基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高中線性規(guī)劃題型分析

羅丹丹 袁仕芳 蔡瑋

摘 要：線性規(guī)劃題型的教學(xué)涉及函數(shù)與幾何等相關(guān)知識，還涉及不等式的應(yīng)用，整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)都可以結(jié)合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行。本論文通過分析全國高考數(shù)學(xué)試卷，從基礎(chǔ)題型、應(yīng)用題型、含有參數(shù)題型、綜合題型四個角度，結(jié)合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，對線性規(guī)劃的解題與教學(xué)進(jìn)行了具體嘗試。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；核心素養(yǎng)；線性規(guī)劃；高考數(shù)學(xué)

自2016年9月《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》提出學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng)以來，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)已經(jīng)成為當(dāng)前初等數(shù)學(xué)的研究熱點(diǎn)。2016年9月《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（征求意見稿）中提出了高中數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)抽象、邏輯思維、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)分析六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。并且提出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，必須在高中數(shù)學(xué)課程中得到體現(xiàn)。

線性規(guī)劃的教學(xué)涉及到函數(shù)、不等式和幾何等相關(guān)知識，整個教學(xué)環(huán)節(jié)都可以結(jié)合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行。我們下面利用全國2011年到2017年全國I卷高考數(shù)學(xué)試卷題目以及平常的練習(xí)題，從基礎(chǔ)題型、應(yīng)用題型、含有參數(shù)題型、綜合題型四個方面結(jié)合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行分析。

一、 基礎(chǔ)題型

基礎(chǔ)題型是指利用題中給出的二元約束條件和目標(biāo)函數(shù)，求目標(biāo)函數(shù)的最值或者取值范圍。根據(jù)解題方法又可分為直線截距型、斜率型、距離型三類。基礎(chǔ)題型主要運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，可以分為作圖、平移和求最值三個步驟完成。

作圖是指根據(jù)約束條件作出可行域；平移是指將目標(biāo)函數(shù)直線進(jìn)行平移尋找最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)；求最值是根據(jù)對應(yīng)點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)合求解，確定對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)并代入目標(biāo)函數(shù)求出結(jié)果。

下面以高考全國一卷2015年文科數(shù)學(xué)第15題為例進(jìn)行求解分析：

若x，y滿足約束條件x+y-2≤0

x-2y+1≤0

2x-y+2≥0，則z=3x+y的最大值為 .

解：由題目的約束條件作出可行域?qū)?yīng)的平面區(qū)域如圖。由目標(biāo)函數(shù)z=3x+y，可得y=-3x+z。先畫出直線y=-3x，然后平移直線y=-3x，由圖象可知當(dāng)直線y=-3x+z經(jīng)過點(diǎn)A時，直線y=-3x+z的截距最大，此時z最大。由題意可得x+y-2=0

x-2y+1=0，解得x=1y=1，即A（1，1）。此時z的最大值為z=3×1+1=4，故答案為：4。

二、 應(yīng)用題型

線性規(guī)劃的應(yīng)用題型主要是指以現(xiàn)實(shí)生活為背景提煉出來的線性規(guī)劃題，主要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。解決這類題往往需要通過審題，找出變量之間的關(guān)系，并且能抽象出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，確定好它們的線性約束條件，寫出本問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件。

應(yīng)用題型最關(guān)鍵的一步就是對題目進(jìn)行一定的分析剝離，將生活問題用數(shù)學(xué)語言表述成數(shù)學(xué)模型。這是學(xué)生解決這類題型的最大困難，也是培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵點(diǎn)，需要教師在課堂教學(xué)中耐心指導(dǎo)和有意識地導(dǎo)入。

下面我們以2016年的第16題為例進(jìn)行求解分析：

某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元。該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為 元。

解：設(shè)A、B兩種產(chǎn)品分別需要甲、乙兩種新型材料x件和y件，獲利為z元。由題意確立的目標(biāo)函數(shù)為z=2100x+900y，約束條件為

