淺談行列式的計(jì)算方法

摘 要：行列式的計(jì)算方法很多，高階的行列式的計(jì)算難度較大。為了讓學(xué)生更好的掌握行列式的計(jì)算，本文在此對(duì)其計(jì)算方法進(jìn)行總結(jié)，通過實(shí)例，給出較全面的分析。

關(guān)鍵詞：行列式；對(duì)角線法則；三角形行列式；特殊行列式

在求解線性方程組和逆矩陣時(shí)，計(jì)算行列式是很有必要的。那么如何較好的計(jì)算行列式呢？筆者根據(jù)自己經(jīng)驗(yàn)，首先要觀察其結(jié)構(gòu)，然后根據(jù)其結(jié)構(gòu)選用相應(yīng)的計(jì)算方法計(jì)算。

一、行列式的定義

我們現(xiàn)在來給出n階行列式的定義。我們這里總是取一固定的數(shù)域P為基礎(chǔ)，所談到的數(shù)（或元素）都是指這個(gè)數(shù)域P中的數(shù)。同時(shí)根據(jù)需求給出一些概念，比如三角形行列式、代數(shù)余子式等。

定義1：設(shè)有n2個(gè)數(shù)，排成n行n列的數(shù)表，位于不同行不同列的n個(gè)數(shù)的乘積，并冠以符號(hào)[-1t]得到形如[-1ta1j1a2j2….anjn]的項(xiàng)，其中j1，j2，…，jn為自然數(shù)1，2，…，n的一個(gè)排列，t為這個(gè)排列的逆序數(shù)。這樣的排列共有n！項(xiàng)，所有這樣的項(xiàng)的代數(shù)和[-1ta1j1a2j2….anjn]，稱為n階行列式。記作：

[D=a11a12…a1na21a22…a2n????an1an2…ann]。

定義2：將行列式中非零元連線，其形狀像個(gè)“爪”字的行列式，稱為爪型行列式。形如：[a11a12a13a14a21a2200a310a330a4100a44]。

定義3：將行列式中非零元的連線，其形狀像個(gè)“么”字的行列式，稱為么型行列式。形如[00a13a140a22a230a31a3200a41a42a43a44]。

定義4：n階行列式中去掉元素[aij]所在行與列后，由剩下的所有元素按原來的位置組成的行列式稱為元素[aij]的余子式，記為[Mij].而[Aij=-1i+jMij]稱為元素[aij]的代數(shù)余子式。

二、行列式的計(jì)算

1.對(duì)角線法則

行列式的計(jì)算千變?nèi)f化，一般來說，對(duì)于2階和3階行列式可以采用對(duì)角線法則進(jìn)行計(jì)算。

例1：計(jì)算行列式[D3=2011-4-1-183]。

解：D3=2×（-4）×3+0×（-1）×（-1）+1×1×8-1×（-4）×（-1）-0×1×3-2×（-1）×8=-4。

2.n階行列式定義式遞歸法

對(duì)于4階及其以上的行列式，對(duì)角線法則不再適用。那么有什么其它的解決方法沒有呢？答案是肯定的，比如我們可以將行列式按第一行展開來計(jì)算。

例2：計(jì)算行列式[Dn=a110…0a21a22…0????an1an2…ann]。

解：

3.降階法

通過分析及上例我們不難發(fā)現(xiàn)，一般情況下，如果行列式的階數(shù)較大時(shí)，按這種遞歸方法來計(jì)算，計(jì)算量是很大的。但如果行列式的第一行有零元，那么我們就不用計(jì)算該零元相對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式，這就在一定程度簡(jiǎn)化了計(jì)算。既然如此，我們能不能盡量的簡(jiǎn)化計(jì)算，換言之就是讓某一行出現(xiàn)盡可能多的零元呢？答案是肯定的。通常情況下，我們可以利用行列式的性質(zhì)：將行列式某一行（列）的常數(shù)倍加到另外一行（列）上，行列式值不變，來將行列式中非零元轉(zhuǎn)化為零元。也就是說給出一個(gè)行列式，我們總可以將其某一行（列）化出盡可能多的零元，然后再利用行列式的性質(zhì)將該行列式按該行展開，從而將高階的行列式轉(zhuǎn)化為低階的行列式來計(jì)算。該方法稱為降階法。

例3：計(jì)算行列式：[D4=1201135001561234]。

解：

4.化三角形法

結(jié)合例2，我們不難發(fā)現(xiàn)三角形行列式有一個(gè)重要的結(jié)論，就是其值等于主對(duì)角線上元素的乘積。那么給出一個(gè)行列式，我們可以利用行列式的性質(zhì)將其化為三角形行列式，然后按照三角形行列式結(jié)構(gòu)給出其解，這種方法稱為化三角形法。對(duì)于例3我們按照化三角形法求解：

三、特殊行列式的計(jì)算

1.爪型行列式的計(jì)算

通常情況下，我們用爪型行列式非零元所連的斜線上的元素將豎線或橫線上除了第一個(gè)元素外的元素轉(zhuǎn)化為零元，然后根據(jù)三角形行列式的結(jié)構(gòu)給出其值。

例4：計(jì)算：[Dn=123…n220…0303…0?????n00…n]。

解：

2.么字行列式的計(jì)算

利用“么”字的一撇消去另一撇，就可以把行列式化為三角形行列式，下面我們結(jié)合例5來說明。

例5：計(jì)算[D4=0011021011001223]。

解：

參考文獻(xiàn)

[1]唐曉文，王昆侖，陳翠.線性代數(shù)[M].同濟(jì)大學(xué)出版社，2012.

[2]楊萬才.線性代數(shù)[M].科學(xué)出版社，2013.

[3]楊芳.淺析行列式的計(jì)算方法[J].南昌教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，26（01）.

[4]王玉華.淺談行列式的計(jì)算[J].臨滄師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2008，17（2）.

作者簡(jiǎn)介

賈會(huì)芳（1989—），女，河南平頂山人，理學(xué)碩士，長(zhǎng)期從事線性代數(shù)的教學(xué)工作，研究方向：非線性動(dòng)力學(xué)。