自主探索為基石 方法引領(lǐng)為階梯
——《梯形面積》教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析

執(zhí)教/趙姝蓉 指導(dǎo)/姜榮富

【教學(xué)內(nèi)容】

浙教版五年級(jí)。

【教學(xué)過(guò)程】

一、回顧舊知，引入新知

師：還記得我們是用什么方法研究平行四邊形面積的計(jì)算公式嗎？那么三角形面積該怎么研究呢？

師：如果將三角形面積的研究方法分為兩類(lèi)，可以怎么分？

生：分為倍拼和割補(bǔ)兩類(lèi)。

師：雖然轉(zhuǎn)化的方法不同，但都是轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的平行四邊形或長(zhǎng)方形來(lái)研究的。

師：（出示一般梯形）今天我們一起來(lái)學(xué)習(xí)《梯形面積》一課，根據(jù)你們以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，可以把梯形轉(zhuǎn)化成什么圖形？

（學(xué)生獨(dú)立思考，發(fā)言）

【評(píng)析：導(dǎo)入部分回顧了平行四邊形和三角形面積計(jì)算公式的探究方法，一方面梯形面積計(jì)算推導(dǎo)時(shí)要用到平行四邊形和三角形的面積計(jì)算公式；另一方面，“轉(zhuǎn)化”的思想是一脈相承的。將三角形面積探究的方法類(lèi)化為倍拼和割補(bǔ)兩種方法，“類(lèi)化”對(duì)于梯形面積計(jì)算公式的探究是重要的鋪墊。通過(guò)知識(shí)聯(lián)系和方法類(lèi)化，為后繼學(xué)習(xí)積累經(jīng)驗(yàn)，打好基礎(chǔ)?！?/p>

二、動(dòng)手操作，自主探究

1.獨(dú)立操作，教師巡視。

師：老師在材料包里準(zhǔn)備了一些梯形，請(qǐng)根據(jù)自己的想法轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的圖形。

（學(xué)生獨(dú)立剪拼研究）

2.小組交流，準(zhǔn)備匯報(bào)。

（1）說(shuō)說(shuō)自己是怎樣轉(zhuǎn)化的。

（2）補(bǔ)充別人沒(méi)有的方法。

（3）推選代表進(jìn)行匯報(bào)。

3.匯報(bào)方法，全班展示。

（學(xué)生展示剪拼的方法）

預(yù)設(shè)：②③④⑥⑧這些方法是學(xué)生比較容易出現(xiàn)的；沒(méi)有出現(xiàn)的①⑤⑦⑨這些方法，可以電腦展示。

師：轉(zhuǎn)化后圖形的面積和原來(lái)梯形的面積有什么關(guān)系？

（倍拼的面積是原來(lái)梯形面積的兩倍，其余的和原梯形面積一樣，第9種例外）

師：轉(zhuǎn)化后的哪一種圖形最容易算出它的面積？

生：倍拼的圖形最容易。

【評(píng)析：在這個(gè)環(huán)節(jié)，不給出具體的數(shù)據(jù)更加能突出圖形轉(zhuǎn)化的重點(diǎn)，學(xué)生通過(guò)獨(dú)立操作，研究、展示出各種轉(zhuǎn)化方法。其中一部分是很容易看出如何轉(zhuǎn)化的，也有一部分是不容易看出來(lái)的。對(duì)于不容易看出來(lái)的，請(qǐng)學(xué)生談?wù)勏敕?，相互交流，互相啟發(fā)，使其方法多樣化?！?/p>

