分類思想在人教版初中數(shù)學教材中的作用及其教學啟示

☉浙江省臺州市白云中學 張安軍

數(shù)學思想可以歸納為三種基本思想，即抽象、推理和模型.［1］分類可看作是數(shù)學抽象派生出來的一種重要的思想方法，分類思想在義務教育初中數(shù)學教材中有著廣泛的應用.發(fā)展和提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學教育的目的和歸宿，而數(shù)學思想是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)，分類思想是學生在學習數(shù)學過程中經(jīng)常遇到的思想方法之一.本文以人教版初中數(shù)學教材編寫為例，以分類思想的視角看教材的編排，挖掘教材中隱含的分類思想，教學中有機地融入分類思想，幫助學生形成分類思想，談一些思考.

一、“分類”的視角看教材的編排

分類這一數(shù)學思想在人教版初中數(shù)學教材中有著廣泛的滲透，從教材的知識結(jié)構(gòu)，概念、法則、定理的形成過程，例題、習題的編排設計，我們都可以發(fā)現(xiàn)蘊含其中的分類思想.

1.“分類”是理解數(shù)學教材內(nèi)容的關鍵一環(huán)

法國抽象數(shù)學的主角布爾巴基（Bour-baki）指出：“數(shù)學不是研究數(shù)量的，而是研究結(jié)構(gòu)的.數(shù)學知識結(jié)構(gòu)主要是指數(shù)學內(nèi)容結(jié)構(gòu)與數(shù)學方法結(jié)構(gòu)，它不僅包括數(shù)學的基本概念和一般原理，而且還包括基本的數(shù)學方法、數(shù)學思想和數(shù)學觀念.”數(shù)學內(nèi)容結(jié)構(gòu)既指數(shù)學教材內(nèi)容的編排結(jié)構(gòu)——數(shù)學內(nèi)容及其排列、組合方式，也指數(shù)學內(nèi)容本身所固有的內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu).［2］數(shù)學教材是按照數(shù)學結(jié)構(gòu)進行分類并展開學習，例如，初中數(shù)學內(nèi)容把數(shù)學分成“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計與概率”、“綜合實踐與應用”，其中“圖形與幾何”在人教版數(shù)學義務教科書中分成平面圖形和立體圖形，其中平面圖形可分成直線型和曲線型，直線型又按邊（線段）的條數(shù)進行分類，具體如圖1所示：

圖1

點是構(gòu)成圖形的基本元素，點動成線，線分成直線型和曲線型，“圖形與幾何”的編排，從宏觀上以“線”為線索進行分類，從直線型到曲線型，從簡單的兩條直線的位置關系到多邊形.微觀上對于具體的幾何圖形首先是進行分類，然后再進行相關性質(zhì)的探索，例如，三角形，首先對構(gòu)成要素進行分類，頂點——邊——內(nèi)角——三角形；其后三角形按邊的關系對三角形分成等腰三角形和三邊都不相等的三角形；按照角的大小，可以將三角形分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形；三角形按構(gòu)成的元素重要性可分成主要元素和相關要素，邊和角是構(gòu)成三角形的主要元素，三角形的角平分線、中線、高是構(gòu)成三角形的相關要素.

上述不僅“圖形與幾何”的編排滲透分類思想，“數(shù)與代數(shù)”、“統(tǒng)計與概率”也滲透分類思想，可以說分類滲透數(shù)學教材內(nèi)容中的每一個環(huán)節(jié)，分類的方法可以確定一種研究這個結(jié)構(gòu)的邏輯順序.理解教材是教好學生的其中一個前提，而分類的思想和方法是理解教材最好的切入點.

2.“分類”的眼光看概念、法則、定理形成和編排

在人教版初中數(shù)學教材中的概念、法則、定理等蘊含著豐富的分類思想.有的數(shù)學概念直接用分類的方法定義，如整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)等.有的數(shù)學概念定義方式是種加屬差，例如矩形，教材中利用平行四邊形的不穩(wěn)定性，當一組鄰邊的位置特殊化為垂直時，此時平行四邊形矩形；因此從具體的情境中先確認它是否平行四邊形，若為平行四邊形再確認它的一組鄰邊位置關系是否垂直，從兩個維度進行兩次分類，同樣正方形（菱形）從三個維度進行三次（二次）分類.又如，一元二次方程的概念，教材中先結(jié)合具體情境，列出一元二次方程，讓學生概括這些方程的共同特點，是否是方程，等號兩邊是否都是整式，方程中是否只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是否為二次，從四個維度進行四次分類.其實人教版有大量概念蘊含著豐富的分類思想，從數(shù)學內(nèi)在邏輯明晰概念的內(nèi)涵和外延.

