小學(xué)數(shù)學(xué)《三角形的內(nèi)角和》課例研究

李織蘭 楊起群 蔣曉云 馮濤勵

【摘要】本文根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，結(jié)合課例論述教師在小學(xué)階段教學(xué)“三角形的內(nèi)角和為180°”時(shí)啟蒙學(xué)生理性精神、培養(yǎng)其推理意識的途徑，提出結(jié)合“帕斯卡的推理”引導(dǎo)學(xué)生論證三角形內(nèi)角和為180°的教學(xué)策略。

【關(guān)鍵詞】三角形內(nèi)角和 理性精神 演繹推理 “帕斯卡的推理”

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）12A-0030-03

2005年3月初，姜伯駒院士在全國政協(xié)會議上的提案中指出，“三角形內(nèi)角和等于180°”這樣的基本定理，只讓學(xué)生用測量、計(jì)算、拼接實(shí)驗(yàn)的方法“歸納猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律（結(jié)論）”，不說理，不證明，數(shù)學(xué)課就失去了理性的精神。反思這十多年的小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)淡化了數(shù)學(xué)中的邏輯推理、理性思維。所以，經(jīng)過修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）明確要求：在第一學(xué)段和第二學(xué)段，可以逐漸滲透給學(xué)生知道，合情推理的結(jié)論可能是正確的，也可能是錯誤的，還需要依靠演繹推理去證明或者證否。

我們選取人教版數(shù)學(xué)四年級下冊《三角形的內(nèi)角和》一課，以在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“啟蒙理性精神，初步培養(yǎng)學(xué)生演繹推理的意識和推理能力”為主題進(jìn)行課例研究。

一、教學(xué)內(nèi)容與素材分析

人教版、北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的《三角形的內(nèi)角和》這一教學(xué)內(nèi)容，都有“操作驗(yàn)證”“得出結(jié)論”環(huán)節(jié)。操作驗(yàn)證主要包括兩個(gè)環(huán)節(jié)，分別是“量一量”和“拼一拼”。

二、課堂觀察與診斷

我們選取一節(jié)小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課的視頻作為課堂觀察材料，進(jìn)行課堂觀察與診斷。

（一）教學(xué)片段

教師在探究“三角形的內(nèi)角和是180度”這一環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)了四個(gè)步驟：量角求和、拼折驗(yàn)證、課件展示、歸納小結(jié)，讓學(xué)生在“量一量”“拼一拼”“折一折”的實(shí)驗(yàn)操作過程中，探究從不同的途徑驗(yàn)證結(jié)論和解決問題的方法。

其中，在歸納小結(jié)中出現(xiàn)下面這樣一個(gè)小片段。

師：我們剛才用了這么多種方法來驗(yàn)證，現(xiàn)在我們可以肯定地說，三角形的內(nèi)角和是180°。請同學(xué)們用肯定的語氣來讀一讀這句話。

生（齊讀）：三角形的內(nèi)角和是180°。

（二）教學(xué)診斷

“我們剛才用了這么多種方法來驗(yàn)證，現(xiàn)在我們可以肯定地說：三角形的內(nèi)角和是180°?！闭娴闹煌ㄟ^“量一量”“拼一拼”“折一折”就能肯定“每一個(gè)三角形的內(nèi)角和都等于180°”嗎？不能！實(shí)驗(yàn)歸納的結(jié)果不一定靠譜，用這種方法得到的結(jié)論可能是對的，也可能是錯的，還需要依靠演繹推理去驗(yàn)證。

雖然小學(xué)階段關(guān)注通過合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，培養(yǎng)演繹推理能力是中學(xué)幾何教學(xué)的核心追求。但是，如果小學(xué)階段不說理、不證明、不啟蒙學(xué)生的理性精神，甚至錯誤地完全肯定實(shí)驗(yàn)歸納所得到的結(jié)論，到了初中階段學(xué)習(xí)“三角形內(nèi)角和定理”的證明時(shí)，學(xué)生會認(rèn)為完全沒有必要。

