數(shù)學(xué)多元表征：向?qū)W生的思維深處漫溯

席愛(ài)勇

所謂數(shù)學(xué)多元表征，就是指數(shù)學(xué)知識(shí)在人的心理活動(dòng)中的多種表現(xiàn)和記載的方式，分為數(shù)學(xué)外在多元表征和數(shù)學(xué)內(nèi)在多元表征兩類。數(shù)學(xué)外在多元表征是指“需要學(xué)生理解和掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，包括數(shù)學(xué)概念、命題和問(wèn)題解決等；或數(shù)學(xué)陳述性知識(shí)、程序性知識(shí)和策略性知識(shí)等”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的外在形式，主要有情境表征、實(shí)物表征、模型表征、圖像表征、口語(yǔ)表征、文字表征、符號(hào)表征等多種形式；數(shù)學(xué)內(nèi)在多元表征則指?jìng)€(gè)體對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的意義賦予與建構(gòu)，是數(shù)學(xué)多元外在表征的內(nèi)化結(jié)果，包括言語(yǔ)表征系統(tǒng)即言語(yǔ)碼和言語(yǔ)碼組織（如命題、圖式、CPFS結(jié)構(gòu)等），心象表征系統(tǒng)即心象碼和心象碼組織（如視空間表征、心智模式等），以及兩個(gè)系統(tǒng)整合的綜合表征系統(tǒng)。

數(shù)學(xué)多元表征，不僅僅給學(xué)生提供多元化問(wèn)題解決方案，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生多樣化思維方式和習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的全面提升。筆者嘗試以蘇教版五年級(jí)《解決問(wèn)題的策略——列舉》為例，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)多元表征的過(guò)程，讓列舉策略向?qū)W生的思維深處漫溯。

一、從動(dòng)作表征走向圖形表征

對(duì)于解決像“用12個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形可以拼成幾種不同的長(zhǎng)方形？怎樣拼周長(zhǎng)最小？”這樣的實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生最先想到的方法就是動(dòng)手拼一拼。在教學(xué)中，教師要善于順應(yīng)學(xué)生的天性，不妨大膽放手讓學(xué)生先拼一拼，積累豐富的感性經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生逐步條理化和抽象化，一步步自然地走進(jìn)問(wèn)題的核心。

通過(guò)動(dòng)手操作，有的學(xué)生能全部表征出拼成的長(zhǎng)方形，但沒(méi)有按照一定的順序（如圖1），有的學(xué)生只能部分表征出拼成的長(zhǎng)方形（如圖2）。

圖1

圖2

這時(shí)教師可組織學(xué)生通過(guò)小組交流和集體研討，按照寬從小到大或按照長(zhǎng)從大到小有序全部表征出拼成的長(zhǎng)方形（如圖3），教師還可以引導(dǎo)學(xué)生有序畫出示意圖（如圖4），進(jìn)一步抽象化，實(shí)現(xiàn)從動(dòng)作表征走向圖形表征。

圖3

圖4

二、從圖形表征走向符號(hào)表征

學(xué)生在實(shí)現(xiàn)從動(dòng)作表征走向圖形表征的同時(shí)，教師還可以引導(dǎo)他們比較拼好的不同長(zhǎng)方形，思考這幾個(gè)長(zhǎng)方形有什么相同之處和不同之處？學(xué)生很容易看出它們的面積相等，都是12平方厘米，因?yàn)槎际怯?2個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形拼成的。學(xué)生還會(huì)進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：拼成的長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的積都等于12，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，3種形狀不同但面積相等的長(zhǎng)方形可以寫出3道乘數(shù)不同的乘法算式：12×1=12，6×2=12，4×3=12。這樣就把“用 12 個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形可以拼成幾種不同的長(zhǎng)方形”轉(zhuǎn)化成“兩個(gè)自然數(shù)相乘，積是12的乘法算式有幾種”的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從圖形表征走向符號(hào)表征。

