048)

印刷承印物種類日益多樣化，具有一定厚度并具有一定抗彎剛度的印刷紙板，如紙板，軟、硬煙標(biāo)，壁紙，墻紙被廣泛的用做承印物來進(jìn)行印刷。印刷機(jī)高速工作時，硬質(zhì)薄板在印刷傳輸中由于橫向振動會產(chǎn)生撓度的彎曲變形[1]，從而引起印品的皺褶、劃傷等缺陷，嚴(yán)重影響印品的質(zhì)量和精度。因此，研究運(yùn)動印刷紙板的橫向振動問題對提高印品質(zhì)量具有重要意義。

近年來，廣泛研究的包括弦線、梁，都已取得了較為成熟的研究成果。而對具有運(yùn)動速度的印刷紙板承印物材料的研究還相對較少。近幾年，眾多學(xué)者也開始對印刷薄膜的振動和穩(wěn)定性進(jìn)行研究。Shin等[2]對軸向運(yùn)動薄膜面外振動特性進(jìn)行了研究，研究表明薄膜的固有頻率和振型與運(yùn)動速度、邊界條件、薄膜張力比以及薄膜長寬比有關(guān)。Shin等[3]也在擴(kuò)展的哈密頓原理的基礎(chǔ)上研究了軸向運(yùn)動薄膜的面內(nèi)及面外的振動問題。Kulachenko等[4-5]應(yīng)用有限元法對由薄膜橫向振動所產(chǎn)生的褶皺及穩(wěn)定性等非線性動力學(xué)問題作了研究。Vedrines等[6]用激光傳感器測量印刷薄膜的振動，并判斷出平面內(nèi)的振動。Nguyen等[7-8]研究了軸向運(yùn)動紙帶和薄膜在給定速度下的穩(wěn)定性以及橫向振動控制問題。Banichuk等[9]研究了非均勻張力下運(yùn)動紙帶的動態(tài)特性。吳曉[10]分析了具有中間支承薄膜的固有振動問題。王硯等[11]將伽遼金無網(wǎng)格法應(yīng)用于壓電層的裂紋板的振動中，研究其振動及穩(wěn)定性問題。趙鳳群等[12]對四邊固支矩形運(yùn)動薄膜的非線性振動特性進(jìn)行了分析。Wu等[13-16]對運(yùn)動紙帶的橫向振動特性及橫向振動控制進(jìn)行了研究。以上研究的薄膜橫向振動問題大多不考慮印刷承印物的抗彎剛度。

圖1為PRC250煙包專用機(jī)組式凹版印刷機(jī)。印刷過程中，具有較高軸向運(yùn)動速度的紙板從各個印刷色組的印版滾筒和壓印滾筒之間通過，在二滾筒印刷壓力的作用下完成油墨圖文的轉(zhuǎn)移。論文的研究對象就是該設(shè)備的印刷運(yùn)動紙板。機(jī)組式印刷機(jī)相鄰機(jī)組的印刷滾筒對印刷紙板的支承為邊界條件。應(yīng)用運(yùn)動薄板理論，建立印刷紙板的動力學(xué)模型。通過能量法及變分原理建立運(yùn)動紙板的橫向振動微分方程，采用伽遼金無網(wǎng)格法求得紙板振動的復(fù)特征值方程。通過數(shù)值計算，確定不同邊界條件時印刷運(yùn)動紙板的動力穩(wěn)定區(qū)域。

圖1 陜西北人PRC250煙包專用機(jī)組式凹版印刷機(jī) Fig. 1 Shaanxi Beiren PRC250 cigarette package special type of gravure printing unit

1 動力學(xué)模型的建立

圖2為PRC250印刷機(jī)紙板的印刷示意圖。相鄰的兩個色組(I1，P1)及(I2，P2)中，I1、I2分別為第一、二色組的壓印滾筒，P1、P2分別為第一、二色組的印版滾筒。紙板從兩組滾筒之間的接觸表面通過，兩組滾筒相對滾壓完成多色套印印刷。在工作過程中，高速運(yùn)動的紙板作為運(yùn)動薄板處理，其振動特性遵循薄板振動的理論和規(guī)律[17]。取印刷過程中兩對印刷副之間的紙板作為矩形薄板的研究單元，建立具有軸向運(yùn)動速度v的印刷紙板的動力學(xué)模型如圖3所示。

