整體統(tǒng)攝 凝聚結(jié)構(gòu)*
——第21章《一元二次方程》的起始課教學(xué)

☉山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué)初中部 邢成云

一、教學(xué)說明

由于前面在初一學(xué)段已經(jīng)整體建構(gòu)了初中學(xué)段的方程體系，學(xué)生對方程的命名已經(jīng)沒有阻力，重點就不再是對方程結(jié)構(gòu)的認(rèn)識，二是對整章的建構(gòu)、統(tǒng)領(lǐng)，讓學(xué)生見到一元二次方程的全貌，然后在后續(xù)的學(xué)習(xí)中慢慢消除疑難與重點所在，其中，解法的探索也成了本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，通過類比前面學(xué)過的方程，充分利用數(shù)學(xué)中的延續(xù)性和同構(gòu)性的特點，梳理出方程學(xué)習(xí)的基本思路，形成策略性知識，是關(guān)注學(xué)生會學(xué)的舉措.當(dāng)然，本節(jié)課看似背離了常規(guī)，因為常規(guī)的教學(xué)往往是一個課時學(xué)習(xí)一元二次方程的概念，然后反復(fù)對這一概念及有關(guān)名稱演練，甚至深挖洞，糾纏于細(xì)枝末節(jié)；然后再一節(jié)一節(jié)地學(xué)習(xí)各類解法，一法一學(xué)，一法一練，思維含量低，這是先部分后整體的處理思路，容易使學(xué)生見木不見林，削弱整體化的效果，減低學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì).而筆者借力先前構(gòu)建的方程體系，不費(fèi)多大氣力就會輕松拿下一元二次方程的概念，給學(xué)生厚實了底蘊(yùn)，為繼續(xù)學(xué)習(xí)騰出了更多的時間，我們的快步推進(jìn)有了雄厚的“資本”.如此，才有了本節(jié)課的大跨度、大容量.

本節(jié)課作為章節(jié)起始課，是基于整體統(tǒng)攝的一節(jié)課.關(guān)于章節(jié)起始課做如下說明：

從整體背景到局部知識的結(jié)構(gòu)教學(xué)，它適用于單元起始課整體進(jìn)入式的教學(xué)，這類整體規(guī)劃單元起始課是整個單元推進(jìn)教學(xué)順利進(jìn)行的助推器.“整體感悟”教學(xué)策略，就是要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識之前，先建立一個相對完整的知識框架，學(xué)生通過學(xué)習(xí)能夠從整體上對學(xué)習(xí)內(nèi)容有初步的感悟和體驗，進(jìn)而整體感知知識結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)，為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題和形成新知識提供了腳手架式的結(jié)構(gòu)支撐和統(tǒng)攝整體.

全章課堂設(shè)計的基本思路：整體介入（統(tǒng)攝）——局部完善——整體提升.

二、整體規(guī)劃

第一課時：整體統(tǒng)攝（即本節(jié)教學(xué)）；

第二課時：解方程鞏固演練（熟悉直接開平方法、因式分解法、配方法）；

第三課時：求根公式的探索（其案例設(shè)計已以《拉長過程 慢中求真》為題發(fā)表于《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》中旬2014年第1～2期）；

第四課時：根與系數(shù)關(guān)系的研究（根的判別式與韋達(dá)定理）；

第五課時：一元二次方程的應(yīng)用；

第六課時：一元二次方程的應(yīng)用的進(jìn)一步鞏固；

第七課時：整體提升（小結(jié)與復(fù)習(xí)：于貴刊2015年第1期以《基于問題 成于發(fā)現(xiàn)》為題公開發(fā)表過）.

三、教學(xué)目標(biāo)

（1）在實際情境中借力勾股定理及其他滲透問題意識和方程意識，了解一元二次方程的價值所在，掌握一元二次方程的定義及一般形式；

（2）建構(gòu)起一元二次方程的解法體系及總體構(gòu)想，滲透降次的轉(zhuǎn)化思想，聯(lián)立二元一次方程組，把整式方程的求解思路揭示出來；

（3）初步學(xué)會三種求解的方法：直接開平方法、因式分解法、配方法，滲透求根公式法，并揭示其關(guān)聯(lián)，形成方法的整體縮影.

四、教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1——創(chuàng)設(shè)情境，凸顯問題

情境1：如圖1，一架長5m的梯子斜靠在一豎直的墻上，當(dāng)梯子的頂端沿墻壁下滑至A處時，梯子的底端抵至B處，此時∠ABC=45°.求：_______？

面對此情此境，同學(xué)們可以提出怎樣的問題？

預(yù)設(shè)問題：AC（或BC）的高度？

通過學(xué)生的獨(dú)立解答與集體交流，形成基本思路：

設(shè)BC=x，則AC=x，借力勾股定理建立聯(lián)系，進(jìn)一步獲得方程2x2=25（或2x2-25=0）（板書出來）.

