高中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入分類討論思想的實(shí)踐分析

陳穎

摘 要：作為高中數(shù)學(xué)5種解題思路之一的分類討論思想，對(duì)老師的教學(xué)和學(xué)生的理解帶來(lái)了許多便利，降低了數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)難度。分類討論是對(duì)研究對(duì)象包含了多種情況，難以用統(tǒng)一的方法和公式進(jìn)行分析時(shí)，需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合歸納得解的方法。高中數(shù)學(xué)中的分類討論是根據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的區(qū)別，將其分成幾個(gè)不同種類問(wèn)題的一種邏輯上劃分的思維方式。分類討論是數(shù)學(xué)解題中的一個(gè)重要答題思路，它讓我的思考更加全面、思維更嚴(yán)密。本文介紹了分類討論過(guò)程需要遵守的原則、分析步驟、分類對(duì)象和分類類型，以及應(yīng)用分類討論思想的案例分析。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；分類討論；思想方法；分析

引言

隨著新課改的進(jìn)行，對(duì)高中數(shù)學(xué)的理解提出了更高的要求。數(shù)學(xué)作為自然科學(xué)的基礎(chǔ)，是一種思維方式，在人類活動(dòng)中得到廣泛的應(yīng)用。高中數(shù)學(xué)可以說(shuō)是初中數(shù)學(xué)的延伸，大學(xué)高數(shù)的基礎(chǔ)。高中數(shù)學(xué)新課改標(biāo)準(zhǔn)明確指出數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分 [1]。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)愈加重視學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念，解題思維和方法的準(zhǔn)確掌握。掌握數(shù)學(xué)解題思想是解答數(shù)學(xué)題時(shí)不可缺少的一步，可以幫助同學(xué)們快速找到解題思路，節(jié)約思考時(shí)間。

高中數(shù)學(xué)的5種答題思路包括函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般的思想、極限思想解題步驟和分類討論思想。分類討論本質(zhì)上是一種邏輯上劃分的思維方式，是對(duì)數(shù)學(xué)研究對(duì)象根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求分別歸類，逐類求解，然后綜合歸納得解 [2]。把相對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，方便對(duì)其進(jìn)行解答。歸類思想是基于對(duì)象本質(zhì)屬性的異同，對(duì)事物共性的抽象過(guò)程，將數(shù)學(xué)研究對(duì)象根據(jù)確定的原則，合理進(jìn)行歸類。然后將它們一個(gè)一個(gè)地進(jìn)行逐步求解，得出每一個(gè)小解，最后將所有結(jié)果進(jìn)行總結(jié)歸納，得出研究對(duì)象的答案。分類討論揭示了數(shù)學(xué)事物之間的內(nèi)在規(guī)律，學(xué)會(huì)分類有助于學(xué)生總結(jié)歸納所學(xué)的知識(shí)，使所學(xué)的知識(shí)條理化，提高思維的概括性、嚴(yán)謹(jǐn)性和思考的全面性，從而提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

本文首先介紹了分類討論過(guò)程需要遵守的原則和分析步驟，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)為什么分類、如何分類。然后介紹了高中數(shù)學(xué)比較常見(jiàn)的分類討論對(duì)象和類型，讓學(xué)生更好的應(yīng)用到實(shí)踐去。最后對(duì)一些簡(jiǎn)單的分類討論進(jìn)行案例分析。

1.分類討論原則與步驟

學(xué)生初步建立分類討論意識(shí)后，也難以快速、準(zhǔn)確的進(jìn)行分類討論，還需要將分類討論進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的確定可以讓學(xué)生完整的解答習(xí)題。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)需要所討論的全域要完整且互斥，分類要“既不重復(fù)，也不遺漏”；在同一次討論中只能按所確定的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；分類必須逐級(jí)進(jìn)行直到最小分類級(jí)別，且分類討論時(shí)應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行，不能越級(jí)。

針對(duì)新課標(biāo)，討論的基本步驟可分為以下五個(gè)階段：（1）確定討論對(duì)象和討論的類型（全域）；（2）明確分類標(biāo)準(zhǔn)，科學(xué)分類；（3）逐類分類、分級(jí)分析階段性結(jié)果；（4）用該級(jí)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行檢驗(yàn)篩選結(jié)果；（5）歸納作出結(jié)論。