1.5x+0.5y≤150

x+0.3y≤90

5x+3y≤600

x∈N

y∈N，約束條件表示的可行域如圖。由題意可得

x+0.3y=90

5x+3y=600，

解得x=60

y=100，即A（60，100），則當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2100x+900y經(jīng)過A時直線的截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最大值為2100×60+900×100=21600元。故答案為：216000。

三、 含有參數(shù)題型

含有參數(shù)題型主要是指模型中的目標(biāo)函數(shù)或者約束條件中含有參數(shù)。簡單線性規(guī)劃中的含有參數(shù)題型主要分為約束條件含參數(shù)、目標(biāo)函數(shù)含參數(shù)、線性條件且目標(biāo)函數(shù)含參數(shù)三種類型。這類題型主要考查學(xué)生的邏輯推理等核心素養(yǎng)以及思維的縝密性。

下面主要以2014年文科數(shù)學(xué)高考題目第11題為例進(jìn)行求解分析：

設(shè)x，y滿足約束條件x+y≥a

x-y≤-1，且z=x+ay的最小值為7，則a=（ ）

A. -5

B. 3

C. -5或3

D. 5或-3

解：由題約束條件可作出可行域如右圖。解方程組

x-y=-1

x+y=a，解得x=a-12

y=a+12，所以A（a-12，a+12），當(dāng)a=0時，A為（-12，12），z=x+ay的最小值為-12，不滿足題意；當(dāng)a<0時，由z=x+ay得y=-1ax+za，要使z最小，則直線y=-1ax+za在y軸上的截距最大，滿足條件的最優(yōu)解不存在；當(dāng)a>0時，由z=x+ay得y=-1ax+za，由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)A時直線y=-1ax+za在y軸上的截距最小，z最小。此時z=a-12+a+a22=7，解得：a=3或a=-5（舍去）。故選：B。

四、 綜合題型

除了前面三種題型，還有一些其他綜合性強(qiáng)、隱藏性高的題型，需要學(xué)生進(jìn)行抽絲剝繭才能轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃題型，再進(jìn)行解決。這類題是高中線性規(guī)劃里的難度較大的題，主要考查學(xué)生的觀察能力、發(fā)現(xiàn)問題的能力，以及考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等核心素養(yǎng)。

下面以2012年文科數(shù)學(xué)第5題為例進(jìn)行求解分析：

已知正三角形ABC的頂點(diǎn)A（1，1），B（1，3），頂點(diǎn)C在第一象限，若點(diǎn)（x，y）在△ABC內(nèi)部，則z=-x+y的取值范圍是（ ）

A. （1-3，2）

B. （0，2）

C. （3-1，2）

D. （0，1+3）

解：設(shè)C（a，b），a>0，b>0，則由題約束可畫出可行域如圖。由A（1，1）、B（1，3）及△ABC為正三角形可得AB=AC=BC=2，即

（a-1）2+（b-1）2=（a-1）2+（b-3）2=4，所以，b=2，a=1+3，即，C（1+3，2）則此時直線AB的方程x=1，AC的方程為y-1=33（x-1），直線BC的方程y-3=（3-2）

（x-1）當(dāng)直線x-y+z=0經(jīng)過點(diǎn)A（1，1）時，z=0，經(jīng)過點(diǎn)B（1，3），z=2，經(jīng)過點(diǎn)C（1+3，2）時z=1-3，所以，zmax=2，zmin=1-3，故選A。

在線性規(guī)劃題型的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，主要還是以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體。提高教師這一方面的意識，在課前、課中、課后三個階段同時注重對學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)。課堂的導(dǎo)入將現(xiàn)實(shí)問題與教材相結(jié)合、多開展一些活動課題等等都是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的途徑。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：羅丹丹，袁仕芳，蔡瑋，廣東省江門市，五邑大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院。