基于貝葉斯最大似然估計(jì)的金融預(yù)測

沈 斌，溫 濤

（西南大學(xué)a.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；b.經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，重慶 北碚 400715）

0 引言

金融預(yù)測是指對(duì)金融產(chǎn)品的歷史數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)據(jù)預(yù)測方法來預(yù)測其未來的市場價(jià)格和市場行為，其預(yù)測分析對(duì)象包括各類金融證券指標(biāo)和金融產(chǎn)品價(jià)格，如各種利率、匯率和股票指數(shù)等。

金融預(yù)測模型一直是學(xué)者重點(diǎn)關(guān)注的領(lǐng)域，學(xué)者們從不同方面建立了不同的金融預(yù)測模型。近年來，伴隨著我國金融業(yè)的快速發(fā)展，新金融產(chǎn)品逐漸出現(xiàn)，為了有效地掌握金融產(chǎn)品的市場發(fā)展規(guī)律，必須對(duì)金融產(chǎn)品發(fā)展趨勢進(jìn)行有效預(yù)測，相關(guān)研究者提出了不同的金融預(yù)測方法，從簡單的單項(xiàng)預(yù)測方法，到逐漸發(fā)展起來的組合預(yù)測方法。單項(xiàng)預(yù)測方法主要包括傳統(tǒng)的時(shí)間序列分析方法[1,2]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[3,4]等，這些單項(xiàng)預(yù)測方法的預(yù)測精度往往具有時(shí)好時(shí)壞性，而組合預(yù)測模型，尤其是變權(quán)重組合預(yù)測模型的預(yù)測效果往往更好。

組合預(yù)測模型的好壞，主要看預(yù)測值與實(shí)際值的擬合度大小。定常權(quán)預(yù)測模型類似于線性回歸模型或線性規(guī)劃模型，而變權(quán)組合預(yù)測模型類似于非線性規(guī)劃模型。為了實(shí)現(xiàn)變權(quán)重的目的，在借鑒以往各期預(yù)測精度的基礎(chǔ)上確定最優(yōu)權(quán)重是一個(gè)比較好的選擇，因此，有必要借鑒引導(dǎo)算子和最大似然理論。

以往論文關(guān)于最優(yōu)化問題的設(shè)定，往往借助于最小二乘法構(gòu)建優(yōu)化模型，而誘導(dǎo)算子的設(shè)定往往只是考慮本期的預(yù)測精度[5-11]。在本文中，將運(yùn)用貝葉斯最大似然理論構(gòu)建誘導(dǎo)算子，運(yùn)用灰關(guān)聯(lián)理論構(gòu)建優(yōu)化模型，運(yùn)用泰勒級(jí)數(shù)展開進(jìn)行參數(shù)的等價(jià)轉(zhuǎn)換，在此基礎(chǔ)上，建立新的基于貝葉斯最大似然估計(jì)的組合預(yù)測模型，通過算例分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較大時(shí)，本組合預(yù)測方法具有較好的預(yù)測效果。在本文中，將研究基于貝葉斯最大似然估計(jì)的組合預(yù)測模型在金融產(chǎn)品價(jià)格預(yù)測方面的應(yīng)用問題，以求有效監(jiān)控市場上金融產(chǎn)品的價(jià)格變動(dòng)，準(zhǔn)確地進(jìn)行金融產(chǎn)品價(jià)格變化趨勢預(yù)測，以實(shí)現(xiàn)金融服務(wù)行業(yè)利潤最大化的目標(biāo)。

1 貝葉斯極大似然估計(jì)

設(shè)真值為yt，第i（i=1，…，m）種預(yù)測方法對(duì)t時(shí)刻真值的擬合值（t≤n）或預(yù)測值（t＞n）為yti。則真值與擬合值（或預(yù)測值）之間的關(guān)系可以由如下方程描述：

在式（1）中，uti為方程誤差，E(uti)=0，αi，βi分別反映yti的“系統(tǒng)偏差”和尺度偏差。在這里，不妨將αi視為與所使用的預(yù)測方法相關(guān)聯(lián)的誤差。

由式（1）可得：

由式（3）可得，也服從下述分布：

求最大值：

也即求最小值：

從文獻(xiàn)[6]可以得到αi、βi的極大二乘估計(jì)為：

式（6）所反映的權(quán)重為變權(quán)重。在本文中，將結(jié)合運(yùn)用貝葉斯理論和IOWHA算子建立一種較好的變權(quán)重預(yù)測方法。

2 基于貝葉斯理論的IOWHA算子

以往的IOWHA算子在選擇時(shí)，往往只是考慮當(dāng)前時(shí)點(diǎn)的影響。事實(shí)上，需要綜合考慮以往各期單項(xiàng)方法的預(yù)測精度來構(gòu)建IOWHA算子。在本文中，將借鑒式（6）構(gòu)建引導(dǎo)的算子。即設(shè)：

s指的是當(dāng)期，m為方法的類別。也就是說，在這里充當(dāng)算子的函數(shù)排除了當(dāng)期數(shù)值的影響。如文獻(xiàn)[5]所述，如果在對(duì)當(dāng)期進(jìn)行預(yù)測時(shí)，運(yùn)用當(dāng)期的數(shù)據(jù)，顯得不太符合預(yù)測的含義，也不能得到真正意義上的組合預(yù)測值，以往很多論文對(duì)這一點(diǎn)的關(guān)注不夠。