當(dāng)學(xué)生遇到“用100個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形可以拼成幾種不同的長(zhǎng)方形”時(shí)，學(xué)生自然就會(huì)想到用符號(hào)表征（列舉算式）來(lái)解決問(wèn)題：100×1=100（平方厘米），50×2=100（平方厘米），25×4=100（平方厘米），20×5=100（平方厘米），10×10=100（平方厘米），因此，用100個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形可以拼成5種不同的長(zhǎng)方形。學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也逐步實(shí)現(xiàn)從具體形象思維向抽象符號(hào)思維不斷邁進(jìn)。

三、從外在表征走向內(nèi)在表征

《解決問(wèn)題的策略——列舉》教學(xué)最終要讓學(xué)生形成列舉的策略意識(shí)，就要把數(shù)學(xué)外在表征不斷內(nèi)化為學(xué)生的內(nèi)在表征和自覺(jué)的數(shù)學(xué)思維方式。在教學(xué)中，教師可以通過(guò)改變數(shù)據(jù)，讓學(xué)生很難通過(guò)書面一一列舉，從而激發(fā)他們從書面列舉走向在心里列舉，實(shí)現(xiàn)從外在表征向內(nèi)在表征的轉(zhuǎn)化。例如，教師在引導(dǎo)學(xué)生完成“王大叔用22根1米長(zhǎng)的木條圍一個(gè)長(zhǎng)方形花圃。有多少種不同圍法？怎樣圍面積最大？”圖形的書面外在表征（如圖5）和表格的書面外在表征（如表 1）后，適時(shí)將數(shù)據(jù)“22”改成“220”，讓學(xué)生產(chǎn)生很難在紙上畫圖和列表的認(rèn)知沖突，這時(shí)教師可順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生在心里畫圖或列表，借助內(nèi)在表征系統(tǒng)解決問(wèn)題，不斷提升學(xué)生內(nèi)在表征水平，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的深度提升，將解決問(wèn)題的策略上升到意識(shí)和思維方式層面。

圖5

表一

教學(xué)片斷如下：

師：如果老師把“22根”改成“220根”，你還能很快發(fā)現(xiàn)有多少種不同圍法？怎樣圍面積最大嗎？

（有的學(xué)生動(dòng)手在紙上畫了一陣后發(fā)現(xiàn)圍法有很多種，放棄；也有的學(xué)生用列表的方法寫了一些數(shù)據(jù)后也發(fā)現(xiàn)圍法很多，不想寫下去了）

師：怎么愣在那里不畫不寫啦？

生1：圍法太多，一時(shí)畫不完、寫不完。

師：那我們能不能在心里畫或?qū)懩?？試著閉上眼睛在心里畫一畫、寫一寫、算一算。

師：誰(shuí)來(lái)試著說(shuō)一說(shuō)你在心里怎么畫的或想的？

生1：我在心里畫一畫、算一算：先用220÷2=110（米），長(zhǎng)畫109米時(shí)寬畫1米，面積是109×1=109（平方米）；長(zhǎng)畫108米時(shí)寬畫2米，面積是108×2=216（平方米）……長(zhǎng)畫55米時(shí)寬畫55米，面積是55×55=3025（平方米）。一共有55種不同圍法，長(zhǎng)55米、寬55米時(shí)，長(zhǎng)方形面積最大。

生 2：我在心里列表算：先用 220÷2=110（米），長(zhǎng)109米、寬1米、面積109平方米；長(zhǎng)108米、寬2米、面積216平方米……長(zhǎng)55米、寬55米、面積3025平方米。寬從1米變到55米，所以，一共有55種不同圍法，長(zhǎng)55米、寬55米時(shí)，長(zhǎng)方形面積最大。

從外在表征（圖形、表格的書面表達(dá)）走向內(nèi)在表征（圖形、表格的心象表達(dá)），順勢(shì)將學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平從具體形象思維推向直觀想象和抽象邏輯思維層次，有效提升學(xué)生解決問(wèn)題的策略水平和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。