圖2 PRC250印刷機(jī)紙板的印刷示意圖 Fig. 2 The paperboard printing diagram of the PRC250 press

圖3 具有軸向速度的紙板模型 Fig.3 The axial speed of printing paperboard

2 振動方程的建立

具有軸向運(yùn)動速度的印刷紙板，其橫向振動方向的速度為:

(1)

具有軸向運(yùn)動速度時，紙板的總動能是由兩部分組成的：一部分是由橫向振動產(chǎn)生，另一部分是由軸向運(yùn)動產(chǎn)生，可表示為：

(2)

根據(jù)薄板理論的Kirchhoff假設(shè)，紙板彎曲時應(yīng)變能為：

(3)

其中抗彎剛度D=Eh3/12(1-μ2)。

根據(jù)能量法可得具有運(yùn)動速度的紙板的能量泛函[18]為：

(4)

對位移邊界條件直接引入罰函數(shù)，罰因子為α，其總能量泛函表達(dá)式可寫為

(5)

對具有軸向運(yùn)動速度的紙板邊界引入罰函數(shù)后，其總能量泛函的一般變分式為：

(6)

將式(2)～(5)代入式(6)并通過變分原理得到具有軸向運(yùn)動速度的紙板系統(tǒng)的變分式：

(7)

引入以下無量綱量

(8)

將式(8)代入式(7)中可得：

(9)

采用伽遼金無網(wǎng)格法對具有軸向運(yùn)動速度的紙板系統(tǒng)進(jìn)行振動分析時，根據(jù)移動最小二乘法，擬合得到近似無量綱橫向位移：

(10)

式中

Φ(ξ,η)=[φ1(ξ,η),φ2(ξ,η),φ3(ξ,η),…,φn(ξ,η)]

(11)

w(τ)=[w1(τ),w2(τ),w3(τ),…,wn(τ)]

(12)

將式(10)代入式(9)中，其中δw=δ(ΦT(ξ,η)×w(τ))， 由于變分δW的任意性，即可得到具有軸向運(yùn)動速度紙板的無量綱形式的橫向振動方程:

(13)

其中質(zhì)量矩陣M與剛度矩陣K是對稱矩陣。

3 復(fù)特征方程

設(shè)無量綱位移向量

w(τ)=Wejωτ

(14)

式中：ω表示具有運(yùn)動速度的印刷紙板的橫向振動的無量綱頻率，W=[W1,W2,W3,…,Wn]T是n維列向量。

將式(14)代入式(13)中，可得齊次方程組：

KW+jωCW-ω2MW=0

(15)

W存在非零解的充分必要條件為：

|K+jωC-ω2M|=0

(16)

式(16)即為具有軸向運(yùn)動的印刷紙板的復(fù)特征方程，它是ω的2n次代數(shù)方程。

4 計算分析

分別對四邊簡支及對邊簡支對邊自由兩種邊界條件下，具有軸向運(yùn)動速度的印刷紙板的振動特性及穩(wěn)定性進(jìn)行計算和分析[19]。

4.1 四邊簡支的運(yùn)動紙板

四邊簡支邊界條件為：

(17)

圖4 前三階無量綱復(fù)頻率實部和虛部隨無量綱速度的 變化曲線 Fig.4 The first three dimensionless complex frequency varied with the dimensionless axially moving speed

如圖4所示，得到四邊簡支邊界條件下，具有軸向運(yùn)動速度的印刷紙板的第一、二、三階無量綱復(fù)頻率實部和虛部隨無量綱軸向運(yùn)動速度c的變化曲線。從圖4可以看出，當(dāng)無量綱速度c為0時，無量綱復(fù)頻率虛部為0。當(dāng)逐漸增大到c=6.47時，此時第一階模態(tài)的復(fù)頻率實部減小為0，虛部不再為0，而是出現(xiàn)了正和負(fù)的兩個分支，此時印刷紙板處于發(fā)散失穩(wěn)狀態(tài)。當(dāng)c增大到c=7.78時，此時無量綱復(fù)頻率虛部變?yōu)?，紙板重新趨于穩(wěn)定狀態(tài)。即c在(0, 6.47)區(qū)間時，紙板處于穩(wěn)定狀態(tài)；c在(6.47, 7.78)之間時，紙板狀態(tài)為發(fā)散失穩(wěn)。當(dāng)c繼續(xù)增大到c=8.3時，此時虛部又變?yōu)檎拓?fù)的兩個分支，第一、二階模態(tài)發(fā)生耦合，此時紙板發(fā)生耦合顫振。