不過這里又帶來了一個(gè)新的問題。即第一期的預(yù)測值怎么計(jì)算的問題。因?yàn)榈谝黄跊]有預(yù)測的依據(jù)。因此，在本文中，破例在第一期，使用很多學(xué)者使用的方式，即用當(dāng)期數(shù)據(jù)計(jì)算當(dāng)期各方法所占權(quán)重。在這種情況下，可以將不利之處降到最低限度。

3 模型構(gòu)建

令：

用ait表示第i種第t時(shí)刻的預(yù)測精度值。很顯然，因?yàn)閍it只起到引導(dǎo)排序的作用，因此，只要是非負(fù)值就可以了。

下一步，需要計(jì)算獲得最優(yōu)預(yù)測效果時(shí)的權(quán)重值。本文，將借鑒灰關(guān)聯(lián)度的公式來構(gòu)建。因此可以構(gòu)建優(yōu)化公式如下：

就誤差值和誤差矩陣而言，可以借鑒文獻(xiàn)[8]中的設(shè)計(jì)方法，即：

當(dāng)γ越大則表示組合預(yù)測方法越有效可以被看作是常數(shù)（ρ一般取值0.5）。在這里，不妨令

則式（8）可以表示為：

當(dāng)式（9）取值最大時(shí)，則表明實(shí)際值與組合預(yù)測值的模擬效果最好。因此，可以建立組合預(yù)測模型如下：

定理1：當(dāng)優(yōu)化公式為γ(L)關(guān)于L的偏導(dǎo)數(shù)存在，且進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開時(shí)，可以得出權(quán)重向量L的最優(yōu)解如下：

證明：

可構(gòu)建如下所示的拉格朗日函數(shù)：

對(duì)L和λ分別取導(dǎo)數(shù)得：對(duì)式（12）可以使用泰勒級(jí)數(shù)在處進(jìn)行一階展

開。之所以這樣設(shè)置，是因?yàn)樵诙嗥陬A(yù)測中，各單項(xiàng)方法所占權(quán)重趨向于一致。經(jīng)過泰勒級(jí)數(shù)展開，式（12）可以轉(zhuǎn)化為式（13）：

令：

則式（13）可以表示為：

令式（14）和式（15）等于0，可以計(jì)算得出L的最優(yōu)解如下：

證畢。

4 算例分析

本文運(yùn)用文獻(xiàn)[8]中提出的五類指標(biāo)來衡量基于貝葉斯最大似然的預(yù)測模型的有效性，這五類指標(biāo)分別為：（1）平方和誤差（2）均方誤差（3）平均絕對(duì)誤差平均絕對(duì)百分比誤差（5）均方百分比誤差

假定某種金融產(chǎn)品12個(gè)月的實(shí)際價(jià)格由參數(shù)yt表示，兩個(gè)單項(xiàng)預(yù)測方法對(duì)金融產(chǎn)品價(jià)格的預(yù)測值由參數(shù)y1t、y2t表示，具體如表1所示。

表1 觀測值與各單項(xiàng)預(yù)測方法預(yù)測值

運(yùn)用本文所提供的預(yù)測方法，可以得到表1中兩種單項(xiàng)方法的最優(yōu)權(quán)重分別為：l1=0.5457，l2=0.4543。將上述權(quán)重值帶入模型，可以計(jì)算出如表2所示的評(píng)價(jià)指標(biāo)值。

表2單項(xiàng)預(yù)測方法評(píng)價(jià)指標(biāo)值與本文中的組合預(yù)測方法評(píng)價(jià)指標(biāo)值對(duì)比表

從表2可以看出，本文給出的組合預(yù)測方法的預(yù)測效果較好。不過，因?yàn)樵谟?jì)算預(yù)測引導(dǎo)算子的表達(dá)式中，強(qiáng)調(diào)了以往各期預(yù)測值對(duì)于本期金融預(yù)測引導(dǎo)算子的重要性。當(dāng)樣本較少時(shí)，以往各期預(yù)測值的變動(dòng)規(guī)律體現(xiàn)得不太明顯，當(dāng)樣本越多時(shí)，規(guī)律體現(xiàn)得就越明顯，而本文的引導(dǎo)算子就會(huì)越有效。

5 結(jié)束語

（1）在本文中，運(yùn)用貝葉斯最大似然估計(jì)理論和表達(dá)式構(gòu)建引導(dǎo)算子，從而，可以最大程度地反映以往各期金融產(chǎn)品價(jià)格預(yù)測值的變動(dòng)規(guī)律。

（2）在本文中，運(yùn)用灰關(guān)聯(lián)理論構(gòu)建最優(yōu)權(quán)重值的確定模型，拓寬了權(quán)重值計(jì)算的思路，而值近似地體現(xiàn)了誤差矩陣E中的某一個(gè)值，事實(shí)上也符合灰關(guān)聯(lián)理論的相關(guān)規(guī)定性。（3）運(yùn)用泰勒級(jí)數(shù)展開的方式對(duì)進(jìn)行近似變換，為解決F關(guān)于L偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)問題提供了一個(gè)新的思路。

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