“砍去一半”引入新知，數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)關(guān)聯(lián)呼應(yīng)
——以平行四邊形教學(xué)的兩則情境創(chuàng)設(shè)為例

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校西校區(qū) 全麗波

最近在教學(xué)《平行四邊形》一章中，由平行四邊形的性質(zhì)與判定出發(fā)，探究并證明了三角形中位線性質(zhì)定理；在矩形的性質(zhì)與判定學(xué)習(xí)之后，探究并證明了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）.前些年筆者在教學(xué)時(shí)總覺得，上述兩個(gè)性質(zhì)穿插在平行四邊形的教學(xué)進(jìn)程中，總感覺有些突然，往往作為平行四邊形或矩形新知的一種應(yīng)用，但是感覺并不是由平行四邊形性質(zhì)生長(zhǎng)出來的知識(shí).為了讓上述兩個(gè)三角形的性質(zhì)出現(xiàn)得更加自然，證明時(shí)學(xué)生也更容易聯(lián)系平行四邊形的性質(zhì)添加輔助線，筆者構(gòu)思了兩則新知引入情境，取得較好的教學(xué)效果，本文先概述這兩則新知的教學(xué)情境，并跟進(jìn)教學(xué)立意的闡釋，提供研討.

一、兩則教學(xué)情境的概述

教學(xué)情境1：三角形中位線的引入情境.

畫圖活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)們畫出一個(gè)平行四邊形ABFD，并延長(zhǎng)AD到點(diǎn)C，使DC＝AD，連接BC交DF于點(diǎn)E.

教學(xué)組織：教師在黑板上與學(xué)生合作畫圖，形成如圖1所示的圖形.

圖1

圖2

提出問題：分析并證明BC，DF的關(guān)系.

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生可以利用全等證出BC，DF是互相平分的關(guān)系；也可以連接BD，CF，證出平行四邊形CDBF，從而實(shí)現(xiàn)問題解決.

解后反思：經(jīng)過剛才的畫圖與證明，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)D為AC的中點(diǎn)時(shí)，E也被證出恰為BC邊的中點(diǎn).

“砍去一角”：現(xiàn)在我們把圖1中的右側(cè)“一角”砍去、擦去，就成為如圖2所示的圖形.

提出問題：在圖2中，D，E分別為△ABC的邊AC，BC的中點(diǎn)，我們稱這樣的線段DE為三角形的中位線.試探究△ABC的中位線DE與邊AB的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系.

圖3

跟進(jìn)例題：求證三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.

教學(xué)組織：學(xué)生構(gòu)造出圖3，需要證出中位線DE與中線CM互相平分，學(xué)生容易想到連接DM，EM，利用三角形中位線性質(zhì)證出平行四邊形CDME，從而例題獲證.

教學(xué)情境2：直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的引入情境.

畫圖活動(dòng)：畫矩形ABCD，連接對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O（如圖4）.

圖4

圖5

“砍去一半”：擦去圖4的“右上角”，得到圖5.

提出問題：如圖5，在Rt△ABD中，O為斜邊BD的中點(diǎn)，連接AO，求證：AO＝BD.教學(xué)活動(dòng)：先由學(xué)生獨(dú)立思考，構(gòu)思輔助線，將直角三角形問題通過“倍長(zhǎng)中線”轉(zhuǎn)化為矩形的對(duì)角線性質(zhì)，從而獲得問題證明.

“高觀點(diǎn)”問題：有人說，任意一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)圓上！你能快速指出這個(gè)圓的圓心所在位置嗎？說說你的理由.

教學(xué)預(yù)設(shè)：斜邊的中點(diǎn)就是圓心.因?yàn)檫@一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

“逆過來”思考：如圖5，在△ABC中，O為邊AB的中點(diǎn)，連接AO，若AO＝D，求證：∠BAD＝90°.

教學(xué)活動(dòng)：學(xué)生可利用等腰三角形性質(zhì)（等邊對(duì)等角），再加上三角形內(nèi)角和性質(zhì)可證出∠BAD＝90°.

解后反思：讓學(xué)生知道直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)定理的逆命題也是真命題，但這個(gè)性質(zhì)暫不宜直接運(yùn)用.

