中考復(fù)習(xí)教學(xué)新視角
——以《初中數(shù)學(xué)世界的“角”》為例

☉浙江省寧波市四眼碶中學(xué) 潘小梅

數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)，它是在學(xué)生學(xué)完了初中數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容后，進(jìn)行的一次系統(tǒng)的、全面的回顧與整理，以達(dá)到查漏補(bǔ)缺、深化對知識的理解和認(rèn)識，落實(shí)高層次智能目標(biāo)，促進(jìn)學(xué)生智能遷移的目的.但在實(shí)際的中考復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師往往是“以練代教”：通過學(xué)生練習(xí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的知識遺忘點(diǎn)，再通過題目強(qiáng)化，讓學(xué)生記住這些知識點(diǎn)的使用.復(fù)習(xí)表現(xiàn)為“做完一題再做一題”的重復(fù).或許從學(xué)生短時期掌握知識的效果來看，這不失為一種較好的復(fù)習(xí)方式.但與此同時，我們也發(fā)現(xiàn)由于知識并沒有以網(wǎng)狀的結(jié)構(gòu)在學(xué)生的頭腦中存儲，學(xué)生需要識記的題型、易錯點(diǎn)越來越多，記憶負(fù)擔(dān)越來越重，導(dǎo)致過一段時間錯誤再現(xiàn)，又需要循環(huán)練習(xí)強(qiáng)化.筆者正面臨畢業(yè)班中考復(fù)習(xí)教學(xué)，嘗試以一種新的視角來展開復(fù)習(xí)，受到了數(shù)學(xué)同行們的高度評價，現(xiàn)以《初中數(shù)學(xué)世界的“角”》一課為例，和同行們分享筆者的觀點(diǎn)和行動.

一、備課過程中的思考

1.初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)了哪些角

在初中數(shù)學(xué)中，先學(xué)習(xí)了角概念的兩種定義方式：一種是靜態(tài)定義，由一個頂點(diǎn)和該頂點(diǎn)出發(fā)的兩條射線組成的圖形叫做角；還有一種是動態(tài)定義，將一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，終邊和始邊組成的圖形稱之為角.接著，由兩條相交直線形成的交角引出對頂角，進(jìn)而學(xué)習(xí)余角、補(bǔ)角，在學(xué)習(xí)兩條平行線的判定和性質(zhì)之前學(xué)習(xí)了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角.然后，在三角形的學(xué)習(xí)中，復(fù)習(xí)了銳角、直角、鈍角，介紹了內(nèi)角、外角，以及特殊三角形中的頂角、底角，平行四邊形中的鄰角、對角，最后到圓中的圓心角、圓周角.可謂名目多，種類雜.

2.角如何分類？如何來研究角

仔細(xì)分析以上眾多的角，首先可以把它們分成兩大類：一類是“單角”，屬于角這一圖形類別中的一種特殊角.如頂角、底角、圓心角、圓周角等.還有一類是“雙角”，雖然名稱中落款“角”，但其實(shí)表示的是兩個角之間的關(guān)系.如對頂角、內(nèi)錯角、補(bǔ)角等.而雙角又可以分為只有位置關(guān)系的角，如同位角；只有數(shù)量關(guān)系的角，如余角；既有位置關(guān)系又有數(shù)量關(guān)系的角，如對頂角.深入思考兩個角之間的位置關(guān)系，我們可以發(fā)現(xiàn)都是從構(gòu)成角的兩個主要元素（頂點(diǎn)和邊）之間的關(guān)系來研究角之間的關(guān)系.

3.復(fù)習(xí)階段學(xué)生對角的認(rèn)識存在哪些問題

由于學(xué)生是依次學(xué)完如此眾多的角，所以他們大部分知道這些角的名字，了解這些角的性質(zhì)，也能運(yùn)用這些角的性質(zhì)去解決一些簡單的問題.根據(jù)課前調(diào)研，這些角在學(xué)生的頭腦中幾乎都像“散落的珍珠”，學(xué)生不能站在幾何系統(tǒng)的角度來梳理角，沒有居高臨下地認(rèn)識“用角的關(guān)系刻畫圖形的形狀”、“用角的關(guān)系改變圖形的位置”等研究幾何圖形的方法.