情境2：如圖2，若梯子上端下滑的距離等于下端平移的距離時，求：_______？

（類似情境1的處理）

預(yù)設(shè)問題：梯子的底端滑動了多少米？（或梯子的上端下滑了多少米？或求CB1、CA1等）

說明：其實這些問題的本質(zhì)是一致的，知一可知其他所有.

以“梯子的底端滑動了多少米？”統(tǒng)一問題，通過學(xué)生的獨(dú)立解答與集體交流，形成基本思路：

設(shè)梯子的底端滑動了x米，則AA1=x，即CA1=4-x，CB1=3+x，借力勾股定理建立聯(lián)系，進(jìn)一步獲得方程：

（4-x）2+（3+x）2=52，整理得x2-x=0（板書出來）.

情境3：如圖2，一梯子的上端在距離地面4米高處，梯子長5米，下端在水平的地面上，如果梯子的頂端下滑1米，求：_______？

（類似情境1的處理）

預(yù)設(shè)問題：梯子的底端滑動了多少米？（或求CB1的大小）

通過學(xué)生的獨(dú)立解答與集體交流，形成基本思路：

設(shè)梯子的底端滑動了x米，則CA1=4-1，CB1=3+x，借力勾股定理建立聯(lián)系，進(jìn)一步獲得方程（4-1）2+（3+x）2=52.整理得x2+6x-7=0（板書出來）.

情境4：如圖3,在設(shè)計人體雕像時，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感，按此比例，若雕像的高為2米，求：_______？

（類似情境1的處理）

預(yù)設(shè)問題：它的下部（或上部）應(yīng)設(shè)計為多高？

過程略，可得方程 x2+2x-4=0（板書出來）.

設(shè)計意圖：除通過隱藏問題，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計出自己的問題，涵育學(xué)生的問題意識外，還以實際情境體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的模型價值，并順道產(chǎn)生了4個方程的副產(chǎn)品，為下一個環(huán)節(jié)的教學(xué)提供了歸納素材等物質(zhì)基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)2——?dú)w納提煉，形成概念

問題1：請同學(xué)們觀察這些方程，根據(jù)前面的所學(xué)，你能給它們命名嗎？它們有什么共同特點？

2x2=25，

x2-x=0，

x2+6x-7=0，

x2+2x-4=0，

…

通過回顧一元一次方程的定義、解等概念，類比獲得一元二次方程及相關(guān)概念，并作出歸納：

都含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二次方程；

一元二次方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根.

圖1

圖2

圖3

追問：根據(jù)以上理解，你能說出一元三次方程、一元四次方程，…，一元n次方程嗎？

含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是n次的整式方程，叫一元二次方程.

問題2：類比一元一次方程的一般形式ax+b（a、b是常數(shù)，a≠0），嘗試給出一元二次方程的一般式？

預(yù)設(shè)結(jié)果：ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a≠0）.

問題3：如果沒有括號內(nèi)的條件是否可以？為什么需要a≠0？

共同認(rèn)識一元二次方程的結(jié)構(gòu)（如圖4）：

圖4

設(shè)計意圖：三個問題層級遞進(jìn)，引領(lǐng)、驅(qū)動學(xué)生思考的深入，直至揭示出一元二次方程的本質(zhì)，尤其是問題1后的追問把定義整式方程的經(jīng)驗揭示出來，落實了同構(gòu)性遷移.

環(huán)節(jié)4——卻顧故路，展望未來

展望：聯(lián)想前面學(xué)過的各種方程，設(shè)想一下一元二次方程在完成定義的學(xué)習(xí)后該繼續(xù)學(xué)習(xí)什么？

預(yù)設(shè)：解法——應(yīng)用

然后完善方程的學(xué)習(xí)脈絡(luò)：“定義——解法——應(yīng)用”.

設(shè)計意圖：環(huán)節(jié)雖短，但滲透了策略性知識，是關(guān)注聯(lián)系、系統(tǒng)思維的舉措.

環(huán)節(jié)4——嘗試求解，挑戰(zhàn)自我

嘗試：能解以下方程嗎？

2x2=25；

x2-x=0.

先行嘗試，在獨(dú)立思考后交流思路，形成解方程的兩個基本方法：直接開平方法和因式分解法，它們的共性是都落實了“降次”，以此為載體，厘清一元二次方程的求解的宏觀思路——轉(zhuǎn)化（降次轉(zhuǎn)化）.

設(shè)計意圖：先選擇兩個缺項的“軟弱”方程，借力已有經(jīng)驗嘗試解答，一條經(jīng)驗是開平方，可解決第一個方程，另一條經(jīng)驗是因式分解，即可解答第二個方程，也可用平方差公式解答第一個，如此，兩個方法形成了聯(lián)手，打通了阻隔，揭示了本質(zhì).