有理數(shù)加法法則在人教版的教材中是這樣引入的“引入負數(shù)后，除已有的正數(shù)與正數(shù)、正數(shù)與0相加外，還有負數(shù)與負數(shù)、負數(shù)與正數(shù)相加、負數(shù)與0相加等”.教材中把兩個有理數(shù)相加通過分類的方法，哪一類有理數(shù)相加是熟悉的，哪些是陌生，明確本節(jié)課要探究的目標，化陌生為熟悉.此外教材中換乘（除）法則、去括號法則等滲透著分類思想.

有些定理，通過對它們的分類，可以確定一種研究這個結(jié)構(gòu)的邏輯順序，按類各個擊破，形成一個新方法來證明這個結(jié)構(gòu)的結(jié)果，有時，某種結(jié)果就是通過分類來證明，例如，教材中的圓周角定理的證明，以圓心在圓周角的位置為標準分成三類，當圓心在圓周角的邊上、圓心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部，化繁為簡，各個擊破.又如，線段垂直平分線性質(zhì)定理：“垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等”，在證明時，當垂直平分線上的點在這條線段的中點上和不在已知線段上兩種情形.

其實不僅在概念、法則、定理蘊含著分類思想，而且在一些內(nèi)容安排上滲透著分類思想，例如，一次函數(shù)這一單元內(nèi)容的安排上，以一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b（k，b為常數(shù)且k≠0）中的b是否為0進行分類，當b＝0時為正比例函數(shù)，是一次函數(shù)的一種特殊情況；當b≠0時為一次函數(shù)的一般情形.

3.分類的眼光看教材局部和整體的和諧融合

數(shù)學分類思想，就是根據(jù)數(shù)學對象本質(zhì)屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數(shù)學思想.分類是以比較為基礎的，通過比較，不僅能識別各對象之間的差異性，而且也能發(fā)現(xiàn)各對象之間的共性.分類的本質(zhì)是把一個復雜對象按照一定的標準分成幾個部分，如果用集合語言表示，設某一對象的集合為M，按照對象的某一性質(zhì)分為若干個子集M1，M2，…，Mn，使得：（1）M=M1∪M2∪…∪Mn；（不漏）（2）Mi∩Mj=?（i≠j，1≤i，j≤n）（不重）.那么M1，M2，…，Mn叫做M的一級分類.集合M中M1，M2，…，Mn雖在某一性質(zhì)不相同，但在整體上它們都有共性.例如，初中的函數(shù)模型分為一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，在函數(shù)的性質(zhì)上雖不相同，但用整體的眼光，系統(tǒng)的視野下它們都存在共性，即通過引入變量，用變量之間的對應關系描述事物的變化過程，研究一個量變化時，另一個變量是如何變化的規(guī)律，從定性的刻畫到定理的描述.具體表現(xiàn)各章節(jié)中都是在具體情境中得到所要研究的函數(shù)對象，然后加以定義，畫出圖像、觀察圖像、獲得性質(zhì)等認知過程，體會函數(shù)的直觀研究方法，掌握這幾類典型的函數(shù)模型的圖像性質(zhì)，并能運用這些函數(shù)模型描述、研究具體函數(shù)的變化過程，進而解決問題.［3］從中發(fā)現(xiàn)教材以分類的視角能起到化繁為簡的作用，幫助我們更好地了解和認識事物，學生在對每一個部分的認識其實質(zhì)恰好是從積累數(shù)學活動經(jīng)驗到數(shù)學思想方法的提升，同時對各分類的綜合又能幫助學生形成整體的視野.