4.本課復(fù)習(xí)的教學(xué)目標(biāo)是什么

通過本課的復(fù)習(xí)，梳理初中數(shù)學(xué)的角，了解從數(shù)量和位置兩個方面來研究角之間的關(guān)系，在問題解決的過程中感悟角的位置和數(shù)量關(guān)系與其他圖形位置和數(shù)量之間關(guān)系的互化，體驗(yàn)用角的數(shù)量關(guān)系改變圖形的形狀等幾何圖形的研究方法.在問題解決的過程中，感悟數(shù)學(xué)研究對象的產(chǎn)生過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的方法.

二、教學(xué)過程簡述

1.出示具體圖形，梳理角的類別

教學(xué)過程：教師出示圖1，提問“它由哪些元素組成？”引導(dǎo)學(xué)生從角的邊和角的頂點(diǎn)來關(guān)注構(gòu)成角的主要元素.然后出示圖2至圖11所示圖形中各種各樣的角，讓學(xué)生通過具體的圖形回憶曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的角：銳角、直角、鈍角、平角、周角、對頂角、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角、鄰角和對角、補(bǔ)角和余角、底角和頂角、圓心角和圓周角.然后教師提問：“如何將這些角分類？”引出“單角”和“雙角”，接下來讓學(xué)生討論如何研究角？對于“單角”，主要關(guān)注角的頂點(diǎn)和邊，對于“雙角”可分為只有數(shù)量關(guān)系、只有位置關(guān)系、既有數(shù)量關(guān)系又有位置關(guān)系三種類別，讓學(xué)生進(jìn)一步體會從構(gòu)成角的要素來研究角之間的關(guān)系.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

圖12

圖13

圖14

設(shè)計意圖：本教學(xué)片段通過具體圖形喚醒學(xué)生回憶初中數(shù)學(xué)中形形色色的角，然后通過兩次分類形成角的類別，感悟從角的構(gòu)成元素（角的頂點(diǎn)和邊）來研究角以及角之間的關(guān)系，使得學(xué)生在三年初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“散落的角”以“數(shù)量和位置關(guān)系結(jié)構(gòu)”有序地存儲在學(xué)生的頭腦中.

2.問題引導(dǎo)，感悟“角的數(shù)量關(guān)系和線的位置關(guān)系相互轉(zhuǎn)化”

教學(xué)過程：出示圖12，教師提問：“如圖12是具有怎樣位置關(guān)系的兩條直線？”當(dāng)學(xué)生不假思索地回答“平行”時，教師進(jìn)一步追問“有什么方法斷定它們在很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)的地方一定沒有交點(diǎn)？”啟發(fā)學(xué)生想到畫截線出現(xiàn)三線八角，如圖13，通過同位角（或內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角）的數(shù)量關(guān)系來判斷線的位置關(guān)系.接著出示圖14，提問“當(dāng)∠A和∠C的一條邊平行時，另兩條邊相交成的∠B和∠A、∠C有什么關(guān)系？學(xué)生得到相鄰三個角的和為360°，即∠A+∠B+∠C=360°，接著過點(diǎn)D畫DE//AB得到圖15，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)相鄰三個角之間的關(guān)系，進(jìn)一步得到∠B+∠C+∠D=360°，類似地，過點(diǎn)E畫BC的平行線得到圖16所示的六邊形ABCDEF，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)該六邊形中相隔三個角之間的關(guān)系（∠A+∠C+∠E=360°），最后讓學(xué)生根據(jù)圖16思考“兩個角兩邊分別互相平行，這兩角有什么關(guān)系？”學(xué)生通過觀察特殊位置的一對角，如∠A和∠D，延長∠D的一邊得到“兩個角的兩邊分別互相平行，則兩個角相等或者互補(bǔ)”.

