基于后悔理論的模糊多準則群決策方法

章恒全，涂俊瑋

（河海大學 商學院，南京 211100）

0 引言

近年來，模糊多準則群決策問題已成為國內外學者研究的熱點。自Atanassov K T[1]基于模糊集理論[2]提出直覺模糊集（IFSs）以來，其理論發(fā)展也非常迅速，其拓展形式有以下4種：區(qū)間直覺模糊集（IVIFSs）[3]、三角直覺模糊集（TIFN）[4]、直覺梯形模糊集（ITFN）及區(qū)間直覺梯形模糊集（IITFN）[5，6]。IITFN的隸屬度和非隸屬度函數(shù)用區(qū)間數(shù)表示，在描述客觀世界的不確定性本質上比IVIFSs,ITFN和TIFN更細膩和精確。

關于IITFN決策問題的研究有兩種研究思路。一是通過不同的算子集結再根據排序方法進行選擇[7-9]；另一個是通過距離測度公式結合不同決策方法進行決策[10-12]。上述文獻都可以較好地解決IITFN的多準則決策問題，但是都沒有考慮決策者的心理行為對決策的影響。前景理論考慮了行為人風險偏好及損失規(guī)避等心理因素，并已經廣泛的應用于多屬性決策中。但前景理論需要參照信息，計算公式中需要確定眾多的參數(shù)。而由Bell[13]和Loomes[14]提出的后悔理論，也是基于有限理性的假設考慮了決策者的心理特征的決策理論，已受到了專家學者的高度關注。由于后悔理論在決策應用中不需要給出參照點的信息，計算公式中只有一個后悔規(guī)避參數(shù)，因此，有學者指出后悔理論比前景理論更有優(yōu)勢[15,16]。本文針對準則值為IITFN的多準則群決策問題，在上述文獻研究的基礎上，將決策者的后悔規(guī)避心理行為引入決策中。由IITFN排序方法選擇正理想方案和負理想方案，根據各方案與正理想方案的距離計算后悔函數(shù)值和各方案與負理想方案的距離計算其欣喜值，從而建立欣喜-后悔值矩陣；按決策者的偏好越大權重越小的思想確定決策權重，將各決策者的欣喜-后悔矩陣集結成群矩陣；構建非線性優(yōu)化模型計算屬性權重，由各方案的綜合欣喜-后悔值對方案進行排序。并通過案例的選擇實證檢驗了該方法的有效性和合理性。

1 基本理論

1.1 區(qū)間直覺梯形模糊數(shù)

定義 1[5，6]：設a?=([a，b，c，d];ua?，va?)是實數(shù)集上的IIT-其區(qū)間隸屬度函數(shù)為：

其區(qū)間值非隸屬度函數(shù)為：

定義2[7，17]：設實數(shù)集上的IITFN是其分函數(shù)和精確函數(shù)的表達式分別是：

定義 3[7，16]：設為兩個實數(shù)集上的 IITFN，其排序方法如下：

定 義 4[18]：設為 兩 個 IITFN，則模糊數(shù)的距離為：

1.2 后悔理論

后悔理論[13,14]同時將后悔和欣喜兩種心理感覺考慮到決策分析中，決策者具有后悔規(guī)避的的心理行為特點。各方案與其理想方案的比較能夠得到欣喜-后悔值。以正理想方案的評價值為參考點，其他方案的評價值劣于正理想值，根據后悔理論可知決策者選擇該方案是后悔的；而以負理想方案的評價值作為參考點時，則方案評價值大于負理想值，而決策者選擇該方案是欣喜的。根據文獻[14]第k個決策者對方案Ai的評價值Xij相對于負理想方案的欣喜函數(shù)和相對于正理想方案的后悔函數(shù)的表達式分別如下：

決策者對各方案評價值總的欣喜-后悔函數(shù)表達式如下：

2 基于后悔理論的模糊多準則群決策步驟

設某模糊多準則群決策問題，有m個備選方案，用Ai(i=1，2，…，m)表示，各評估準則為Cj(j=1，2，…，n)，相應的準則權重向量為且wj∈[0，1]。決策群體為相應的決策權重為(w1，w2，且wk∈[0，1]，其中決策者Ek關于準則Cj針對備選方案Ai的評價值為從而得到決策者Ek的區(qū)間直覺梯形模糊數(shù)的矩陣

步驟1：規(guī)范化處理決策矩陣

對模糊決策矩陣進行規(guī)范化處理，以消除各個準則由于量綱的差異對評價結果的影響。經轉化的規(guī)范化模糊決 策 矩 陣 為

對于效益型準則，有[12]：

對?于成本性準則，有：

步驟2：確定決策者權重

首先根據區(qū)間直覺梯形模糊數(shù)的排序方法選擇正負理想點，分別記為并計算出各方案到正負理想方案的距離。

針對決策權重信息未知的問題，根據決策者對最佳方案的偏好越大，決策權重越小的原理進行權重分配。決策者對正理想方案的評價越好，對負理想方案的評價越差，則偏好程度越大，因此決策者的偏好由最佳正理想方案和最佳負理想方案的距離來度量，具體計算如下：