4.計(jì)算面積，歸納公式。

師：你能算出②號(hào)平行四邊形的面積嗎？

生：不能，沒(méi)有數(shù)據(jù)。

師：如果只給你梯形的數(shù)據(jù)，行嗎？（行）那你們覺(jué)得需要梯形的哪些數(shù)據(jù)呢？

（教師給出數(shù)據(jù)：上底3、下底 7、高 4和腰 5）

師：現(xiàn)在怎樣計(jì)算平行四邊形的面積？怎樣計(jì)算梯形的面積？

板書(shū)：S梯=（3+7）×4÷2=20

師：這個(gè)算式里的各部分分別表示轉(zhuǎn)化后圖形的哪個(gè)部分？

生：3+7表示轉(zhuǎn)化后平行四邊形的底，4表示轉(zhuǎn)化后平行四邊形的高。

師：請(qǐng)從剩余的轉(zhuǎn)化方法中，選一種求轉(zhuǎn)化后的圖形面積。

（1）學(xué)生選擇數(shù)據(jù)，計(jì)算轉(zhuǎn)化后圖形的面積。

（2）反饋梯形面積計(jì)算的算式和結(jié)果。

師：觀察②④⑧這三種圖形的計(jì)算算式有什么共同點(diǎn)？

生：都可以整理成為S梯=（3+7）×4÷2=20。

師：通過(guò)轉(zhuǎn)化和計(jì)算發(fā)現(xiàn)梯形的面積與什么有關(guān)？

生：上底、下底和高。

師：通過(guò)剛才的活動(dòng)，可以總結(jié)出怎樣計(jì)算梯形的面積？

生：S梯=（上底+下底）×高÷2。

師：觀察③，因?yàn)檗D(zhuǎn)化后圖形的面積也是20，說(shuō)明你們的方法都是正確的，只是每種算式的表達(dá)形式不同，你們能整理成這樣的表達(dá)方式嗎？

師：那么這里的（3+7）表示什么？

生：上底加下底。

師：看樣子在計(jì)算梯形面積的時(shí)候和什么無(wú)關(guān)？

生：和兩個(gè)腰無(wú)關(guān)。

（3）如果我們現(xiàn)在用a來(lái)表示上底、b表示下底、h表示高，你能用算式來(lái)表示梯形的面積嗎？

學(xué)生嘗試用字母表示：S=（a+b）×h÷2

（4）課外補(bǔ)充：展示學(xué)生沒(méi)有討論到的推理方法，鼓勵(lì)學(xué)生課后繼續(xù)研究。

【評(píng)析：給出梯形的上底、下底、兩腰和高的完整數(shù)據(jù)，由學(xué)生自己選擇有用的數(shù)據(jù)計(jì)算轉(zhuǎn)化后圖形的面積，這樣的經(jīng)歷讓學(xué)生充分感受到梯形的面積計(jì)算公式與上底、下底和高有關(guān)。整體呈現(xiàn)轉(zhuǎn)化圖形和相應(yīng)的面積算法，引導(dǎo)學(xué)生歸納、概括出梯形面積計(jì)算公式：S=（上底+下底）×高÷2。其中分割成兩個(gè)三角形的轉(zhuǎn)換方法，分割很容易，但是算式推導(dǎo)對(duì)學(xué)生有些困難，因?yàn)檫@里需要用到乘法分配律來(lái)提取公因數(shù)（高）。因此，我們把兩個(gè)三角形的轉(zhuǎn)換放在最后展開(kāi)：第一，有了前面幾種的歸納和結(jié)果的相等，學(xué)生必然會(huì)有所猜想；第二，通過(guò)計(jì)算結(jié)果相等，也方便學(xué)生驗(yàn)證推理。在學(xué)生轉(zhuǎn)化和推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，水到渠成地提出用a來(lái)表示上底、b表示下底、h表示高，從而得到S=（a+b）×h÷2。】