圖15

圖16

設(shè)計意圖：本教學(xué)片段筆者摒棄用題目（如圖16，在六邊形ABCDEF中，AB//DE，BC//EF，CD//FA，求證：∠A+∠C+∠E=360°），讓學(xué)生復(fù)習(xí)平行線的性質(zhì)，而是通過圖12到圖16的演變，感悟線的位置關(guān)系和角的數(shù)量關(guān)系互相轉(zhuǎn)化：從圖12到圖13的演變過程，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)中用角的數(shù)量關(guān)系刻畫線的位置關(guān)系的方法；從圖14到圖16的演變過程，感悟線的位置關(guān)系引起角的數(shù)量關(guān)系.了解角的數(shù)量關(guān)系還有類似“∠A+∠B+∠C=360°”這樣的和差關(guān)系，后續(xù)的引導(dǎo)性的思考題：“根據(jù)圖16觀察兩個角的兩邊互相平行，兩個角有什么關(guān)系？”既引出了一個常見的結(jié)論，也通過反思經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的過程.

3.類比探究，感悟用角的數(shù)量關(guān)系刻畫圖形的形狀

圖17

練習(xí)：你能模仿三角形，提出一個用角度來刻畫四邊形形狀的問題嗎？

教學(xué)過程：教師提問“三角形添加什么條件可以變?yōu)榈妊切?？等腰三角形添加什么條件變?yōu)榈冗吶切?？”學(xué)生回答“兩條邊相等的三角形是等腰三角形.三條邊相等的三角形是等邊三角形.”教師評價學(xué)生可以從“邊的視角”改變?nèi)切蔚男螤睿龑?dǎo)學(xué)生思考如何從“角的視角”改變?nèi)切蔚男螤?？在學(xué)生回答“有2個角相等的三角形是等腰三角形.有2個角為60°的三角形是等邊三角形”的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出如上題目，學(xué)生認(rèn)識到等邊三角形其實(shí)就是頂角與底角之比為1的等腰三角形；等腰直角三角形就是頂角與底角之比為2的等腰三角形；能被過頂點(diǎn)的角平分線分割為兩個三角形，其中一個三角形與原三角形相似，就是頂角與底角之比為或2的等腰三角形.幫助學(xué)生體會“三角形角的數(shù)量關(guān)系導(dǎo)致三角形形狀的改變”.值得一提的是，學(xué)生在以上的練習(xí)中模仿圖17的演變過程也畫出了如下的框圖：

圖18

設(shè)計意圖：在日常教學(xué)中，我們是把三角形的邊特殊化定義等腰三角形、等邊三角形，本教學(xué)片段讓學(xué)生用角的數(shù)量關(guān)系的變化體會三角形形狀的改變，并類比三角形研究四邊形，體會研究圖形形狀的方法.

4.類比探究，感悟用邊的數(shù)量關(guān)系研究角的數(shù)量關(guān)系

圖19

圖20

圖22

教學(xué)過程：教師提問“如圖20，在△ABC中，當(dāng)∠A，∠B，∠C所對的邊a，b，c滿足a2+b2=c2時，△ABC是直角三角形，它的角之間滿足關(guān)系∠C=∠A+∠B，那么，當(dāng)△ABC的三邊滿足關(guān)系b（a+b）=c2時，這個三角形的內(nèi)角之間有什么關(guān)系呢？”引導(dǎo)學(xué)生從“線段的等積式”來構(gòu)造相似三角形進(jìn)行證明，如圖22，延長AC至點(diǎn)D使得CD=BC，由b（a+b）=c2得=，而∠A=∠A，故△ABC∽△ADB，所以∠ABC=∠D，所以∠ACB=2∠ABC，教師總結(jié)角之間的倍數(shù)關(guān)系也是角的一種數(shù)量關(guān)系.最后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：反過來，若△ABC的內(nèi)角滿足∠C=2∠B，能否得到b（a+b）=c2？

圖23

設(shè)計意圖：本教學(xué)片段類似勾股定理的逆定理，三角形邊之間的特殊關(guān)系導(dǎo)致三角形角的特殊關(guān)系，用邊之間的關(guān)系導(dǎo)出二倍角三角形，體會三角形邊角之間的互相轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步滲透用邊刻畫角度的方法.

