初中數(shù)學(xué)課堂的“探”與“討”
——以專題“與圓有關(guān)的面積問題”教學(xué)設(shè)計(jì)為例

☉江蘇省蘇州學(xué)府中學(xué)校 謝東莉

筆者多年堅(jiān)持在教學(xué)第一線，一直致力于研究以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素質(zhì)為目標(biāo)的課堂教學(xué)新方法——“探討式”課堂教學(xué)設(shè)計(jì)法.

一、探討式課堂教學(xué)案例設(shè)計(jì)

【教學(xué)目標(biāo)】

專題：與圓有關(guān)的面積問題.

【教學(xué)過程】

（一）復(fù)習(xí)圓中關(guān)于面積的計(jì)算公式

通過復(fù)習(xí)舊知，目的讓學(xué)生用已經(jīng)具備的知識(shí)去探討歸納問題中的解決方法.

（二）課前熱身（學(xué)生自主思考，探究討論方法）

（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，D是BC的中點(diǎn)，將△ABD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△AB′D′，那么AD在平面上掃過的區(qū)域（圖1中陰影部分）的面積是（ ）.

（2）如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，那么陰影部分的面積為（ ）.

（3）如圖3，以BC為直徑，在半徑為2且圓心角為90°的扇形內(nèi)作半圓，交弦AB于點(diǎn)D，連接CD，則陰影部分的面積是（ ）.

圖1

圖2

圖3

問題：①你是如何解決這個(gè)問題的？用了什么方法？（直接用公式法、面積加減法、割補(bǔ)法）

②解決這類問題有哪些注意點(diǎn)？需要哪些公式？

設(shè)計(jì)思路：題目設(shè)計(jì)由直接求得結(jié)果到需要?jiǎng)幽X筋思考，符合學(xué)生的認(rèn)知.學(xué)生自己解決，并總結(jié)出每個(gè)題目解決方法：直接公式法、面積加減法、割補(bǔ)法.教師規(guī)范使用格式，就是規(guī)范學(xué)生幾何語言，一方面，訓(xùn)練了學(xué)生的思維能力，另一方面，提高了解題能力.

（三）快速回答

（1）圖4中陰影部分的面積______.

（2）如圖5，陰影部分的面積為______.

（3）用代數(shù)式表示圖6中陰影部分面積為______.

（4）如圖7，正六邊形內(nèi)接于半徑為1的圓，其中陰影部分的面積為______.

（5）如圖8，兩同心圓，大圓半徑為3，小圓半徑為1，則陰影部分面積為______.

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

設(shè)計(jì)思路：通過一組練習(xí)，鞏固前面的方法，并要求學(xué)生能夠研討出解題的關(guān)鍵，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想把不熟悉的圖形轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.鞏固得到的方法，從而提高學(xué)生解題能力，進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生的思維能力.

（四）典例精析

例1 如圖9，已知半圓的直徑AB=4cm，點(diǎn)C、D是這個(gè)半圓的三等分點(diǎn)，則弦AC、AD和弧CD圍成的陰影部分的面積為______cm2（值保留π）.

圖9

圖10

變式1：以上條件不變，把陰影部分中的點(diǎn)A移到直徑的延長(zhǎng)線上（圖10），陰影部分的面積會(huì)發(fā)生變化嗎？

問題：（1）解決這個(gè)問題你用了什么方法？體現(xiàn)了哪種數(shù)學(xué)思想？（上升到了一定的理論高度，滲透了數(shù)學(xué)思想，從而體現(xiàn)了培養(yǎng)學(xué)生的思維素養(yǎng)）

（2）如果陰影部分的點(diǎn)A的位置變成了直徑上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，有一部分的面積會(huì)發(fā)生變化嗎？

變式2：（討論思考）如圖11，AB是⊙O的直徑，C是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD切⊙O于D點(diǎn)，弦DE∥CB，Q是AB上一動(dòng)點(diǎn)，CA=1，CD是⊙O半徑的倍.

