應(yīng)用圖形計算器培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)*
——以《二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)》為例

☉廣東省中山市華僑中學(xué) 陳春濤

二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是《義務(wù)教育教科書九年級上冊·數(shù)學(xué)》第二十二章中的教學(xué)內(nèi)容，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）對本內(nèi)容的要求是“會用描點法畫出二次函數(shù)的圖像，通過圖像了解二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，說出圖像的開口方向，畫出圖像的對稱軸.通過配方法將二次函數(shù)化為y=a（x－h(huán)）2+k的形式，并通過對圖像的平移，理解各種不同表達(dá)形式的二次函數(shù)性質(zhì)，并能解決簡單實際問題.”

二次函數(shù)的性質(zhì)比較抽象，若單純從“數(shù)”的角度去理解比較困難，在教學(xué)中多借助圖像來幫助研究，而用描點法畫二次函數(shù)的圖像比較耗時，借助HP-prime圖形計算器可以大大減少作圖時間，使得從“形”的角度研究二次函數(shù)的性質(zhì)變得更容易.

一、教學(xué)實錄

（一）直觀感知，體會函數(shù)圖像的對稱性與增減性

【課堂片段實錄】

師：同學(xué)們已經(jīng)按照實驗單完成了對應(yīng)操作，大家覺得y=x2的圖像與一次函數(shù)的圖像有什么不同？

生1：一次函數(shù)的圖像是一條直線，而二次函數(shù)y=x2的圖像則是一條曲線.

生2：不僅是曲線，而且它還是軸對稱圖形.

生3：我覺得這條曲線很像秋千.

師：同學(xué)們描述得很準(zhǔn)確，也很形象，如果把圖形計算器上下顛倒，可以發(fā)現(xiàn)這段曲線就像是向上拋出的物體在空中運動的軌跡，我們把這樣的曲線叫做拋物線.

師：剛才的同學(xué)觀察到拋物線是軸對稱圖形，它的對稱軸是哪條直線？

生：y軸.

師：y軸也可稱為直線x=0.通過觀察圖像可發(fā)現(xiàn)拋物線是軸對稱圖形，從列表中可以發(fā)現(xiàn)這一特點嗎？請大家進(jìn)入圖形計算器的數(shù)字視圖，觀察對應(yīng)的x、y值，你能從“數(shù)”的角度驗證這一結(jié)論嗎？

……

師：回答得很好，能夠類比一次函數(shù)來得到二次函數(shù)的增減性，這種方法是我們學(xué)習(xí)新知識時常見的方法.除觀察圖像外，你們能從數(shù)字視圖的表格中觀察出同樣的結(jié)論嗎？

……

【分析】傳統(tǒng)的描點法作圖存在以下缺點：一是花費的時間較長.不使用坐標(biāo)紙，規(guī)范地作一個二次函數(shù)圖像約需5分鐘，如果想觀察圖像的平移，所花時間更多.二是作圖范圍較窄.在y=ax2的圖像中，比較適合課堂作圖的只有a=±1、±2、±等有限的幾個函數(shù)，系數(shù)的絕對值略大或系數(shù)略復(fù)雜（如系數(shù)為無理數(shù)）就不便于描點.三是作圖不準(zhǔn)確.特別是第一次作二次函數(shù)圖像時，許多學(xué)生對“用平滑的曲線連接各點”不能理解，對二次函數(shù)的圖像的形狀也心存疑慮.

使用圖形計算器可以有效地解決以上問題，只要輸入函數(shù)解析式，在另外兩種視圖中就能清晰看到列表的結(jié)果和函數(shù)的圖像，既直觀又形象，省時省力高效，有利于學(xué)生直觀理解二次函數(shù)的圖像形狀，有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀洞察能力.

（二）直觀對比，感悟二次項系數(shù)對圖像的影響

【課堂片段實錄】

師：同學(xué)們輸入了這些系數(shù)不同的二次函數(shù)，它們的圖像形狀與y=x2一樣嗎？是否依然是軸對稱圖形？對稱軸是否依然是y軸？頂點坐標(biāo)變了沒有？增減性有沒有變化？

……

師：實驗單上同桌兩人輸入的函數(shù)，唯一的不同就是系數(shù)互為相反數(shù)，你們通過同桌比較，有沒有發(fā)現(xiàn)系數(shù)不同令圖像發(fā)生了什么變化？

生1：我發(fā)現(xiàn)我畫出的圖像開口都是向上的，而同桌畫出的圖像開口都是向下的：所以我猜想，a的符號應(yīng)該決定著圖像的開口方向.

