考慮橫向曲率的超彈性鉸鏈純彎曲非線性力學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)

楊 慧, 王 巖, 劉榮強(qiáng)

(1. 安徽大學(xué) 電氣工程與自動化學(xué)院，合肥 230601； 2. 中國電子科技集團(tuán)38所，合肥 230088；3. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院機(jī)器人技術(shù)與系統(tǒng)國家實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱 150080)

航天器如太陽能陣列、星載天線和固體反射器等在發(fā)射時受運(yùn)載器承載能力和發(fā)射空間的限制。超彈性鉸鏈?zhǔn)且活惐”趫A柱殼體結(jié)構(gòu)，能夠在材料5%彈性變形范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)180°大撓度彎曲變形，并依靠自身彈性變形存儲的彈性勢能實(shí)現(xiàn)自驅(qū)動展開，不需要添加其他移動部件。含超彈性鉸鏈的可折展機(jī)構(gòu)可通過超彈性鉸鏈彎曲實(shí)現(xiàn)大角度折疊，在保證任務(wù)需求的精度和剛度下，實(shí)現(xiàn)輕量化、低能耗的目的，得到了越來越多的應(yīng)用。日本火星探測器[1]、火星地下電離層探測先進(jìn)雷達(dá)[2]、大型可折疊雷達(dá)天線[3]等都成功應(yīng)用了超彈性鉸鏈。相比常規(guī)機(jī)械式鉸鏈，超彈性鉸鏈集驅(qū)動、回轉(zhuǎn)、鎖定于一體，具有低質(zhì)量剛度比、低能耗、價格低廉和易于制造的優(yōu)點(diǎn)，逐步成為構(gòu)成宇航機(jī)構(gòu)的一個重要設(shè)計元素。

為了分析超彈性鉸鏈的力學(xué)性能，通過解析法、數(shù)值法和試驗(yàn)已經(jīng)進(jìn)行了大量的研究。超彈性鉸鏈縱向和橫向曲率方向相同的彎曲過程，為正向彎曲；縱向和橫向曲率方向相反的彎曲過程，為反向彎曲。僅考慮縱向彎曲和法向受力，Wuest[4]建立了無限長帶簧在反向彎曲時的力矩模型?；谧钚菽茉砗婉T卡門薄板大撓度理論，Masnsifield[5]推導(dǎo)了具有初始彎曲的帶簧在大撓度扭轉(zhuǎn)和彎曲狀態(tài)下的廣義表達(dá)式，僅在自重下測量了帶簧發(fā)生扭轉(zhuǎn)和突然彎曲時需要的彎曲力矩，但是由此得到的力矩-曲率曲線從峰值到穩(wěn)態(tài)之間出現(xiàn)了震蕩現(xiàn)象。Guinot等[6]對具有柔性薄壁橫截面的結(jié)構(gòu)提出了平面短梁模型，并將其應(yīng)用到超彈性鉸鏈的折疊過程。Picult等[7]將平面短梁模型延伸到三維運(yùn)動，并利用該模型研究了細(xì)長超彈性鉸鏈的三維運(yùn)動。Calladine等[8]利用彈性殼體理論對無限長各向同性材料的帶簧超彈性鉸鏈進(jìn)行非線性力學(xué)特性分析，建立了正向和反向彎曲折疊峰值力矩模型。Yee等[9]分析了復(fù)合材料超彈性鉸鏈在彈性折疊范圍內(nèi)縱向和橫向曲率關(guān)系。Soykasap[10]利用解析法和有限元法研究了硬化材料的超彈性鉸鏈性能。Dewalque等[11]分析阻尼對超彈性鉸鏈動力學(xué)展開性能的影響。Kim等[12]考慮不同展開性能和非線性性能，利用優(yōu)化方法研究了含超彈性鉸鏈的太陽帆的系統(tǒng)展開。Silver等[13]基于Donnel-Mushtari-viasove殼體理論分析了幾何參數(shù)對展開強(qiáng)度的影響。Seffen等[14]利用理論和實(shí)驗(yàn)法研究了超彈性鉸鏈動力學(xué)展開性能。Yao等[15]基于Mansifield理論模型提出設(shè)計理論模型，并研究了含有雙縫的反對稱復(fù)合材料超彈性鉸鏈的動力學(xué)特性，但是以上研究均未搭建實(shí)驗(yàn)平臺驗(yàn)證理論模型的準(zhǔn)確性。