二、教學啟示

1.通過分類，有效地促成新、舊知識的網(wǎng)絡架構(gòu)

學生的知識積累是漸進的，知識網(wǎng)絡是逐步擴展的.因此，在學習過程中都要及時引導學生進行知識的組織和整理，建立涵蓋新、舊知識的新的知識網(wǎng)絡.分類思想可以使數(shù)學知識條理化、系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，有助于學生更好地掌握知識和形成良好的知識結(jié)構(gòu)，例如，在“直線與圓的位置關系”一課教學時，可以通過分類線與線的位置關系這個視角引入新課，先回顧直線與直線的位置關系及分類標準是什么，然后提出線與線的位置關系除了直線型，是否還存在其他線與線的位置關系呢（線有直線和曲線，目前已學過的特殊封閉曲線就是圓）？這樣引入不僅自然，而且把將要學習的內(nèi)容類比直線與直線的位置關系，從而構(gòu)建新的知識網(wǎng)絡，如圖2所示.

圖2

同時，也可以在本節(jié)課的小結(jié)中通過與上一節(jié)“點與圓的位置關系”進行比較，并提出下一節(jié)課所要探討的學習主題，從而幫助學生進一步完善知識結(jié)構(gòu)，既加強新、舊知識之間的聯(lián)系，又在原有的知識網(wǎng)絡中自然而合理地提出下一節(jié)課（三解形內(nèi)切圓）所要探討的問題.

點和圓的位置關系 直線與圓的位置關系點在圓上?d=r 直線與圓相切?d=r點在圓外?d>r 直線與圓相離?d>r點在圓內(nèi)?d

知識只有成了系統(tǒng)，才能被我們充分掌握.腦子里裝滿了片斷的毫無聯(lián)系的知識，那就像東西放得雜亂無章的倉庫一樣，連主人自己也無法從中找到他所需要的東西．不僅是新授課要有意識滲透分類思想，其實人教版每個章節(jié)的單元小結(jié)中，都滲透著分類思想，構(gòu)建出本章的知識結(jié)構(gòu)，把本章節(jié)知識形成了系統(tǒng)化.

2.通過分類，有效地促進概念、法則等理解

數(shù)學概念、法則、定理等是構(gòu)成數(shù)學的基礎，在教學中不僅要關注結(jié)果，還要注重概念、法則等形成的過程.通過分類可以促進概念、法則、定理的理解.例如，在人教版八（上）“從分數(shù)到分式”這一課中，可以先通過對兩個整數(shù)（整式）進行四則運算，得到結(jié)果有整數(shù)和分數(shù)，對運算結(jié)果的分類整理如下表.

用整式a和a+3進行四則運算，它們的運算結(jié)果還是整式嗎？運算 加、減、乘法 除法 加、減、乘法 除法結(jié)果 整數(shù) 分數(shù) 整式 ？問題用整數(shù)2和5進行四則運算，它們的運算結(jié)果還是整數(shù)嗎？

通過比較，讓學生類比整數(shù)到分數(shù)，從數(shù)到式，兩個整式相除可以得到分式，分式的實質(zhì)是兩個整式不能整除時，結(jié)果用分式表示，可見分式從形式上看類似于分數(shù)，都有分數(shù)線；從分式產(chǎn)生的角度看，是因為兩個整式進行除法.［4］這樣就幫助學生進一步明確整式和分式的概念.教材中有許多處都滲透分類思想，需要我們老師用心挖掘，并自覺地加以利用.為了方便起見，筆者統(tǒng)計了數(shù)與代數(shù)、幾何與圖形涉及分類思想的內(nèi)容（不含習題和閱讀材料等欄目的內(nèi)容）如下表.

數(shù)與代數(shù) 幾何與圖形有理數(shù)的概念，有理數(shù)的絕對值幾何圖形的分類（平面圖形、立體圖形）有理數(shù)加、乘、除法法則 從不同方向看立體圖形有理數(shù)的乘方，整式的概念，字母表示數(shù)取值分類，去括號法則直線段的分類，點和線段位置關系，角的分類（以角的始邊和終邊位置關系）象限分類，等式性質(zhì)，不等式性質(zhì) 直線與直線的位置關系數(shù)的平方根、立方根，實數(shù)的分類兩條直線被第三條直線所截構(gòu)成角的分類同底數(shù)冪除法，因式分解方法分類三角形按邊分類，三角形按角分類分式、二次根式的概念及 a2全等三角形判定條件分類正比例函數(shù)性質(zhì)和一次函數(shù)性質(zhì)姨 的化簡等腰三角形腰和底角不確定性引起的分類一元二次方程概念、根的判別式直角三角形直角的不確定性引起分類二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)的分類平行四邊形判定和性質(zhì)定理，特殊平行四邊形分類反比例函數(shù)圖像及其性質(zhì)圓弧的概念，圓的有關性質(zhì)，圓周角定理三角函數(shù)的概念 點和圓的位置關系，直線和圓的位置關系