圖11

圖12

（1）求⊙O的半徑R.

（2）當(dāng)Q從A向B運(yùn)動(dòng)的過程中，圖中陰影部分的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)你說明理由；若不發(fā)生變化，請(qǐng)你求出陰影部分的面積.

設(shè)計(jì)思路：這是一組變式題，讓學(xué)生在探究中理解變中不變，掌握解題的真諦.學(xué)生在思考討論的過程中尋求解決變式問題基本方法，抓住變中不變.

（五）拓展延伸

拓展 如圖12，以△ABC的A邊AC為直徑的半圓交AB于點(diǎn)D，E三邊長(zhǎng)a，b，c能使二次函數(shù)y=S1（c+a）x2-bx+（c-a）的頂點(diǎn)在x軸上，且a是方程z2+z-20=0的一個(gè)根.

（1）證明：∠ACB=90°；

（2）若b=2x，S弓形AED=S1，陰影部分面積為S2，求（S2-S1）與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)b為何值時(shí)，（S2-S1）最大？

設(shè)計(jì)思路：探究的最終目的是讓學(xué)生的思維得到訓(xùn)練，能力得到提升，這個(gè)題目的設(shè)計(jì)，正是體現(xiàn)了這一點(diǎn).“探討”的目的是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造能力.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究過程中，知識(shí)的遷移、組合、融會(huì)的程度越高，展示能力的區(qū)域就越寬泛，顯現(xiàn)出的創(chuàng)造意識(shí)也就越強(qiáng).讓學(xué)生獨(dú)立思考，自主探索，發(fā)揮主觀能動(dòng)性，探究問題的本質(zhì)，尋求合適的解題工具，梳理解題程序，為考生展現(xiàn)創(chuàng)新意識(shí)、發(fā)揮創(chuàng)造能力創(chuàng)設(shè)廣闊的空間.

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

（1）我們現(xiàn)在用的是蘇科版教材，教材在呈現(xiàn)課程內(nèi)容的時(shí)候，選擇那些蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想的知識(shí)，精心開展知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過程，并有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生去探索，從而幫助學(xué)生更好地理解知識(shí)，感受思想.因此，我們立足于教材，并對(duì)教材進(jìn)行居高臨下的剖析和重新組織，使之成為促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展的相對(duì)完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)，用聯(lián)系、運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)去研究各知識(shí)點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)化，展示給學(xué)生一個(gè)動(dòng)態(tài)的知識(shí)“生長(zhǎng)”過程，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成和發(fā)展.

（2）因材實(shí)教、因人施教、注重過程教學(xué).盡管創(chuàng)造力人皆有之，但不同人的思維素質(zhì)的層次是不一樣的.創(chuàng)造力是構(gòu)成人的智力的各種能力中最富有個(gè)性的一種能力，因此，不能按同一標(biāo)準(zhǔn)來要求所有學(xué)生進(jìn)行同樣內(nèi)容和同一層次的創(chuàng)新活動(dòng)，而應(yīng)根據(jù)學(xué)生的不同特點(diǎn)和基礎(chǔ)進(jìn)行有針對(duì)性的教育.“探討式”課堂的教師，會(huì)根據(jù)學(xué)生的不同情況設(shè)置層次不同的問題，并根據(jù)學(xué)生的情況給予他答題.如果課堂研究的問題比較簡(jiǎn)單，而基礎(chǔ)好的同學(xué)已經(jīng)掌握，我們會(huì)適時(shí)地引導(dǎo)他們做更深層次的研究.

三、寫在最后

《基礎(chǔ)教育課程改革綱要》指出：“要改變課程過于注重知識(shí)傳授的傾向，強(qiáng)調(diào)形成積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)態(tài)度，使獲得基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的過程同時(shí)成為學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和形成主體探究學(xué)習(xí)的過程.這就要求我們的課堂教學(xué)需要多種教學(xué)方法和教學(xué)形式有機(jī)結(jié)合，讓學(xué)生得到主體發(fā)展.”F