延續(xù)數(shù)學(xué)思維 提高復(fù)習(xí)效率
——《整數(shù)混合運(yùn)算復(fù)習(xí)課》教學(xué)片斷與思考

許玉燕

（本文作者系朱樂(lè)平名師工作站“一課研究”組成員）

有效的數(shù)學(xué)教學(xué)注重思維的訓(xùn)練，強(qiáng)調(diào)思維品質(zhì)的提升。從計(jì)算復(fù)習(xí)課的角度出發(fā)，教師在對(duì)思維能力處在不斷發(fā)展和提升的小學(xué)生進(jìn)行教學(xué)時(shí)，需要潛心解讀教材，更要用心研讀學(xué)生，抓住有效的生成資源與思維火花，做到“題盡其用”，引導(dǎo)學(xué)生在“算中思”“思中悟”“悟中通”，有效促其思維品質(zhì)的提升。

一、猜想操作，促成思維的敏捷性

【教學(xué)片斷一】

課始出示人教版二年級(jí)下冊(cè)練習(xí)十三第1題（數(shù)據(jù)稍有改變）：

師：觀察每一組題，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：每組算式中的數(shù)一樣，但下面的算式中有小括號(hào)，上面算式中沒(méi)有，所以運(yùn)算順序不一樣。

師：猜猜每組題的計(jì)算結(jié)果會(huì)一樣嗎？（學(xué)生意見不一致）

（學(xué)生獨(dú)立用遞等式的形式在練習(xí)本上完成，請(qǐng)幾名學(xué)生板演。匯報(bào)計(jì)算過(guò)程，重點(diǎn)反饋錯(cuò)例，在反饋中復(fù)習(xí)運(yùn)算法則）

師：先算什么？再算什么？

每一組題校對(duì)后，教師追問(wèn)：運(yùn)算順序相同嗎？（不同）計(jì)算結(jié)果呢？（相同）

【思考：通過(guò)“觀察——猜測(cè)——操作——驗(yàn)證”四步，使學(xué)生從認(rèn)知沖突到結(jié)論一致，實(shí)現(xiàn)了本題第一層次的三點(diǎn)目標(biāo)：一是保證了一定的技能練習(xí)量；二是通過(guò)匯報(bào)交流，結(jié)合具體題目回顧復(fù)習(xí)了運(yùn)算法則；三是激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與探究欲望?！?/p>

二、由表及里，培育思維的深刻性

【教學(xué)片斷二】

師：從剛才的檢驗(yàn)過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)了這四組題有什么共同點(diǎn)嗎？

生：每組題運(yùn)算順序不一樣，結(jié)果都一樣。

師：怎么會(huì)這樣呢？這幾組題里藏了什么奧秘才會(huì)出現(xiàn)這樣的特點(diǎn)呢？

生：第一組中上面的算式是一個(gè)一個(gè)減去，下面的算式是先在小括號(hào)里加起來(lái)，然后再一口氣減去，所以結(jié)果一樣。

師：真是一語(yǔ)點(diǎn)醒夢(mèng)中人啊。其他同學(xué)聽懂了嗎？你能舉個(gè)生活中的例子來(lái)說(shuō)明嗎？

生：比如我有65支鉛筆，先送給樂(lè)樂(lè)19支，再送給方方31支，還剩15支，可以用連減算。也可以把送給樂(lè)樂(lè)的19支和送給方方的31支鉛筆加起來(lái)一共50支先一起拿走，這樣我最后還是剩下15支。

教師小結(jié)：像這樣連減的算式，我們可以改寫成被減數(shù)減去兩個(gè)減數(shù)的和，結(jié)果不變。

（在匯報(bào)中發(fā)現(xiàn)關(guān)于減法的算式，學(xué)生能簡(jiǎn)單通過(guò)舉例說(shuō)理，而關(guān)于除法的算式，學(xué)生則說(shuō)不清，但都能發(fā)現(xiàn)加了小括號(hào)后，后面一個(gè)符號(hào)發(fā)生了變化。對(duì)此教師直接課件出示下圖，以釋算理）