當然對于分類思想，這里面要講清兩個要點.首先，要明白為什么要分類，分類的原因是什么？教材中有的是為了條理化進行分類，例如，有理數(shù)的概念，由于引進了負數(shù)，數(shù)的地盤擴大，如何把倉庫里的有理數(shù)進行條理化、秩序化，此時對有理數(shù)進行分類；有的是為了區(qū)別需要分類，例如，三角形中按最大的角進行分類；有的是數(shù)學運算引起的分類，如運算中除數(shù)為不零；有的是圖形位置、形狀變化引起的分類，如直線與直線的位置關系；此外還有具體問題等原因引起的分類.其次，在分類時，要正確選擇分類的標準，分類的標準是將數(shù)學對象不重復、不遺漏的劃分.

3.通過分類，有效地提升知識關聯(lián)度和遷移能力

讓學生用相同或相似的方法做事，是深刻體會數(shù)學思想方法、積累數(shù)學活動經(jīng)驗的有效途徑.用相同的方法做相同的事情，是復習；用相同的方法做不同的事，則是遷移.“通過分類活動，可以提升知識結(jié)構(gòu)的關聯(lián)度和遷移度，促進學生有效積累數(shù)學活動經(jīng)驗、提升數(shù)學方法.［3］”代數(shù)式分為整式、分式和二次根式，式與式之間雖有不同，但也有著相同性，這就是用代數(shù)運算加以表達的問題，這里的運算指的就是加、減、乘、除、乘方和開方，代數(shù)學的基礎就是運算律，用運算律可以有效地解決各種各樣的代數(shù)問題.用字母表示數(shù)，數(shù)的一般化就是式，數(shù)式通性，因此在“有理數(shù)”一章進行了系統(tǒng)的“數(shù)及其運算”的學習，初步建立了研究數(shù)系擴張、運算法則和運算律的“基本套路”，為后續(xù)學習奠定了代數(shù)的基本思想和基本方法的基礎.在數(shù)的擴充過程中：引入一種新的數(shù)，先研究它的運算；定義一種運算，就要研究它的運算律.這是代數(shù)學的基本思路.同樣教材中整式、分式和二次根式也是先具體代數(shù)式的概念（定義研究對象）——具體代數(shù)式的性質(zhì)——具體代數(shù)式的運算（運算法則和運算律的應用），其中概念、性質(zhì)是運算的基礎，在運算中自然地提出“如何算”，并運用運算律得到相應的運算法則，從而有效地、系統(tǒng)地進行各類代數(shù)式的運算.

其實不僅僅是代數(shù)式，例如，函數(shù)、幾何圖形等在研究上都有著共同的“基本套路”，例如，通過對函數(shù)的分類，可以分成一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，雖然一次函數(shù)和反比例函數(shù)在性質(zhì)上有所不同，但是它們在研究的內(nèi)容、思路、方法和結(jié)果上有著相似性，這就是學生在學習過程中用相同的方法做不同的事情，又如，對幾何圖形中三角形的研究，教材的知識結(jié)構(gòu)是三角形→等腰三角形→直角三角形，體現(xiàn)了從整體到局部，從一般到特殊，從課程的整體結(jié)構(gòu)上、知識的內(nèi)在邏輯上提出問題，引導學生面對一個幾何對象，從構(gòu)成的主要元素和相關元素進行探索.［5］這里做不同的事情就是基本活動經(jīng)驗，相同的方法就是數(shù)學的思想和方法，數(shù)學思想方法就是在基本活動經(jīng)驗中累積和提升.

參考文獻：

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4.張安軍.從概念教學幾個片斷談概念教學立意的三個層次［J］.中國數(shù)學教育，2017（9）.

5.張安軍.著名特級教師和優(yōu)秀青年教師“同課異構(gòu)”的比較與啟示［J］.中學數(shù)學（下），2017（3）.F