5.腦洞大開，運(yùn)用角之間的關(guān)系產(chǎn)生幾何研究對象

教學(xué)過程：教師出示問題“如圖23，在四邊形ABCD中，請你添加關(guān)于角的條件得到一類四邊形，并研究這類四邊形的性質(zhì).”讓學(xué)生合作討論，引導(dǎo)學(xué)生能從角的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系入手，利用對角、鄰角之間的關(guān)系創(chuàng)造條件產(chǎn)生研究對象.如“把一組對角相等的四邊形稱為等對角四邊形”、“把一組鄰角互補(bǔ)的四邊形稱為梯形”，“把一組對角互補(bǔ)的四邊形稱為圓內(nèi)接四邊形”，進(jìn)一步提出“一組對角互余的四邊形”、“一組對角是直角的四邊形”，“角度、邊長分別按從小到大的順序排列，角度之比等于邊長之比的四邊形”，…，學(xué)生腦洞大開，各種研究對象一一產(chǎn)生.最后用如圖24所示的框圖引導(dǎo)學(xué)生回顧本課的主要內(nèi)容和研究歷程，研究方法.

圖24

設(shè)計意圖：類比如上的二倍角三角形研究四邊形，通過添加四邊形的內(nèi)角之間的關(guān)系產(chǎn)生特殊的四邊形，感悟幾何對象的產(chǎn)生方法，激勵學(xué)生課后進(jìn)行拓展研究，培養(yǎng)興趣，形成探究習(xí)慣.

三、關(guān)于中考復(fù)習(xí)教學(xué)的思考

中考復(fù)習(xí)教學(xué)往往是“面對老學(xué)生，復(fù)習(xí)舊知識”，所以“學(xué)生聽得不新鮮，教師講得很乏味”.因此，怎樣讓學(xué)生在復(fù)習(xí)教學(xué)中實(shí)現(xiàn)“溫故知新”：在知識梳理的過程中獲得對舊知的新認(rèn)識，在問題解決的過程中獲得新經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考和解決問題，這是中考復(fù)習(xí)教學(xué)要思考的問題.筆者在教學(xué)實(shí)踐中形成如下觀點(diǎn)：

1.以“具體對象”喚醒回憶，通過梳理建立知識體系

在中考復(fù)習(xí)中，我們常常要進(jìn)行基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)，基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)的常見教學(xué)環(huán)節(jié)是直接呈現(xiàn)知識框架梳理基礎(chǔ)知識，如實(shí)數(shù)的分類、代數(shù)式的分類、圖形平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的要素及其聯(lián)系與區(qū)別等，這樣的知識梳理實(shí)際上是把知識作為記憶“植入”學(xué)生頭腦，然后通過做題窮盡各種考查可能.筆者認(rèn)為，知識梳理的目的是縱橫建立知識體系，它可以用具體的對象喚醒學(xué)生的回憶，然后通過分類、比較等方式整理成知識體系.如本課教學(xué)中，通過具體的圖形回憶各種各樣的角，通過分類整理成單角和雙角，再繼續(xù)整理成只有數(shù)量關(guān)系的角、只有位置關(guān)系的角、既有數(shù)量關(guān)系又有位置關(guān)系的角，使得散落的角有序地存儲在學(xué)生的頭腦中.類似地，我們可以呈現(xiàn)各種各樣的數(shù)喚醒學(xué)生的回憶，通過分類得到實(shí)數(shù)框架；呈現(xiàn)各種各樣的代數(shù)式，通過分類得到代數(shù)式框架；呈現(xiàn)各種各樣的線，通過分類得到同一平面內(nèi)線的位置關(guān)系（平行、相交）、線的數(shù)量關(guān)系（和差、倍分、平方等）.這樣的知識梳理，從“縱向”貫穿了學(xué)生所學(xué)的同類知識，又從“橫向”建立了這些知識間的關(guān)系，也能讓這些知識以良好的結(jié)構(gòu)存儲在學(xué)生的頭腦中.

