例析雙根法優(yōu)化解析幾何運(yùn)算

廣東省深圳市光明中學(xué)(518107) 王國學(xué)

解析幾何的特點(diǎn)決定了解決問題的主要方式是運(yùn)算,因此必要的運(yùn)算是不可缺少的.但有時(shí)因?yàn)檫\(yùn)算量太大,不少同學(xué)對此產(chǎn)生畏懼,或運(yùn)算進(jìn)行不到底或出現(xiàn)運(yùn)算錯誤.本文介紹的雙根法能優(yōu)化解析幾何運(yùn)算,在很大程度上降低運(yùn)算量,提高速度和準(zhǔn)確性.

雙根法適用類型類似x1x2,y1y2,(x1+t)(x2+t),(y1+t)(y2+t)或(其中x1,y1,x2,y2是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo),A,B是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn))以及可轉(zhuǎn)化為上述結(jié)構(gòu)的問題.

雙根法理論基礎(chǔ)二次函數(shù)的雙根式,若一元二次方程ax2+bx+c=0(a/=0)的兩根為x1,x2,則ax2+bx+c=a(x?x1)(x?x2).

雙根法具體步驟化雙根式→賦值→變形代入

圖1

例1(2012高考?重慶)如圖1,設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O,長軸在x軸上,上頂點(diǎn)為A,左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,線段OF1,OF2的中點(diǎn)分別為B1,B2,且△AB1B2是面積為4的直角三角形.

(I)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;

(II)過B1做直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),使PB2⊥QB2,求直線l的方程.

傳統(tǒng)解法(I),標(biāo)準(zhǔn)方程為過程從略.

(II)由(I)知B1(?2,0),B2(2,0).由題意,當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí),顯然不成立.故直線PQ的斜率存在,設(shè)為k,則l:,將y=k(x+2)代入橢圓方程,消元可得x2+5k2(x+2)2?20=0,

即

所以

因?yàn)镻B2⊥QB2所以而y1=k(x1+2),y2=k(x2+2),所以

即

即

所以

所以

即

點(diǎn)評此題是一道典型的直線與圓錐曲線的綜合問題,聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,利用韋達(dá)定理消元解決.結(jié)合本題,處理PB2⊥QB2是關(guān)鍵,這個(gè)條件轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零之后的復(fù)雜運(yùn)算,此法雖然思路清晰,但運(yùn)算極為繁瑣.在緊張的考試中,學(xué)生極易出錯.事實(shí)上,(2?x1)(2?x2)+k2(x1+2)(x2+2)=0是運(yùn)算難點(diǎn),若能將(2?x1)(2?x2)和(x1+2)(x2+2)用k整體表示,則就能大大簡化運(yùn)算.

簡化解法同傳統(tǒng)解法可得

與

而x1,x2是x2+5k2(x+2)2?20=0的兩根,所以

①中令x=2,得

所以

①中令x=?2,得

所以64k2?16=0,即.下同傳統(tǒng)解法.

點(diǎn)評此法通過巧設(shè)雙根式并合理賦值,大大簡化了運(yùn)算!

例2(2016高考?四川)已知橢圓E:的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),直線l:y=?x+3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.

(I)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);

(II)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線l′平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B,且與直線l交于點(diǎn)P.證明:存在常數(shù)λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.

解析(I),點(diǎn)T坐標(biāo)為(2,1),過程從略.

(II)由已知可設(shè)直線l′的方程為,

由方程組

可得

可得

而x1,x2是3x2+4mx+(4m2?12)=0的兩根,所以

方程②的判別式為Δ=16(9?2m2),由Δ ＞0,解得.由②得

所以

得

練習(xí)1(2017高考全國卷III)已知拋物線C:y2=2x,過點(diǎn)(2,0)的直線l交C與A,B兩點(diǎn),圓M 是以線段AB為直徑的圓.

(I)證明坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上;(II)設(shè)圓M 過點(diǎn)P(4,?2),求直線l與圓M 的方程.

練習(xí)2(2015高考?全國卷1)已知過點(diǎn)A(1,0)且斜率為k的直線l與圓C:(x?2)2+(y?3)2=1交于M,N兩點(diǎn).

通過上面幾道高考題的分析,我們發(fā)現(xiàn),雙根法在解決解析幾何中涉及x1x2,y1y2,(x1+t)(x2+t),(y1+t)(y2+t)或(其中x1,y1,x2,y2是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo),A,B是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn))以及可轉(zhuǎn)化為上述結(jié)構(gòu)的的問題時(shí)具有巨大的威力,能使問題得到有效的解決,使得繁瑣的運(yùn)算變成簡單可行的任務(wù),極大地提高解題效率!