生2：我把圖形計算器上下顛倒，發(fā)現(xiàn)和我同桌的圖像完全一樣了，我猜想是否系數(shù)互為相反數(shù)的兩個函數(shù)圖像關(guān)于x軸對稱，于是我就輸入了y=3x2和y=－3x2這兩個函數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們真的關(guān)于x軸對稱.

師：你是通過觀察圖像猜測的嗎？有沒有從數(shù)的角度觀察過？請把圖形計算器調(diào)整到數(shù)字視圖狀態(tài)，再觀察看看.

生2：老師，我發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)當(dāng)x值相同的時候，它們的函數(shù)值互為相反數(shù)，如果把這些坐標(biāo)描在坐標(biāo)系中，它們正好關(guān)于x軸對稱.所以，對于y=ax2，當(dāng)二次項系數(shù)a互為相反數(shù)時，它們的圖像關(guān)于x軸對稱.

師：同學(xué)們觀察得很仔細(xì)，二次項系數(shù)a除了對圖像的開口方向產(chǎn)生影響，比較你們所畫的四個圖像，還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：我發(fā)現(xiàn)我畫出的四個函數(shù)圖像盡管開口方向相同，但開口的大小不一樣，開口最大的是y=x2，開口

最小的是y=20x2，通過觀察，我覺得二次項系數(shù)越大，則開口越小.

生2：我覺得這名同學(xué)概括的不準(zhǔn)確，因為我畫出的圖像，開口最大的是y=－x2，開口最小的是y=－20x2，而－>－20，如果按照剛才那名同學(xué)的結(jié)論，y=－x2的圖像開口應(yīng)該最小，可實際上它的開口卻是最大的.所以我覺得應(yīng)該概括為“二次項系數(shù)的絕對值越大，開口越小”.

【分析】用傳統(tǒng)方式是很難畫出y=20x2的圖像的，也很難準(zhǔn)確畫出y=0.76x2的圖像，圖形計算器則可以很方便地描繪出圖像，從而讓學(xué)生直觀感知函數(shù)圖像的形態(tài)與變化.具體而言，學(xué)生對比自己所畫的圖像，可以對二次項系數(shù)a決定圖像開口大小更直觀的理解.而通過與同桌描繪的圖像對比，學(xué)生可以直觀理解二次項系數(shù)a對圖像開口方向的影響.直觀對比讓圖像特征更易被理解、被發(fā)現(xiàn).

（三）直觀變換，理解二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律

【課堂片段實錄】

師：學(xué)習(xí)一次函數(shù)時我們知道，y=kx+b的圖像可以由正比例函數(shù)y=kx上下平移得到，那么如果將y=ax2的圖像上下左右平移，函數(shù)的解析式又會發(fā)生怎樣的變化呢？請大家分享自己數(shù)學(xué)實驗中的發(fā)現(xiàn).

生1：我把函數(shù)圖像上下拖動時，發(fā)現(xiàn)后面的常數(shù)項在對應(yīng)變化，向上拖動時，常數(shù)項越來越大，向下拖動時，常數(shù)項越來越小，我猜想：把二次函數(shù)圖像向上平移時，常數(shù)項的數(shù)值會對應(yīng)的增加，向下平移時，常數(shù)項的數(shù)值會對應(yīng)減小.

生2：我把函數(shù)圖像左右拖動時，發(fā)現(xiàn)x的值在不停的變化，向右平移時，它所減的數(shù)字越來越大，向左平移時，它居然顯示的是減去負(fù)數(shù)，越往左，減去的負(fù)數(shù)的絕對值就越大.

師：你們觀察的很仔細(xì)，表述的也很準(zhǔn)確，特別是第二名同學(xué)，觀察到圖形計算器在左右平移時顯示的方法是減去一個數(shù)，如果把它化簡，減去負(fù)數(shù)就變?yōu)榱思由险龜?shù)，我們可以把它概括為“左右平移時改變自變量x的值，向右平移時，減去對應(yīng)的數(shù)值，向左平移時，加上對應(yīng)的數(shù)值，簡單概括為左加右減”.上下平移時可以怎樣概括呢？

生1：老師，我可以把剛才的發(fā)現(xiàn)概括為“上下平移時改變常數(shù)項的值，具體方法是上加下減”.

師：概括很準(zhǔn)確，函數(shù)y=ax2上下平移可得到解析式y(tǒng)=ax2+k，k值變化規(guī)律為上加下減；函數(shù)y=ax2左右平移可得到解析式y(tǒng)=a（x－h(huán)）2，－h(huán)的變化規(guī)律為左加右減.