2.以“探究問題”展開活動，通過探究掌握研究方法

知識要梳理，但更要學(xué)會運(yùn)用.在運(yùn)用知識解決問題的過程中，學(xué)生對知識能達(dá)到深度理解，融會貫通.在中考復(fù)習(xí)教學(xué)中，知識運(yùn)用的常見教學(xué)現(xiàn)象是“做完一題再做一題”，這種“以習(xí)題訓(xùn)練代替復(fù)習(xí)教學(xué)，以解題數(shù)量追求教學(xué)質(zhì)量”的做法導(dǎo)致許多學(xué)生在回憶中考復(fù)習(xí)時總是說“那時刷了好多好多題”，到底對學(xué)生思維能力的提升，核心素養(yǎng)的形成有沒有幫助呢？它的代價是否太大？筆者認(rèn)為，復(fù)習(xí)階段離不開解題，但作為教師應(yīng)該立意于數(shù)學(xué)的思想方法和學(xué)生核心素養(yǎng)的提升來設(shè)計教學(xué)，盡可能地讓學(xué)生用有限的時間做典型問題，通過典型問題讓學(xué)生感悟蘊(yùn)藏在題目中的思想方法，通過探究的過程積累思考解決問題的經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)自身核心素養(yǎng)的提升.如本課中，依次設(shè)計了讓學(xué)生體會角的作用的問題：通過角的數(shù)量關(guān)系決定線的位置關(guān)系、改變?nèi)切蔚男螤?；設(shè)計了讓學(xué)生體會研究角關(guān)系的方法：類比勾股定理的逆定理得到二倍角三角形.這樣的探究問題，既為學(xué)生提供了探究的載體，引導(dǎo)學(xué)生參與活動，又讓學(xué)生通過探究掌握了研究方法.

3.以“適時回顧”引導(dǎo)反思，通過表達(dá)促進(jìn)感悟內(nèi)化

由于學(xué)生當(dāng)初學(xué)習(xí)新知識時，知識還不夠完備，很難對所學(xué)的新知識有一個全方位的認(rèn)識和理解.當(dāng)學(xué)生掌握了后續(xù)的知識內(nèi)容，擁有了豐富的知識體系以后，就會“對舊知產(chǎn)生新認(rèn)識”.例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)以后知道有些三角函數(shù)值也是無理數(shù)，知道所有的菱形一定存在內(nèi)切圓，知道可以用相似證明反比例函數(shù)圖像的中心對稱性等.當(dāng)學(xué)生解決了一些問題后，他能對原有的題產(chǎn)生“新經(jīng)驗(yàn)”.例如，可以借助相似三角形的知識來解決一次函數(shù)的應(yīng)用題，可以利用樹狀圖作為分類的腳手架，可以利用數(shù)軸解決動點(diǎn)引起的分段討論問題等.只有當(dāng)學(xué)生站在更高的視角來獲得這些新認(rèn)識、新經(jīng)驗(yàn)，才能達(dá)到新目標(biāo)，成就復(fù)習(xí)的高度！筆者認(rèn)為，在知識梳理和典型問題的教學(xué)中，教師應(yīng)該特別注意為學(xué)生搭建“適時回顧”的平臺，引導(dǎo)學(xué)生反思問題解決的歷程，通過學(xué)生之間的互相交流和師生課堂上的對話展示等方式促進(jìn)新認(rèn)識的顯性化，新經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)化.例如，本課教學(xué)中通過“分類整理”形成角之間的三種關(guān)系，通過探究問題的反思明確角的數(shù)量關(guān)系有和差、倍分等，通過探究2讓學(xué)生從等積式去構(gòu)造相似三角形.這些經(jīng)驗(yàn)的感悟過程為后續(xù)四邊形問題起了很好的方向引領(lǐng).這些做法，使得感悟和內(nèi)化有了空間和時間，也有了具體的路徑和方法.F