圖6

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.從學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，精心設(shè)計(jì)教學(xué)情境

教育心理學(xué)研究啟示我們，教學(xué)設(shè)計(jì)中的教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)盡量貼近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，這樣可以取得較好的教學(xué)效果.然而，很多課例也打著貼近學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的旗號(hào)，但是情境的創(chuàng)設(shè)卻很牽強(qiáng)地附在所謂的“最近發(fā)展區(qū)”上.我們認(rèn)為，學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”就是最近正在學(xué)習(xí)的內(nèi)容，而且是絕大多數(shù)學(xué)生都熟悉和能理解的知識(shí)，從這些內(nèi)容出發(fā)，研發(fā)出教學(xué)情境，就是一種有意義的情境創(chuàng)設(shè).比如上文中的兩個(gè)開課情境，我們都安排了學(xué)生的畫圖活動(dòng)，畫出一個(gè)平行四邊形交延長(zhǎng)一邊；或者是畫出一個(gè)矩形及對(duì)角線，探究對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系，這些畫圖活動(dòng)的情境是全體學(xué)生都能順利開展的，也是能理解的，是在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”附近的，由此“砍去一半”而生成的圖形，也是學(xué)生容易接受的，而不是被教師莫名其妙的牽著走，一個(gè)問題接一個(gè)問題，讓他們感受到新知生成的自然而然，新性質(zhì)與前面所學(xué)內(nèi)容之間的緊密聯(lián)系.

2.更加重視“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，讓幾何課有“幾何味”

我們知道，不少老師在引入三角形中位線教學(xué)時(shí)，會(huì)精心設(shè)計(jì)一個(gè)生活情境

生活情境：如圖6，A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，現(xiàn)在要測(cè)量出A、B兩點(diǎn)間的距離，但又無法直接去測(cè)量，怎么辦？

在這個(gè)生活情境的引導(dǎo)之下，抽象了問題的本質(zhì)，就是要研究三角形中位線與第三邊的數(shù)量關(guān)系，而學(xué)生對(duì)位置關(guān)系的研究也缺少關(guān)注.

這種情境雖然貼近學(xué)生的生活，然而學(xué)生不容易想到輔助線，往往需要教師“強(qiáng)行介入”，給出輔助線作法的提示，然后才能順利過關(guān).教學(xué)藝術(shù)中的“潤(rùn)物細(xì)無聲”的追求也就落空，學(xué)生缺少成就感，因?yàn)橹饕y度是教師告知的，他沒有獲得一種證明（“破題”）的愉悅與發(fā)現(xiàn)發(fā)明的自信.

經(jīng)由上述分析可知，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》倡導(dǎo)的要重視“三種現(xiàn)實(shí)”（生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)）是值得傾聽的，而且在當(dāng)前生活現(xiàn)實(shí)依舊盛行的情況下，更值得我們思考的就是“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的選用.在數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域德高望重的張奠宙先生近年來也倡導(dǎo)重視“超經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)”，想來也是對(duì)“課標(biāo)”倡導(dǎo)的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的一種積極回應(yīng)吧.

3.將圖形“砍去一半”，訓(xùn)練學(xué)生洞察深結(jié)構(gòu)的能力

本文中的兩個(gè)“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”引入新課的情境中，我們都運(yùn)用了“砍去一半”的圖形變式手段，生成新研究的對(duì)象，直奔本課研究的圖形及性質(zhì)，這樣的畫圖活動(dòng)設(shè)計(jì)除了發(fā)揮導(dǎo)入新課的功能，同時(shí)也是向?qū)W生傳遞要善于洞察問題深層結(jié)構(gòu)的能力.在不少圖形線段繁雜問題的思路探究中，學(xué)生排除干擾、突出問題本質(zhì)的能力欠缺，與我們?nèi)粘５慕忸}教學(xué)是有直接相關(guān)的.筆者以為，對(duì)于繁雜線條圖形的問題，解題教學(xué)時(shí)要重視引導(dǎo)學(xué)生分離、突顯圖形，提示問題的深層結(jié)構(gòu).特別是不可忽略反思回顧階段對(duì)問題深層結(jié)構(gòu)的揭示、歸納與提煉.堅(jiān)持下來，讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題、解決問題，達(dá)到舉一反三，生成解題智慧.

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