生3：老師，我有一個疑問，為什么左右平移得到的解析式為y=a（x－h(huán)）2，而不是y=a（x+h）2呢？

師：這名同學(xué)很細(xì)心，可能也有同學(xué)在奇怪為什么圖形計算器上出現(xiàn)“減去負(fù)數(shù)”這樣的表示方法.解答這個問題之前，請同學(xué)們觀察y=ax2+k和y=a（x－h(huán)）2的對稱軸、頂點、增減性與y=ax2是否相同.

……

師：通過前面的操作以及填寫實驗結(jié)論，同學(xué)們應(yīng)該已經(jīng)發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)y=a（x－h(huán)）2+k的圖像可由y=ax2的圖像平移得到，對應(yīng)的，其頂點坐標(biāo)也從（0，0）平移至（h，k），y=a（x－h(huán)）2+k的這種表達(dá)形式也因此被稱為頂點式.如果將解析式寫成y=（x－h(huán)）2+k，則其對稱軸為x=h，若寫成y=（x+h）2+k，則對稱軸應(yīng)為x=－h(huán)，故為了表示頂點坐標(biāo)的方便，我們將解析式表示為y=a（x－h(huán)）2+k的形式.實質(zhì)上，“h”與“－h(huán)”都是既可表示正數(shù)，又可表示負(fù)數(shù).所以，圖形計算器上出現(xiàn)了“減負(fù)數(shù)”這種狀態(tài).

【分析】在二次函數(shù)平移的教學(xué)中，用描點法繪制如圖1所示的圖像約需十幾分鐘，且在比較幾個圖像時，會感覺這些圖像的底部間隔較大，而頂部間隔則較小，從直觀上感覺平移后不重合，因此容易形成學(xué)生的認(rèn)知困惑.

使用圖形計算器直接用手拖動著同一圖像平移（圖2），同時還可動態(tài)觀察下方顯示的解析式變化情況，這種直觀變換可以避免學(xué)生產(chǎn)生視覺干擾，促進(jìn)學(xué)生對動態(tài)規(guī)律的直觀理解.這種借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知，即可稱之為“幾何直觀”.

圖1

圖2

（四）直觀作圖，探究系數(shù)對圖像的影響

【實驗單4】體會二次函數(shù)解析式中的系數(shù)對函數(shù)圖像的影響（1）將“函數(shù)”app重置后再進(jìn)入，在圖像視圖下，選擇“菜單/草圖”分別畫以下草圖，確定，選擇“菜單/分析/定義”，記錄下此時解析式各系數(shù)的符號；再選擇“分析/定義/變換/形式”，選擇不同的表達(dá)形式：y=a（x-h）2+k，y=ax2+bx+c，y=a（x-x0）（x-x1），并記錄下此時各系數(shù)的符號.（2）在不同的表達(dá)形式下，拖動函數(shù)圖像，觀察其變化規(guī)律.

圖3

圖4

圖5

圖6

【課堂片段實錄】

師：在前面研究將y=ax2平移形成y=a（x－h(huán)）2+k的圖像時，我們發(fā)現(xiàn)隨著圖像位置的變化，h與k值也在對應(yīng)的發(fā)生變化，由此可見，二次項系數(shù)決定著函數(shù)圖像的形狀與位置，根據(jù)之前的平移操作，同學(xué)們能夠發(fā)現(xiàn)a、h、k分別對函數(shù)圖像的形狀和位置起什么作用嗎？

生1：實驗二中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)a決定著圖像的開口與大小，y=a（x－h(huán)）2+k的圖像是由y=ax2平移得到的，所以只要a值不變，圖像的形狀應(yīng)該固定不變.

生2：在實驗三中，左右平移時改變的是h的值，上下平移時改變的是k的值，而y=a（x－h(huán)）2+k的頂點坐標(biāo)正是（h，k），所以h與k應(yīng)該決定著函數(shù)圖像頂點的位置.

……

師：在圖1的草圖下，選擇不同的表達(dá)形式，如y=ax2+bx+c，思考：通過怎樣的變換可以將y=a（x－h(huán)）2+k變化為y=ax2+bx+c形式？

生：將a（x－h(huán)）2+k去括號、合并同類項后就可展開成ax2+bx+c形式.