本文基于Calladine殼體理論和馮卡門薄板大撓度理論建立各項(xiàng)同性超彈性鉸鏈純彎曲狀態(tài)下的理論模型，利用最小勢能原理研究其非線性彎曲性能。該研究綜合考慮了縱向拉伸、縱向彎曲和橫向彎曲的影響。加工出12種不同尺寸鎳鈦合金超彈性鉸鏈，搭建試驗(yàn)平臺，分析不同樣件在同向和反向準(zhǔn)靜態(tài)折疊時的峰值力矩，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證理論模型。利用數(shù)值研究分析幾何參數(shù)對峰值力矩的影響。

1 解析模型

1.1 基本方程

根據(jù)Mansfield理論，對于長/寬>5的殼體可以忽略末端效應(yīng)，而長/寬<20的殼體具有較高的扭轉(zhuǎn)剛度。圖1為單帶簧超彈性鉸鏈圓柱坐標(biāo)系和彎曲示意圖，x軸沿圓柱殼軸線為縱向，y軸是圓柱殼橫向，z軸沿圓柱殼法線方向(即厚度方向)，坐標(biāo)系原點(diǎn)在中性面上。帶簧的初始橫截面中心角為α。初始橫向曲率為ky, 0，總長為l，橫截面厚度為t。帶簧彎曲時，在彎曲中央沿縱向形成的圓弧曲率為縱向曲率kx。彎曲時橫截面圓弧半徑也會變化，相應(yīng)的曲率稱為橫向曲率ky。

圖1 單帶簧超彈性鉸鏈殼體坐標(biāo)系 Fig.1 Coordinate system and geometry for the tape-spring.

圖2 殼體微元受力示意圖 Fig. 2 Stress resultants in a typical element shell

殼體微元受力示意圖，如圖2。由于沿y軸方向的兩條邊是自由邊，fy=0和fxy=0，故fy和fxy忽略從而未在圖2顯示。根據(jù)Calladine殼體理論，求解殼體沿z向的力和繞x軸的力矩，得到如下平衡方程[16]:

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：fx，fy和fz分別為沿x軸的單位長度面內(nèi)薄膜內(nèi)力；qy為沿y軸的面外剪切應(yīng)力；mx和my分別為沿x軸和y軸單位長度力矩。

結(jié)合式(1)和式(2)消去qy，得到殼體平衡方程

(5)

1.2 本構(gòu)方程

按照圖1的坐標(biāo)系，線性對稱結(jié)構(gòu)的本構(gòu)方程[17]如下

(6)

(7)

式中：Aij為殼體拉伸剛度；Dij為殼體彎曲剛度陣；對于各項(xiàng)同性材料A16=A26=0，D16=D26=0；f=[fx,fy,fxy]T和m=[mx,my,mxy]T分別為圓柱殼中面單位長度薄膜內(nèi)力、單位長度彎矩和扭矩；εx,εy, 和γxy為單位長度拉伸應(yīng)變；Δkx,Δky和Δkxy為中性面沿x軸、y軸和xy面內(nèi)曲率變化量。為了簡化計算，假設(shè)扭轉(zhuǎn)曲率和面內(nèi)剪切應(yīng)變?yōu)榱?，即Δkxy=γxy=0。

1.3 相容方程

該模型中，由于超彈性鉸鏈沿y軸方向不受力，所以中性面沿y向的橫向應(yīng)變?yōu)榱?，即εy=0。但中性面縱向應(yīng)變?yōu)?/p>

εx=kxwy+p

(8)