2.分類討論對(duì)象與類型

我們?cè)谶\(yùn)用分類討論的思想解決問(wèn)題時(shí)，首先要審清題意，認(rèn)真分析可能產(chǎn)生的不同因素，進(jìn)行討論時(shí)要確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，每一次分類只能按照一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分，不能重復(fù)也不能遺漏，另外還要逐一認(rèn)真解答。

運(yùn)用分類討論思想前我們首先要審清題意、了解引起分類討論的常見(jiàn)因素，確定分類討論的對(duì)象，接著根據(jù)條件的不確定性確定分類討論類型。

1）高中數(shù)學(xué)中涉及的分類討論類型有：

a.根據(jù)數(shù)與代數(shù)可以將對(duì)象分為：概念分段定義；公式、定理、法則分段表達(dá)；實(shí)施某些運(yùn)算引起分類討論；含參方程或不等式等；

b.根據(jù)幾何可以分為圖形位置不確定和圖形形狀不確定；

c.以及其他根據(jù)題設(shè)本身進(jìn)行的分類。

2）高中數(shù)學(xué)中比較常見(jiàn)的分類討論類型有：

a.與數(shù)與式有關(guān)的分類討論。如：實(shí)數(shù)分類、絕對(duì)值、算術(shù)平方根；與函數(shù)及圖象有關(guān)的變量取值范圍、增減性等。

b.三角形中的分類討論。如：與各種三角形類型有關(guān)的討論等。

c.圓中的分類討論。如：點(diǎn)、直線、圓與圓的位置的不確定等。

3.分類討論的實(shí)踐應(yīng)用

例 1：解方程

分析：本題考察研究對(duì)象的范圍作了限制，對(duì)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值進(jìn)行分類討論，可以將x分為3個(gè)區(qū)間，即x ≤ -1、-1 ≤ x ≤ 1和x ≥ 1。

解：當(dāng)x ≤ -1時(shí)，原方程化為

當(dāng)-1 ≤ x ≤ 1時(shí)，原方程化為 （應(yīng)舍去）

當(dāng)x ≥ 1時(shí)，原方程化為 ，

綜上所述x = 10或x = -4.

例2.若 a > 0且a ≠ 1， ，則p、q的大小關(guān)系是？

分析：本體考察了對(duì)象為不等式，實(shí)數(shù)分類的等式，根據(jù)log對(duì)數(shù)函數(shù)可以將等式分為兩類，即0 < a < 1和a > 1。

解：當(dāng)0

又 ，

.

當(dāng) a > 1時(shí)， 在其定義域上為增函數(shù)，

，

.

綜上所述 p > q.

例3.已知定義在閉區(qū)間[0，3]上的函數(shù) 的最大值為3，那么實(shí)數(shù) k 的取值集合是多少？

分析：本體考察了含參方程未知數(shù)區(qū)間分類問(wèn)題。

解：

（1）當(dāng)k > 0時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向上，當(dāng)x = 3時(shí)，f（x）有最大值，即 ，解得k = 1；

（2）當(dāng)k < 0時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向下，當(dāng)x = 1時(shí)，f（x）有最大值，即 ，解得k = -3；

（3）當(dāng)k = 0時(shí)，方程式顯然不成立.

綜上所述 k 的區(qū)只集合為{1，-3}.

4.結(jié)論

綜上所述，分類討論思想是高中數(shù)學(xué)解題的重要思想，通過(guò)分類討論思想，可以有效的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、綜合考慮問(wèn)題能力和準(zhǔn)備找到問(wèn)題本質(zhì)能力。使學(xué)生更好的適應(yīng)于將來(lái)的大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。在生活中更好的該分類對(duì)待和處理生活與學(xué)習(xí)的問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)

[1] 曹延法.論數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透[J].成功：教育版，2012（1）：146-146.

[2] 黃培元.例談初中數(shù)學(xué)分類討論思想[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)：教學(xué)研究，2014（30）：258-258.

（作者單位：稻田中學(xué)高三G1501班）