4.2 對邊簡支對邊自由的運(yùn)動紙板

對邊簡支對邊自由邊界條件為：

(18)

如圖5所示，得到對邊簡支對邊自由邊界條件下，具有軸向運(yùn)動速度的印刷紙板的前三階無量綱復(fù)頻率實部和虛部隨無量綱軸向速度變化的曲線。

圖5 前三階無量綱復(fù)頻率實部和虛部隨無量綱 軸向運(yùn)動速度的變化曲線 Fig.5 The first three dimensionless complex frequency varied with the dimensionless axially moving speed

由圖5可知：當(dāng)c為0時，無量綱復(fù)頻率虛部為0，此時第一、二、三階無量綱頻率為實數(shù)。隨著c的增大，無量綱復(fù)頻率的實部減小，此時虛部一直保持為0。當(dāng)c增大到c=5.54時，此時第一階模態(tài)的無量綱復(fù)頻率實部減小為0，虛部出現(xiàn)了正和負(fù)的兩個分支，此時印刷紙板發(fā)散失穩(wěn)。當(dāng)c增大到c=7.51時，此時無量綱復(fù)頻率虛部變?yōu)?，說明紙板又趨于穩(wěn)定狀態(tài)。即無量綱速度c在(0, 5.54)區(qū)間時，紙板處于穩(wěn)定狀態(tài)；c在(5.54, 7.51)之間時，紙板處于發(fā)散失穩(wěn)狀態(tài)。

4.3 凹版印刷機(jī)印刷紙板穩(wěn)定性分析

根據(jù)實際印刷工況，對PRC250機(jī)組式凹版印刷機(jī)的承印物紙板進(jìn)行研究。表1為取兩滾筒之間的紙板的基本參數(shù)。

表1 PRC 250印刷機(jī)紙板的基本參數(shù)Tab.1 The basic parameters of the printing paperboardof PRC 250 press

(19)

在實際印刷中，PRC 250煙包專用機(jī)組式凹版印刷機(jī)的紙板對應(yīng)邊界條件為對邊簡支對邊自由。當(dāng)無量綱速度c=5.54時紙板處于發(fā)散失穩(wěn)狀態(tài)。將c=5.54代入式(19)中，可得v=27.55 m/s，即印刷紙板的失穩(wěn)臨界速度為27.55 m/s。在印刷過程中，達(dá)到該速度之前，印刷紙板一直會處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)。由于忽略周圍空氣阻力，此結(jié)果會比實際結(jié)果偏大。當(dāng)實際印刷速度接近失穩(wěn)臨界速度時，紙板會產(chǎn)生劇烈振動，從而影響套印精度及加工質(zhì)量。

5 結(jié) 論

本文研究了具有軸向運(yùn)動速度、具有一定抗彎剛度的印刷紙板的穩(wěn)定性，得出如下結(jié)論：

(1)根據(jù)能量法及變分原理建立了具有軸向運(yùn)動速度的印刷紙板的橫向振動微分方程，應(yīng)用伽遼金無網(wǎng)格法對微分方程進(jìn)行離散，得到了其動力學(xué)方程。

(2)通過數(shù)值求解，討論了不同邊界條件對紙板振動特性及穩(wěn)定性的影響，同時得到具有軸向運(yùn)動速度的紙板的前三階無量綱復(fù)頻率與無量綱軸向運(yùn)動速度的關(guān)系。對邊簡支對邊自由邊界條件時，無量綱速度c在(0, 5.54)區(qū)間時，紙板處于穩(wěn)定狀態(tài)；c在(5.54, 7.51)區(qū)間時，紙板處于發(fā)散失穩(wěn)狀態(tài)。

(3)計算確定了PRC250機(jī)組式凹印機(jī)印刷運(yùn)動紙板的失穩(wěn)臨界速度為27.55 m/s，該結(jié)論為進(jìn)一步優(yōu)化印刷機(jī)結(jié)構(gòu)，提高設(shè)備的工作穩(wěn)定性提供了理論依據(jù)。

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