師：a（x－h(huán)）2+k展開后的結(jié)果是ax2－2ahx+（ah2+k），對比兩種表達(dá)式，我們可以發(fā)現(xiàn)b=－2ah，即對稱軸h=－，那么形如y=ax2+bx+c的解析式中，a、b對圖像的位置應(yīng)該起到什么影響？

生：前面已經(jīng)知道直線x=h是圖像的對稱軸，也就是說當(dāng)解析式的形式為y=ax2+bx+c時，系數(shù)a、b共同決定著圖像的對稱軸.

師：你真細(xì)心，ax2+bx+c是二次三項式的一般形式，故我們將y=ax2+bx+c稱為一般式.將頂點式的解析式展開就可以得到一般式，若將一般式配方，也可以轉(zhuǎn)化為頂點式.剛才同學(xué)們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一般式的對稱軸為直線x=－，請大家繪制實驗四中的四幅圖，并分別轉(zhuǎn)化為一般式，觀察四幅圖中對稱軸的位置與a、b的符號，完善剛才那名同學(xué)的解答.

生1：通過作圖，我發(fā)現(xiàn)當(dāng)對稱軸位于y軸左側(cè)時，即圖3和圖5，無論圖像開口向上還是向下，a和b的符號都是一樣的，而對稱軸位于y軸右側(cè)時，即圖4和圖6，a和b的符號都是相反的.

生2：我可以解釋這種現(xiàn)像，如果a、b的符號一樣，那么和的符號一定為正，因為同號得正，則－0，也就是對稱軸x=－<0，正好位于y軸左側(cè)；同理，如果a、b異號，則x=－>0，對稱軸位于y軸右側(cè).

……

師：現(xiàn)在a、b對圖像的影響已經(jīng)確定，常數(shù)項c對圖像又有什么影響呢？

生：c=ah2+k這個等式我實在看不明白，但我發(fā)現(xiàn)對于y=ax2+bx+c來說，當(dāng)x=0時，y=c，而（0，c）正好在y軸上，于是我猜想c應(yīng)該決定著圖像與y軸的交點坐標(biāo).

師：二次函數(shù)還有最后一種表達(dá)形式y(tǒng)=a（x－x0）（xx1），同學(xué)們也談?wù)剬@種表達(dá)式的看法.

生：我覺得這里的x0和x1很像方程的兩個解，觀察后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=x0或x=x1時，函數(shù)值都為零，也就是說（x0，0）和（x1，0）是圖像與x軸的兩個交點.

師：y=a（x－x0）（x－x1）我們常稱做交點式，其中的x0和x1正是圖像與x軸兩個交點的橫坐標(biāo).

師：剛才我們理解了二次函數(shù)的系數(shù)對圖像的位置和大小的影響，也知道了頂點式可以直觀反映圖像的平移規(guī)律，那么當(dāng)解析式為一般式或交點式時，怎樣理解它的平移規(guī)律呢？大家可以在圖形計算器上試試.

生：我發(fā)現(xiàn)，不管哪一種解析式，上下平移時改變的都是它的常數(shù)項，變化規(guī)律仍是上加下減；左右平移時改變的仍是自變量x的值，且是每一處x的值都會改變，變化規(guī)律仍是左加右減.

【分析】華羅庚教授曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”.直觀印象最終需要抽象為數(shù)學(xué)問題來解決.二次函數(shù)的“數(shù)”與“形”的結(jié)合是學(xué)習(xí)中的難點，相比前面的實驗，實驗四從“數(shù)”的角度分析問題更多一些，證明思維活動在逐漸深入，正在由具體向抽象轉(zhuǎn)變.

上述實驗四中二次項系數(shù)a、b、c對圖像的影響是一個難點，傳統(tǒng)課堂中需要將y=ax2+bx+c配方為頂點式，再利用頂點式平移的規(guī)律去理解一般式，借助圖形計算器，通過“草圖”功能可以讓學(xué)生直接觀察歸納得到結(jié)論.所以，應(yīng)用圖形計算器縮短了紙筆運算的時間，使學(xué)生可以有更多的時間觀察和思考，使“有形”的思維和“無形”的思維緊密結(jié)合，為數(shù)學(xué)想像的發(fā)生提供了直觀的載體.

五、教學(xué)反思

1.多媒體教學(xué)手段是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的重要輔助手段

直觀想象素養(yǎng)是六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，它是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程.它是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).