步驟3：確定各評價方案的欣喜-后悔函數(shù)

后悔理論中，欣喜值和后悔值都是各方案的評價信息相對于正、負參照點計算出的?？捎删嚯x公式（3）可以求出各方案到正負理想方案的距離，即與再求各決策者對方案Ai在準則Cj下的欣喜后悔函數(shù)為：

在按照式（6）求出欣喜-后悔值，根據WAA算子對不同決策者的欣喜-后悔值進行集結，方案Ai在準則Cj下的群體欣喜-后悔值為：

步驟4：確定屬性權重，選擇最優(yōu)方案

近年來，利用極大熵原理求屬性權重得到了廣泛的應用，當權重熵值達到最大時，準則權重系列的不確定性最小。同時考慮方案Ai的評價值與正理想點的接近性，方案與正理想點距離越遠，后悔值就越?。ê蠡谥禐樨摂?shù)）；方案與負理想點距離越遠，欣喜值就越大，而要調整權重系數(shù) (w1，w2，…，wn)使欣喜-后悔值最大，因此，可以構建如下的目標優(yōu)化模型：

將上述多目標問題轉化為單目標問題，即：

表1 專家E1給出的決策矩陣

表2 專家E2給出的決策矩陣

表3 專家E3給出的決策矩陣

其中0＜λ＜1，當兩個優(yōu)化目標函數(shù)進行公平競爭時，λ一般取0.5。運用運籌優(yōu)化軟件，可以方便的獲取最優(yōu)的準則權重，最后由準備權重計算出方案的綜合欣喜-后悔值，根據欣喜-后悔值的排序選擇出最優(yōu)的方案。

3 算例分析

為驗證該基于模糊多準則群決策方法的可行性和合理性，采用文獻[11]中的算例，決策背景是：某城市計劃在郊區(qū)建設一個冷庫以儲存多種生鮮產品，滿足人們日益增加的對生鮮產品的需求。建設生鮮冷庫的最核心的部分就是安裝能夠達到運行目標的空調系統(tǒng)，而安裝空調系統(tǒng)必須考慮到冷庫的空間結構等因素。項目承包人根據生鮮冷庫的各項實際特征，在充分了解通風管道和水管布置情況、防火閥與消聲器的布置狀況等具體信息的基礎上，給出了5種安裝空調系統(tǒng)方案，簡記為Ai(i=1，2，…，5)。組建專家小組（由不同領域的專家組成）對各方案進行評價，對安裝空調系統(tǒng)的方案的主要評價一級準則有：經濟性（C1）、功能性（C2）、操作性（C3），為了簡化問題，并未考慮二級細分準則。假設共有3個專家Ek（k=1，2，3）對方案進行評價，并確定最終選擇的方案。選擇不同空調系統(tǒng)給生鮮冷庫帶來的效益不確定性存在風險態(tài)度的差異，因此考慮其決策行為基于有限理性的假設。同時，考慮到專家在對不同方案的評估認定過程中，由于熟悉程度的差異等因素導致認知的模糊性較強。所采用的模糊數(shù)應蘊含各專家提供的準則評價信息，區(qū)間直覺模糊數(shù)能夠充分地反映出決策個體因個人偏好及信息相對不確定性等因素影響下產生的評估差異。最終，各決策者采用區(qū)間直覺梯形模糊數(shù)給出各個方案各準則的評估信息，評價信息如表1、表2、表3所示。

根據本文提出的針對評價信息為區(qū)間直覺梯形模糊數(shù)的多準則群決策方法，對空調系統(tǒng)選擇的問題進行決策，具體步驟如下：

步驟1：三個評價準則中，經濟性（C1）屬于成本性準則，而功能性（C2）、操作性（C3）屬于效益性準則。由式（7）、式（8）對3位專家給出的決策矩陣分別進行規(guī)范化處理，從而得出如下的規(guī)范化的決策矩陣：

表4 E1的備選方案與其正負理想方案間的距離

表5 E2的備選方案與其正負理想方案間的距離

表6 E3的備選方案與其正負理想方案間的距離

根據式（9）和式（10）求得wk分別為：0.3221、0.3006、0.3773。

步驟3：根據式（11）、式（12）、式（6）可求得各方案的欣喜-后悔值，由步驟2求出的決策者權重系數(shù)，把各決策者對各方案的欣喜-后悔矩陣集結成群決策的欣喜-后悔矩陣，如表7所示。