在學(xué)習(xí)“三角形的內(nèi)角和等于180°”這樣的基本結(jié)論時(shí)，教師讓學(xué)生用測量、計(jì)算、拼接實(shí)驗(yàn)的方法“歸納猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律（結(jié)論）”是沒有錯誤的，但教師最后小結(jié)的那段話是違背數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求的嚴(yán)重錯誤。

（三）教學(xué)建議

教師可從“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律”和“啟蒙理性精神”兩方面改進(jìn)教學(xué)。在總結(jié)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律時(shí)，教師可以跟學(xué)生說：“我們剛才用了這么多種方法，現(xiàn)在我們發(fā)現(xiàn)（猜測）三角形的內(nèi)角和是180°?！彪S后給出一些“測量會產(chǎn)生誤差”“從特殊到一般歸納不一定完全”和“眼見未必為實(shí)”的例子，讓學(xué)生明白“實(shí)驗(yàn)歸納的結(jié)果不一定靠譜”，所以只通過“量一量”“拼一拼”“折一折”的實(shí)驗(yàn)歸納是不能肯定“每一個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180°”的。教師再告訴學(xué)生：“2000多年前，數(shù)學(xué)家歐幾里德寫了一套名為《幾何原本》的書，在他的書中，用‘邏輯推理的方法對這個(gè)結(jié)論作了證明，從而保證了每一個(gè)三角形內(nèi)角和都等于180°，現(xiàn)在我們可以相信它是對的。這個(gè)證明方法我們將會在初中階段學(xué)習(xí)?！?/p>

三、課堂改進(jìn)

數(shù)學(xué)證明能力的形成往往要經(jīng)歷許多年，需要從找到初步的感覺，到舉例論證，再到一般的證明。我們主張?jiān)谛W(xué)階段開始讓學(xué)生接觸數(shù)學(xué)證明的思想。也正因?yàn)槿绱?，我們吸收部編版教材采取的類似于少年帕斯卡首先使用的“推理論證”方法，幫助學(xué)生從理性的角度研究三角形的內(nèi)角和。

廣泛閱讀各種教材，揚(yáng)長避短，我們進(jìn)一步優(yōu)化《三角形的內(nèi)角和》教學(xué)設(shè)計(jì)如下。

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

教師通過“三種類型的三角形爭論內(nèi)角和大?。ㄈ鐖D1）”的趣味情境作為導(dǎo)入，讓學(xué)生作為“調(diào)解員”為它們解決爭議，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使其明白為什么教材要求“畫幾個(gè)不同類型的三角形，量一量，算一算”，很自然地進(jìn)入新課學(xué)習(xí)。

（二）動手操作，合作探究

1.量一量

4人小組合作完成“量一量”“算一算”實(shí)驗(yàn)操作，由小組長向全班展示。教師及時(shí)點(diǎn)評，關(guān)注每個(gè)小組的結(jié)果，讓學(xué)生闡述為什么選擇不同類型的三角形，滲透“分類討論”和“歸納”的思想，培養(yǎng)學(xué)生周密、嚴(yán)謹(jǐn)、有條理地思考問題的思維，引發(fā)猜想：三角形的內(nèi)角和可能都是180°。

教師預(yù)設(shè)學(xué)生可能測量結(jié)果不一，鼓勵學(xué)生匯報(bào)自己測量的真實(shí)數(shù)據(jù)，及時(shí)討論產(chǎn)生誤差的原因，讓學(xué)生認(rèn)識到出現(xiàn)誤差是實(shí)驗(yàn)活動不可避免的現(xiàn)象，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)態(tài)度。

2.拼一拼

“拼一拼”就是通過求“和角”是“平角”來說明三角形內(nèi)角和是180°?！昂徒恰笔且粋€(gè)“數(shù)”，“平角”是一個(gè)“形”。我們安排了圖2的操作來實(shí)現(xiàn)“量一量”與“拼一拼”之間的自然過渡，突出“拼一拼”的教育價(jià)值。