三、應(yīng)用公式，梳理溝通

1.出示各種梯形，填表練習(xí)。

（1）獨(dú)立完成后，集體反饋。

（2）總結(jié)，強(qiáng)化梯形面積的計(jì)算公式。

（學(xué)生如有困惑，可以任選一個(gè)通過(guò)數(shù)方格驗(yàn)證）

2.對(duì)三角形、梯形、平行四邊形面積公式進(jìn)行溝通聯(lián)系。

師：今天我們研究了梯形的面積計(jì)算公式，之前我們還學(xué)習(xí)了三角形和平行四邊形的面積計(jì)算公式。它們之間有什么聯(lián)系？

（課件演示，引導(dǎo)學(xué)生直觀理解當(dāng) b=0 時(shí)，S=ah÷2）

師：梯形的面積計(jì)算公式和平行四邊形的面積計(jì)算公式有什么聯(lián)系？

（課件演示，引導(dǎo)學(xué)生直觀理解當(dāng) a=b 時(shí)，S=ah）

【評(píng)析：最后的環(huán)節(jié)沒(méi)有設(shè)計(jì)應(yīng)用公式解決實(shí)際問(wèn)題，還是放在數(shù)學(xué)情境內(nèi)，主要是“直接應(yīng)用公式”和“梳理溝通公式”。第一，應(yīng)用公式求取方格圖中的梯形面積，一方面可以鞏固梯形公式，另一方面方格有助于學(xué)生將面積計(jì)算公式和面積的本義（單位面積的個(gè)數(shù)）聯(lián)系起來(lái)；第二，將平行四邊形、三角形和梯形的公式進(jìn)行溝通，不僅對(duì)于單元課之間有所呼應(yīng)，更重要的是，這樣的梳理溝通蘊(yùn)含著“極限”的思想，為后繼學(xué)習(xí)圓面積公式的推導(dǎo)做準(zhǔn)備，較好地發(fā)展了學(xué)生的空間觀念?！?/p>

【課例綜述】

雖然從整體上看這節(jié)課并沒(méi)有跳脫圖形課從問(wèn)題情境——推導(dǎo)公式——應(yīng)用公式的傳統(tǒng)模式，但從細(xì)節(jié)上看這節(jié)課每個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)都有獨(dú)特的理解和理念在支撐，特別是充分展開(kāi)公式的推導(dǎo)過(guò)程，甚至在練習(xí)中強(qiáng)調(diào)對(duì)于公式的多樣化的理解，值得品味。

1.圖形聯(lián)系，巧妙回顧。從回顧平行四邊形面積和三角形面積的探究方法引入本課，到讓學(xué)生類(lèi)化三角形面積的探究方法，一方面避免了簡(jiǎn)單的再認(rèn)回憶，另一方面在眾多的方法中進(jìn)行分類(lèi)是一種更高層次的思維方式。這種對(duì)知識(shí)的回顧是有一定的教學(xué)增量的，也為后繼的學(xué)習(xí)做好充分的準(zhǔn)備。

2.探索方法，分層推導(dǎo)。在梯形面積推導(dǎo)的過(guò)程中，經(jīng)歷用分、合、移、補(bǔ)等方法探索梯形面積計(jì)算方法的過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷方法的交流詮釋、轉(zhuǎn)化溝通、抽象概括過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。對(duì)于多樣的轉(zhuǎn)化方法，從學(xué)生的角度考慮，有意識(shí)分層、分類(lèi)交流與推進(jìn)，很好地處理了學(xué)生自主學(xué)習(xí)和教師主導(dǎo)深入之間的關(guān)系。各種方法顯得多而不亂，既概括共性，生成普遍的算法 S=（a+b）h÷2，又張揚(yáng)個(gè)性，不同的人對(duì)公式有不同的理解。

3.極限思想，整合溝通。通過(guò)動(dòng)態(tài)的多媒體演示，滲透極限思想，把平行四邊形、三角形和梯形面積計(jì)算公式溝通整合：當(dāng)b=0時(shí)，梯形轉(zhuǎn)變?yōu)槿切危娣e公式為 S=ah÷2；當(dāng) a=b時(shí)，梯形轉(zhuǎn)變?yōu)槠叫兴倪呅危娣e公式為S=ah。這一聯(lián)系打通了三種圖形面積之間的隔閡，溝通了算法聯(lián)系，給學(xué)生新鮮的經(jīng)驗(yàn)和角度。而這種用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題的思想、理念，也為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)，特別是形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)奠定了基礎(chǔ)。