表7 群體決策的欣喜-后悔矩陣

步驟4：計算方案的指標權重

通過Lingo計算得到，各準則的權重系數(shù)分別是0.2981、0.3557、0.3462，最后計算各方案的欣喜-后悔值分別為 -0.0660、0.0546、-0.0154、-0.0520、0.0515。綜合分析，欣喜-后悔值越大，則方案越優(yōu)，可以得到各方案的排序：

因此，方案A2是最優(yōu)的決策方案，與文獻[12]中的最優(yōu)決策方案相同，說明改決策方法的有效性。但是兩者的備選方案排序結果并不完全一致，文獻[11]是運用各方案到正理想方案的灰色關聯(lián)投影值比較的方法進行決策，屬性權重是考慮決策矩陣到負極端矩陣與平均決策矩陣的距離計算，而本文屬性權重是由各決策者的決策偏好大小決定，并考慮了心理行為影響因素，綜合了各方案到正理想方案的后悔值與到負理想方案的欣喜值進行評優(yōu)排序。

4 結束語

本文基于后悔理論，在限理性的假設基礎之上，將決策者“后悔規(guī)避”的心理行為引入多準則群決策問題。針對采用區(qū)間直覺梯形模糊數(shù)表示特征值的決策問題，本文依據區(qū)間直覺梯形模糊數(shù)去模糊化來比較各方案準則評價值大小，確定正負理想方案作為各方案參考點，根據決策偏好大小計算決策者的權重，由此得出群決策的欣喜-后悔矩陣，基于極大熵思想和欣喜-后悔值最大原則確定最優(yōu)準則權重，最后計算出各方案的綜合欣喜-后悔值，對備選方案擇優(yōu)排序。該模糊決策方案綜合考慮了準則的客觀權重及決策者的心理因素，更加符合決策者的心理行為，且方法簡單易于在計算機上操作。

參考文獻:

[1]Atanassov K T.Lntuitionistic Fuzzy Sets[J].Fuzzy Sets and Systems，1986，20(1).

[2]Zadeh L A.Fuzzy Sets[J].Information and Control，1965，8(3).

[3]Atanassov K T.Interval Valued Intuitionistic Fuzzy Sets[J].Fuzzy Sets and Systems，1989，31(3).

[4]Shu M H，Chcng C H，Chang Jingrong.Using Intuitionistic Fuzzy Sets for Fault-Tree Analysis on Printed Circuit Board Assembly[J].Mi?croelectronics Reliability,2006，46(12).

[5]王堅強，張忠.基于直覺模糊數(shù)的信息不完全的多準則規(guī)劃方法[J].控制與決策，2008,23(10).

[6]王堅強.模糊多準則決策方法研究綜述[J].控制與決策,2008,23(6).

[7]萬樹平.基于區(qū)間直覺梯形模糊數(shù)的多屬性決策方法[J].控制與決策,2011,26(6).

[8]周曉輝,姚儉,吳天魁.區(qū)間直覺梯形模糊Bonferroni平均算子及在多屬性群決策中的應用[J].運籌與管理,2016,25(3).

[9]周曉輝,姚儉.基于Choquet積分的區(qū)間直覺梯形模糊多屬性群決策[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學,2015,(2).

[10]萬樹平.基于分式規(guī)劃的區(qū)間梯形直覺模糊數(shù)多屬性決策方法[J].控制與決策,2012,27(3).

[11]王海元,韓二東.灰色關聯(lián)投影下的模糊多屬性群決策方法[J].計算機工程與應用,2016,(19).

[12]付沙,唐曉波,劉鐘理等.區(qū)間直覺梯形模糊數(shù)MADM問題的灰色關聯(lián)分析方法[J].科技管理研究,2015,(5).

[13]Bell D E.Regret in Decision Making Under Uncertainty[J].Opera?tions Research,1982,30(5).

[14]Loomes G,Sugden R.Regret Theory:An Alternative Theory of Rational Choice Under Uncertainty[J].Journal of Economic,1982,92(368).

[15]Chorus C G.Regret Theory-Based Route Choices and Traffic Equi?libria[J].Transportmetrica,2012,8(4).

[16]Laciana C E.Weber E U.Correcting Expected Utility for Compari?sons Between Alternative Outcomes:A Unified Parameterization of Regret and Disappointment[J].Journal of Risk and Uncertainty,2008,36(1).

[17]Xu Z S.Intuitionistic Fuzzy Aggregation Operators[J].IEEE Transac?tions on Fuzzy Systems,2007,15(6).

[18]陳振頌,李延來.基于IITFN輸入的復雜系統(tǒng)關聯(lián)MAGDM方法[J].自動化學報,2014,(7).