挑戰(zhàn)：還能解出以下方程嗎？

x2+6x-7=0；

x2+2x-4=0.

先行嘗試，適度引導(dǎo)，指向（x-m）2=n這類方程，因為這類方程用直接開平方法是可解的，繼續(xù)踐行轉(zhuǎn)化，朝向已經(jīng)解決的問題，這也是解決數(shù)學(xué)問題的基本方向.

若學(xué)生的想法不足以產(chǎn)生思路，可在引導(dǎo)下顯現(xiàn)完全平方的結(jié)構(gòu)式，為遷移蓄勢，進(jìn)而導(dǎo)出思路：常數(shù)右移，方程兩端同加一個常數(shù)，使得左端的三項成為完全平方式，“配方法”誕生了！

至此，若時間允許可乘勝追擊，把二次項系數(shù)不是1的擺出來，再次引動學(xué)生轉(zhuǎn)化，完成到二次項系數(shù)為1的化歸，如此，配方法就圓滿了.為了四個方法的整體展現(xiàn)，可順勢把一般的一元二次方程托出，引導(dǎo)學(xué)生實施基本轉(zhuǎn)化，以此攀援上去，就會發(fā)現(xiàn)一個了不起的方法——“萬能”公式法，激發(fā)學(xué)生自學(xué)下去的興趣.

如此，四個方法就都閃亮登場了！

設(shè)計意圖：這一環(huán)節(jié)是本節(jié)課的高潮部分.面對如此“硬朗”的兩個方程，可不是一下子能化解的.老師的主導(dǎo)作用與學(xué)生的主體作用聯(lián)手發(fā)力，思路不難尋出，一波三折的轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生歷經(jīng)了探索之苦、之樂，學(xué)習(xí)的趣味也盡在其中了.

環(huán)節(jié)5——梳理思路，凝聚結(jié)構(gòu)

師生共同回顧本節(jié)課的所學(xué)，梳理出整體結(jié)構(gòu)，并把消元、降次的基本思想揭示出來，凝成了化解整式方程的思想武器，為后續(xù)的學(xué)習(xí)蓄足了能量.

五、自我反思評價

1.涵育問題意識

通過隱藏所求問題，引導(dǎo)學(xué)生嘗試自己提出問題，而后老師出示問題，可能就契合了學(xué)生提出的問題，一是增進(jìn)了學(xué)生的自豪感，一看自己也能設(shè)計問題，并且和老師的設(shè)計一樣，美美的心情就會洋溢出來；二是滲透了問題意識，是對四能的關(guān)注之體現(xiàn).

2.整體統(tǒng)攝全章

一節(jié)課把整個一元二次方程的全景勾勒出來，便于學(xué)生對知識的整體感知.基于一元二次方程的外形，反復(fù)演練，不可避免地出現(xiàn)阻礙發(fā)展的舉動，除了見不到森林，學(xué)生的思維會因此而擱淺，發(fā)揮不了學(xué)生的能動性，學(xué)習(xí)的效果就打了折扣.而本節(jié)課從情境走向定義歸納然后深入到解法，形成了整章的縮影，學(xué)生心中有了譜，學(xué)起來就有板有眼，有模有樣.“胸中有丘壑，腳下蕩層云”，這不能不說是一種大氣.

3.前后一致關(guān)聯(lián)

二元一次方程組、一元二次方程說起來接近，且容易混，但兩類方程差異較大，而通過本章把它們統(tǒng)一在了轉(zhuǎn)化的大旗之下，都指向了一元一次方程，一個消元、一個降次，相克相生，共同服務(wù)于整式方程的求解探索，如此，方程體系一脈相連，前后一致，凝聚成整式方程的思想武器，給后續(xù)的整式方程的學(xué)習(xí)明了脈絡(luò).

4.結(jié)構(gòu)凝聚力量

系統(tǒng)性思維有助于形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，良好的認(rèn)識結(jié)構(gòu)便于學(xué)生的內(nèi)化，能有效減低外部認(rèn)知負(fù)荷，增進(jìn)學(xué)習(xí)效果，提高思維活力.恰如布魯納所言：“獲得的知識，如果沒有完整的知識結(jié)構(gòu)聯(lián)系在一起，那是一種多半會遺忘的知識.”這就是說學(xué)習(xí)者一旦形成了良好的知識結(jié)構(gòu)，既有利于發(fā)展學(xué)習(xí)者的智力，提高學(xué)習(xí)水平，又可以改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，減輕記憶負(fù)擔(dān).

參考文獻(xiàn)：

1.符永平，羅增儒.“一元二次方程章頭圖導(dǎo)學(xué)”課例與互動點評：第一部分：課例自我評述［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（初中版），2008（11）.

2.邢成云.宏觀構(gòu)架 整體推進(jìn)——全息教學(xué)論下《四邊形》的跨越式教學(xué)嘗試［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2012（11）.F