【思考：數(shù)學(xué)家張伯駒先生曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)使我學(xué)會(huì)長(zhǎng)時(shí)間的思考，而不是匆忙地去做出解答?！币虼嗽诓孪腧?yàn)證的基礎(chǔ)上，我給學(xué)生充分的時(shí)間獨(dú)立思考，小組交流，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考算式中的特點(diǎn)與規(guī)律，嘗試結(jié)合生活實(shí)例來(lái)說(shuō)明算式之間的聯(lián)系。關(guān)于減法和除法性質(zhì)的教學(xué)，教材主要編排在四年級(jí)下冊(cè)的運(yùn)算定律中，因此，我并沒(méi)有強(qiáng)加給學(xué)生這些概念的解析，而是引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活情境去理解抽象的算理，讓學(xué)生用已有的生活經(jīng)驗(yàn)去支撐現(xiàn)有的數(shù)學(xué)認(rèn)知，使數(shù)學(xué)模型在學(xué)生頭腦中構(gòu)建得更為深刻。對(duì)于除法的性質(zhì)學(xué)生不易想到合適的生活情境來(lái)解釋，我直接借助動(dòng)態(tài)圖從乘除法意義的角度進(jìn)行演示，也滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想?！?/p>

三、感悟?qū)Ρ?，發(fā)展思維的靈活性

【教學(xué)片斷三】

師：第一組中兩題算式結(jié)果都一樣，你覺得哪一題算起來(lái)更方便？為什么？

生：下面一題算起來(lái)方便。因?yàn)榈诙}括號(hào)里剛好算出來(lái)是50，65-50容易口算。上面一題需要退位，比較麻煩。

教師小結(jié)：連減的算式中如果發(fā)現(xiàn)兩個(gè)減數(shù)的和正好是整十?dāng)?shù)或整百數(shù)，我們就可以利用小括號(hào)改寫成先加再減的算式。

（通過(guò)幾組題的比較，關(guān)鍵引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)到特殊情況下加上小括號(hào)會(huì)使計(jì)算變得更簡(jiǎn)便）

【思考：簡(jiǎn)便運(yùn)算是對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練、培養(yǎng)學(xué)生利用規(guī)律實(shí)現(xiàn)計(jì)算最優(yōu)化思想的重要途徑。系統(tǒng)的簡(jiǎn)便運(yùn)算教學(xué)一般放在四年級(jí)下冊(cè)教學(xué)運(yùn)算定律之后，但簡(jiǎn)便運(yùn)算不僅是一種技能，更是一種優(yōu)化的意識(shí)，這種簡(jiǎn)算的意識(shí)需要時(shí)刻培養(yǎng)與滲透，二年級(jí)學(xué)生同樣需要。因此，本節(jié)課旨在通過(guò)對(duì)比，使學(xué)生感悟何種情況下用小括號(hào)會(huì)使計(jì)算更簡(jiǎn)便，培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力，發(fā)展思維的靈活性?！?/p>

四、驗(yàn)證規(guī)律，調(diào)動(dòng)思維的批判性

【教學(xué)片斷四】

師：像這樣運(yùn)算順序不同、結(jié)果相同的算式還有嗎？你能創(chuàng)造幾組嗎？試著寫一寫。

學(xué)生匯報(bào)，教師板書并現(xiàn)場(chǎng)引導(dǎo)學(xué)生一起計(jì)算驗(yàn)證。發(fā)現(xiàn)有兩類例證：

第一類：順序不同，結(jié)果相等16÷8÷2 36÷6×2 32-12-18 16÷（8×2） 36÷（6÷2） 32-（12+18）

第二類：順序不同，結(jié)果不等20+15+10 6×4÷3 24÷4-4 20+（15-10） 6×（4×3） 24÷（4+4）

（學(xué)生看到結(jié)果不等時(shí)很驚訝）

（教師先不做任何評(píng)論，分別根據(jù)結(jié)果把算式寫在兩個(gè)不同的區(qū)域，說(shuō)：明明是按剛才的規(guī)律列的算式，怎么這些同學(xué)的算式得數(shù)卻不相等呢？是這個(gè)規(guī)律不成立嗎？還是另有原因呢？）