前面的教學(xué)設(shè)計中，實驗一通過直觀感知促使學(xué)生理解圖像形狀；實驗二通過直觀對比幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖像特征，兩個實驗都培養(yǎng)了學(xué)生的直觀洞察能力；實驗三通過直觀變換促進(jìn)學(xué)生感悟動態(tài)規(guī)律，則培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀能力；實驗四通過作草圖觀察解析式，即通過直觀作圖幫助學(xué)生體會數(shù)形關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生從單純的“看”過渡到“想”，從特殊的個例過渡到一般的圖形，通過圖式想像，對圖形抽象和概括，得到圖像與解析式之間的關(guān)系，在此過程中，數(shù)學(xué)想象能力也得到了培養(yǎng).

直觀洞察、幾何直觀、空間想象就是直觀想象素養(yǎng)所包含的三大能力.史寧中教授在《數(shù)學(xué)基本思想》中談到“直觀不是‘教’出來的，而是自己‘悟’出來的，這就需要經(jīng)驗積累”，圖形計算器在前面的教學(xué)設(shè)計中正好成為了學(xué)生積累直觀經(jīng)驗的載體.

2.多媒體教學(xué)手段的應(yīng)用要注意從直觀到抽象的恰當(dāng)轉(zhuǎn)化

從上面的教學(xué)設(shè)計中，圖形計算器極大地提高了教學(xué)效率.但教學(xué)效率與教學(xué)效果并不是等同的，圖形計算器在教學(xué)中的應(yīng)用也有如下缺點：

（1）無法替代學(xué)生學(xué)習(xí)的過程.

雖然圖形計算器能夠迅速繪制函數(shù)圖像，解決了學(xué)生對函數(shù)圖像的認(rèn)知困惑，但也同樣產(chǎn)生了新的問題：“輸入了函數(shù)解析式后，計算器畫出來的圖像真的準(zhǔn)確嗎？為什么是這樣的圖像？”這一疑惑應(yīng)用傳統(tǒng)的紙筆作圖恰好可以解決.通過讓學(xué)生描點、連線，如果將點描得更多一些，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)這些點只能用平滑的曲線來連接，無法用直線連接.最后學(xué)生畫出來的圖像也許并不美觀，但對y=x2的圖像卻會有更深入的理解.

（2）無法展示知識的生成過程.

在以上教學(xué)過程中，當(dāng)解析式為一般式時，雖然可以從圖形計算器中直觀得到頂點坐標(biāo)，但求頂點坐標(biāo)的方法卻沒法體現(xiàn)出來，頂點坐標(biāo)與系數(shù)的關(guān)系也無法體現(xiàn).傳統(tǒng)的課堂是將y=ax2+bx+c配方，得到y(tǒng)=a（ x+）2+，從而得到一般式的頂點坐標(biāo)公式，并進(jìn)一步理解a、b與圖像對稱軸的關(guān)系.在這一過程中，既可訓(xùn)練學(xué)生配方的技能，又可以此為載體讓學(xué)生理解通過配方解決最值類問題的方法，如果直接觀察圖形計算器上顯示的結(jié)果，是無法培養(yǎng)這些能力的.故在教學(xué)中，直觀感知可以讓學(xué)生迅速理解“是什么”，但要知道“為什么”卻必然抽象為數(shù)學(xué)模型，從直觀到抽象，從特殊到一般是知識學(xué)習(xí)的必要途徑.

新知識學(xué)習(xí)的過程是發(fā)展能力的過程，只有在知識發(fā)生發(fā)展的過程中學(xué)生的基本素養(yǎng)才能得到培養(yǎng)，信息技術(shù)的飛速發(fā)展使得學(xué)習(xí)方式發(fā)生了翻天覆地的變化，使得過去抽象的內(nèi)容可以更直觀的習(xí)得，但無論是多媒體設(shè)備，還是人工智能，都只能使知識的習(xí)得更容易，卻無法代替學(xué)生的思考和學(xué)習(xí)過程.因此，在學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中，無論是設(shè)備的使用，還是思想方法的培養(yǎng)，都需要恰當(dāng)?shù)恼显趯W(xué)生學(xué)習(xí)的過程中，只有在知識發(fā)生發(fā)展的過程中學(xué)生的基本素養(yǎng)才能得到培養(yǎng)．而何時讓學(xué)生直觀體驗，何時又必須放手讓學(xué)生探索，這就是教學(xué)智慧的體現(xiàn).教學(xué)之美貴在恰當(dāng)！

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1.史寧中.推進(jìn)基于學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)改革［J］.中小學(xué)管理，2016（2）.

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3.李 靜.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）的關(guān)鍵詞與初中數(shù)學(xué)教學(xué)［M］.上海：華東數(shù)學(xué)出版社，2015（8）.

4.方厚良，羅燦.談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之直觀想象與培養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（10）.

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