隨后，教師引出問題“只有一個(gè)三角形，能否組成平角”，如圖3。

（三）巧妙設(shè)疑，讓學(xué)生真有思考

教師先通過實(shí)例讓學(xué)生思考：“查看我們班的數(shù)學(xué)成績冊，我發(fā)現(xiàn)1號同學(xué)數(shù)學(xué)及格，2號同學(xué)數(shù)學(xué)及格，3號同學(xué)數(shù)學(xué)及格，4號同學(xué)數(shù)學(xué)及格，5號同學(xué)數(shù)學(xué)及格，6號同學(xué)數(shù)學(xué)及格，7號同學(xué)數(shù)學(xué)及格，8號同學(xué)數(shù)學(xué)及格，我就得到全班所有同學(xué)數(shù)學(xué)成績及格。事實(shí)證明我是錯的，為什么老師會做出錯誤的判斷呢？”學(xué)生明白了我們只能對我們測量過的對象下結(jié)論，“從特殊到一般”的“實(shí)驗(yàn)歸納”并不完全。因此，通過“量一量”“拼一拼”不能保證每一個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180°。

接著，教師讓學(xué)生觀察圖4，學(xué)生大多覺得∠AOB=180°，∠COD不等于180°，實(shí)際上，∠AOB=179.5°，∠COD=181°，以此讓學(xué)生明白“平角”不是看出來的，也不是用工具測量出來的（測量工具有誤差）。

學(xué)生感受到“眼見未必為實(shí)”，認(rèn)為“把三角形的三個(gè)角剪下來拼湊在一起，然后通過觀察得到它是一個(gè)平角”這種方法是不可靠、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?/p>

（四）推理論證

教師結(jié)合“帕斯卡的推理”，帶領(lǐng)學(xué)生驗(yàn)證“三角形的內(nèi)角和是180°”，過程如下。

教師通過幾何畫板演示：任意一個(gè)直角三角形，作一個(gè)與其全等的直角三角形，把兩個(gè)全等的直角三角形重新組合，拼成一個(gè)矩形，這個(gè)矩形的四個(gè)內(nèi)角都是直角，它的內(nèi)角和是360°。學(xué)生交流、反饋，得到“每一個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是180°”的結(jié)論。

接著，教師引導(dǎo)學(xué)生尋找一個(gè)“一般”的三角形并證明它的內(nèi)角和也是180°（如圖5）：任意一個(gè)銳角三角，作三角形的一條高把它分成兩個(gè)直角三角形，因?yàn)橹苯侨切蔚膬?nèi)角和是180°，所以兩個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是360°，因?yàn)橛袃蓚€(gè)直角拼在一起了，所以銳角三角形的內(nèi)角和是180°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°×2=360°，∠4+∠5=90°+90°=180°，所以∠1+∠2+∠3=180°，讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化的思想和方法。

“現(xiàn)在我們能說每一個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180°了嗎？為什么？我們只能說‘每一個(gè)銳角三角形的內(nèi)角和也是180°，還需要論證‘每一個(gè)鈍角三角形的內(nèi)角和是180°。”教師通過設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究鈍角三角形的內(nèi)角和。

這樣的教學(xué)安排，使學(xué)生意識到數(shù)學(xué)論證需要經(jīng)過全面、周密、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎?，保證數(shù)學(xué)結(jié)論具有科學(xué)性。

（五）升華情感

教師向?qū)W生講述少年帕斯卡的故事：“300多年前，法國有一位偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、哲學(xué)家和散文家叫帕斯卡，他在12歲的時(shí)候就發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，他還用‘推理的方法確保每一個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180°?！币源思顚W(xué)生刻苦鉆研。

（六）解決問題、拓展應(yīng)用（略）

整個(gè)教學(xué)過程，通過情境讓學(xué)生感悟到實(shí)驗(yàn)歸納得到的結(jié)論可能不靠譜，適度吸收部編版教材的“證明法”，即少年帕斯卡的推理進(jìn)行說理論證。我們稱之為“實(shí)驗(yàn)法+證明法”。

小學(xué)“圖形與幾何”教學(xué)的核心目標(biāo)不是培養(yǎng)演繹推理能力，少年帕斯卡的推理論證也許談不上是“演繹推理”的證明，我們采用“實(shí)驗(yàn)法+證明法”進(jìn)行教學(xué)重在引導(dǎo)學(xué)生合情推理、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，符合課標(biāo)要求的“啟蒙理性精神和演繹推理意識”。

（責(zé)編 劉小瑗）