［通過(guò)觀察、思辨，學(xué)生最終總結(jié)出兩個(gè)使算式結(jié)果相等的條件：1.原式是同級(jí)運(yùn)算（只加減或只乘除）；2.跟原式中第一個(gè)符號(hào)有關(guān)，第一個(gè)符號(hào)必須是“-”或“÷”］

【思考：既然學(xué)生出現(xiàn)了錯(cuò)例，教師就不能視而不見，那么如何對(duì)二年級(jí)的學(xué)生解釋這現(xiàn)象背后的本質(zhì)更為合適呢？在小學(xué)第一學(xué)段，既沒(méi)有學(xué)過(guò)相關(guān)的運(yùn)算律，更沒(méi)有學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)的計(jì)算，所以對(duì)于“化減為加、化除為乘”的原理無(wú)法剖析。而對(duì)于形象思維占據(jù)主要地位的低段學(xué)生而言，更無(wú)必要刻意提前滲透。因此，面對(duì)困惑，我主要從兩條路徑引導(dǎo)學(xué)生探明原因：一是結(jié)合生活情境舉例揭示算式不成立的原因；二是引導(dǎo)學(xué)生觀察第一類算式的共性，算式中的第一個(gè)符號(hào)非減即除，并且同一個(gè)算式中的運(yùn)算非加減即乘除。這樣的處理方式是建立在學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律基礎(chǔ)上來(lái)深刻認(rèn)識(shí)和理解的，能有效糾正類似想當(dāng)然的錯(cuò)誤發(fā)生。在教學(xué)中我們應(yīng)把握好“知識(shí)深度”，但需追求“思維深度”，充分調(diào)動(dòng)和培養(yǎng)學(xué)生思維的活躍性與批判性。】

五、啟發(fā)聯(lián)想，鼓勵(lì)思維的獨(dú)創(chuàng)性

【教學(xué)片斷五】

師：具有這樣特點(diǎn)的算式還能寫幾個(gè)呢？寫得完嗎？（寫不完）

（當(dāng)幾乎所有人都認(rèn)為對(duì)這道題的研究即將告一段落時(shí)，班上突然有一男生發(fā)言：“老師，我有辦法。可以用字母來(lái)代表所有的數(shù)。”）

師：為什么選用字母表示呢？

生：因?yàn)榧偃缱帜缚梢员硎救魏螖?shù)的話就可以。

師：你打算怎樣表示？

［學(xué)生回答，教師板書：A-BC=A-（B+C）］

隨即學(xué)生呈現(xiàn)出了各種符號(hào)表示的等式：

【思考：有研究表明，思維的獨(dú)創(chuàng)性具有明顯的后天性，是在主體思維發(fā)展的進(jìn)程中逐步形成和穩(wěn)定化的，因而在其形成和發(fā)展時(shí)期具有可培養(yǎng)性。而思維獨(dú)創(chuàng)性的培養(yǎng)需要教師給予學(xué)生的行為、思想較大的自由度，這樣才會(huì)增強(qiáng)自主意識(shí)，學(xué)會(huì)獨(dú)立思考、自由表達(dá)、自我選擇，促進(jìn)自我發(fā)展。因此本環(huán)節(jié)中對(duì)于學(xué)生的意外發(fā)言，我并沒(méi)有草草收?qǐng)?，而給予充分的表達(dá)機(jī)會(huì)，從而把他的獨(dú)特想法示之于眾。如此，不僅讓其他學(xué)生受到了思維啟迪，使課堂氣氛又一次高漲，還借機(jī)自然地滲透了符號(hào)化的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維能力及創(chuàng)新的思維品質(zhì)。】

發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)，復(fù)習(xí)課的教學(xué)不能只定位于知識(shí)點(diǎn)的梳理與體系的構(gòu)建，更應(yīng)注重復(fù)習(xí)效率的優(yōu)化及學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)。一道題，多層次、多角度，在復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)讓學(xué)生參與和經(jīng)歷各類數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，善于捕捉與思考規(guī)律背后的本質(zhì)，獲得自我生長(zhǎng)的力量。讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得以延續(xù)生長(zhǎng)，使復(fù)習(xí)課取得理想的效果。