式中：kx為殼體縱向曲率；wy為殼體沿y向的法向形變，由于超彈性鉸鏈的對稱性，法向位移函數(shù)是偶函數(shù)；P為初始應(yīng)變量。單帶簧超彈性鉸鏈沿y軸橫向初始曲率為ky, 0=1/R，沿x軸縱向初始曲率為kx, 0=0，殼體變形時橫向曲率為

(9)

式中：負(fù)號和正號分別為反向、正向彎曲。

1.4 控制方程及其解

把式(6)～式(7)、式(9)代入式(5)，控制方程wy為

(10)

為了求解控制方程，引入具有曲率量綱的參數(shù)μ

(11)

將式(11)代入式(10)得到簡化后的控制方程如下

(12)

式(12)的廣義解可以表示為雙曲函數(shù)與三角函數(shù)之積的四項(xiàng)式，如下

wy=C1sinhμycosμy+C2coshμysinμy+C3sinhμysinμy+C4coshμycosμy

(13)

式中：Ci為待定常系數(shù)(i=1,2,3,4)，可以通過邊界條件進(jìn)行求解。

已知邊界條件為

(14)

將式(2)，式(7)和式(9)代入式(14)得到

(15)

將式(13)代入式(15)沿y向的形變?yōu)?/p>

(16)

ky=±ξ(γ4coshμycosμy-γ3sinhμysinμy)

(17)

1.5 應(yīng)變能建模

由殼體中性面拉伸應(yīng)變產(chǎn)生的單位長度拉伸應(yīng)變能Us為

(18)

由橫向和縱向曲率變化引起的單位長度彎曲應(yīng)變能Ub為

(19)

將式(6)和(7)代入式(18)和(19)，得到

(20a)

(20b)

將式(15)和式(16)代入式(20a)、(20b)，分別得到

(21)

(22)

超彈性鉸鏈單位長度總應(yīng)變勢能U等于單位長度拉伸應(yīng)變勢能與彎曲應(yīng)變勢能之和，即

Utot=Us+Ub

(23)

將式(21)和式(22)代入式(23)，得到

(24)

超彈性鉸鏈由于兩端力矩作用而彎曲所產(chǎn)生的勢能為

W=Mθ

(25)

式中：M為超彈性鉸鏈兩端的力矩；θ為超彈性鉸鏈總的彎曲角度。

若超彈性鉸鏈整個縱向發(fā)生均勻統(tǒng)一變形，如圖3所示。末端旋轉(zhuǎn)角θ為

θ=kxL

(26)

圖3 殼體縱向彎曲均勻化變形示意圖 Fig.3 The uniform longitudinal bending of shell

超彈性鉸鏈彎曲總勢能為

Π=UtotL-W

(27)

基于最小勢能原理，得到

(28)

將式(25)～式(27)代入式(28)得到

(29)

該力矩表達(dá)式是超越函數(shù)，可以通過數(shù)值法進(jìn)行求解，搭建實(shí)驗(yàn)裝置驗(yàn)證理論模型的準(zhǔn)確性。

2 參數(shù)研究

超彈性鉸鏈材料是高彈性鎳鈦合金Ni36CrTiAl，通過對板材下料、多次拉伸、真空熱處理、沉淀硬化成型、真空吸淬火爐熱處理，固溶縮比使口徑縮小、臂加長，利用模具保證管材內(nèi)徑，旋壓保證外徑，歷經(jīng)十幾道工藝處理得到目標(biāo)型號的鎳鈦合金管材。經(jīng)過線切割加工出12種不同型號尺寸的帶簧超彈性鉸鏈。該鎳鈦合金密度ρ=8.0×103kg/m3，通過進(jìn)行了拉伸試驗(yàn)[18-19]得到其彈性模量E=36.94 GPa，破松比ν=0.35，屈服應(yīng)力σy=0.98 GPa。法向變形wy和折疊中心橫向曲率ky沿?zé)o量綱坐標(biāo)的變化曲線，如圖4(a)和圖4(b)所示。由圖可知，單帶簧超彈性鉸鏈彎曲時橫截面兩端仍保持初始曲率，橫截面中央很大區(qū)域接近于光滑平面，表明其橫向曲率變化量較大將增加彈性彎曲應(yīng)變能，從而影響彎曲力矩。

圖4 反向彎曲時單帶簧超彈性鉸鏈橫向曲率和形變 Fig. 4. Analytical predictions for a tape-spring under oppositebending with t=0.12 mm, R=18 mm, kx=0.05 mm, and α=80°

圖5是帶簧橫截面弧長保持恒定為28.26 mm時，中心角和厚度對反向彎曲峰值力矩的影響。由圖可知：①厚度從0.15 mm變化到0.25 mm時，反向峰值力矩增加約為417.14%；②中心角為60°～100°時，反向峰值力矩增加約為146.647%。

圖6是中心角和半徑對反向彎曲峰值力矩的影響曲線。由圖6可知，當(dāng)中心角為60°～100°時，反向彎曲峰值力矩增加范圍為105.64% ～ 122.32%。

綜合比較圖5和圖6可知，單帶簧超彈性鉸鏈反向和正向彎曲折疊峰值力矩均對厚度較為敏感，而且反向彎曲折疊峰值力矩約為正向彎曲折疊峰值力矩的2.42倍。

圖5 厚度和中心角對反向彎曲峰值力矩的影響 Fig. 5 Effect of thickness and central angle on peak momentfor opposite bending.

圖6 厚度和中心角對反向彎曲峰值力矩的影響 Fig.6 Effect of thickness and central angle on peak momentfor equal bending.

3 試 驗(yàn)

3.1 試驗(yàn)平臺

為了進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)彎曲試驗(yàn)，加工出12種不同規(guī)格的鎳鈦合金超彈性鉸鏈。圖7為文獻(xiàn)[20-21]中搭建的試驗(yàn)裝置，該裝置由固定端和移動端構(gòu)成，其中固定端和移動端各裝有1個電位計和1個扭轉(zhuǎn)傳感器。超彈性鉸鏈的兩端各自安裝于固定端和移動端，可實(shí)現(xiàn)一端自由旋轉(zhuǎn)，另一端既可以旋轉(zhuǎn)又可以縱向移動。試驗(yàn)中以電位計測量鉸鏈的彎曲角度，力矩傳感器測量鉸鏈彎曲力矩，計算機(jī)自動采集測試數(shù)據(jù)。手動調(diào)節(jié)超彈性鉸鏈彎曲的角度，同時自動采集出超彈性鉸鏈旋轉(zhuǎn)角度θ和相應(yīng)力矩值M。值得注意的是，試驗(yàn)過程中需要調(diào)節(jié)出超彈性鉸鏈兩端轉(zhuǎn)角和力矩大致相等，以保證超彈性鉸鏈對稱彎曲，進(jìn)而保證超彈性鉸鏈橫截面處于接近于零作用力的狀態(tài)。

圖7 超彈性鉸鏈展開實(shí)驗(yàn)臺 Fig.7 Test apparatus for tape-spring flexure hinge

為了便于統(tǒng)計，對每種規(guī)格帶簧超彈性鉸鏈進(jìn)行編號，編號Txxxyy-zz由4個部分組成，字母“T”表示圓管，第二位～第四位數(shù)字“xxx”表示橫截面半徑R為xx.x(單位為mm)。第五、第六位數(shù)字“yy”表示橫截面厚度t為0.yy(單位為mm)。第七、第八位數(shù)字“zz”表示橫截面中心角β(單位為°)。如T17814-80表示橫截面半徑為17.8 mm，厚度為0.14 mm，橫截面中心較為80°的超彈性鉸鏈。

3.2 正向彎曲峰值力矩

為了評價理論模型計算的準(zhǔn)確性，以偏差來描述理論值與實(shí)驗(yàn)值之間的誤差，偏差、偏差標(biāo)準(zhǔn)差如下

(30)

(31)

表1為單帶簧超彈性鉸鏈正向彎曲的峰值力矩理論值與試驗(yàn)值對比。圖8為單帶簧超彈性鉸鏈正向彎曲峰值力矩試驗(yàn)值與理論預(yù)測值對比曲線。

表1 正向彎曲峰值力矩理論值與試驗(yàn)值對比Tab.1 Comparison between experimental andtheoretical peak moment under equal bending.

圖8 同向彎曲折疊峰值力矩理論值與實(shí)驗(yàn)值 Fig.8 Comparison between theoretical and experimental peak moment of equal bend

根據(jù)式(30)～式(31)可以計算出，采用本文提出的理論模型計算正向彎曲峰值力矩值與試驗(yàn)值相比，偏差范圍在-7.49%～2.72%，偏差平均值為-4.24%，偏差標(biāo)準(zhǔn)差為3.12%。從圖8可知，理論預(yù)測值偏離試驗(yàn)值很小，而且試驗(yàn)值略小于理論預(yù)測值。

3.3 反向彎曲峰值力矩

表2為12種規(guī)格單帶簧超彈性鉸鏈反向彎曲峰值力矩試驗(yàn)值與理論預(yù)測值對比。圖9為單帶簧超彈性鉸鏈反向彎曲峰值力矩試驗(yàn)值與理論預(yù)測值對比曲線。根據(jù)式(30)～式(31)可以計算出，采用推導(dǎo)的理論公式計算出反向彎曲峰值力矩預(yù)測值與試驗(yàn)值對比，其偏差范圍在-5.88%～3.49%，偏差平均值為-1.72%，偏差標(biāo)準(zhǔn)差為2.89%。

表2 反向彎曲穩(wěn)態(tài)力矩理論值與試驗(yàn)值對比分析Tab.2 Comparison between experimental andtheoretical peak moment under opposite bending

圖9 反向彎曲折疊峰值力矩理論值與試驗(yàn)值 Fig.9 Comparison between the theoretical and experimental peak moment under opposite bending

綜合以上試驗(yàn)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)與12種不同規(guī)格樣件試驗(yàn)值與理論值對比，偏差范圍在-8.51%～5.29%，偏差平均值范圍為-4.24%～3.16%，偏差標(biāo)準(zhǔn)差范圍為2.89%～7.51%，表明采用本文建立的單帶簧超彈性鉸鏈理論模型計算反向和同向彎曲峰值力矩都有很高的精度，試驗(yàn)值普遍低于理論值主要原因在于后者假設(shè)帶簧彎曲時發(fā)生均勻統(tǒng)一的彎曲變形，而實(shí)際彎曲時只有折疊區(qū)域發(fā)生變形。

7 結(jié) 論

為了研究超彈性鉸鏈彎曲過程中的突然翻轉(zhuǎn)引起的峰值力矩，通過理論推導(dǎo)、試驗(yàn)驗(yàn)證，并進(jìn)行了參數(shù)研究，得到如下結(jié)論：

(1) 基于Calladine殼體理論和馮卡門大撓度薄板理論建立了超彈性鉸鏈的總應(yīng)變能理論模型，利用最小勢能原理推導(dǎo)出超彈性鉸鏈同向和反向彎曲峰值力矩。

(2) 搭建試驗(yàn)平臺，加工了12種不同規(guī)格鎳鈦合金超彈性鉸鏈，分別測試了其同向和反向彎曲峰值力矩，通過試驗(yàn)驗(yàn)證了理論模型的準(zhǔn)確性。理論和試驗(yàn)的相對誤差絕對值不大于7.49%，標(biāo)準(zhǔn)均方差不大于3.12%。

(3) 對超彈性鉸鏈進(jìn)行了參數(shù)研究，表明峰值力矩對厚度比較敏感。厚度和中心角與峰值力矩具有正相關(guān)性，但橫截面半徑具有負(fù)相關(guān)性。必須指出的是超彈性鉸鏈彎曲時在其橫截面兩端只有30%的區(qū)域產(chǎn)生較大形變，從而引起橫向曲率變化，引入較大的彈性勢能。

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