某些循環(huán)圖能量的下界

徐幼專(zhuān)，周后卿

(1.邵陽(yáng)廣播電視大學(xué)，湖南 邵陽(yáng) 422000；2.邵陽(yáng)學(xué)院 理學(xué)院，湖南 邵陽(yáng) 422000)

圖的能量來(lái)源于理論化學(xué).20世紀(jì) 70年代,著名數(shù)學(xué)化學(xué)家I.Gutman[1]提出了簡(jiǎn)單圖的能量的概念，將能量定義為圖的特征值的絕對(duì)值之和.化學(xué)家在研究共軛的碳?xì)浠衔锏男再|(zhì)時(shí),發(fā)現(xiàn)總π電能與共軛的碳?xì)浠衔镄纬蓵r(shí)所釋放的能量密切相關(guān)，而且它過(guò)去常常被用來(lái)計(jì)算共軛烴的共振能量,所得結(jié)果和其他較為先進(jìn)的方法所得到的結(jié)果一樣好.于是,我們經(jīng)常會(huì)用計(jì)算物質(zhì)的 總π-電子能量來(lái)得到它的能量.在理論化學(xué)中,六角系統(tǒng)作為苯環(huán)的自然表示是一個(gè)很重要的圖類(lèi),它的總π-電子能量是其化學(xué)構(gòu)造和其穩(wěn)定性的一個(gè)橋梁,并且在許多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用.因此對(duì)其拓?fù)湫再|(zhì)中總π-電子能量的研究,不但在理論上而且在實(shí)際中也具有重要意義.

π電能的計(jì)算最終歸結(jié)為其分子圖的所有特征值的絕對(duì)值之和[2-4].圖的能量與圖的特征值有關(guān)，即與圖譜有關(guān)，圖的譜理論與Huckel分子軌道理論之間存在明確的對(duì)應(yīng)關(guān)系,如圖的譜對(duì)應(yīng)于分子能級(jí),特征向量對(duì)應(yīng)于分子軌道等等.圖的能量問(wèn)題實(shí)際上是矩陣(鄰接矩陣，拉普拉斯矩陣，距離矩陣等等)的特征值問(wèn)題，而特征值問(wèn)題是矩陣?yán)碚摰囊粋€(gè)主要研究對(duì)象[5,6]，許多科學(xué)與工程問(wèn)題最終都轉(zhuǎn)化成特征值問(wèn)題來(lái)解決.因此，依據(jù)矩陣?yán)碚搧?lái)研究圖的能量是一個(gè)常用的研究方法.循環(huán)圖是一類(lèi)重要的圖，它具有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的特點(diǎn)，許多化學(xué)分子式就是具有6個(gè)頂點(diǎn)的循環(huán)圖的復(fù)制粘合疊加.

1　有關(guān)能量下界的一些結(jié)論

McCLELLAND[10]利用頂點(diǎn)、邊和行列式，證明了下列結(jié)論：

如果G是一個(gè)具有n頂點(diǎn)m條邊，鄰接矩陣為A的簡(jiǎn)單圖，則G的能量滿(mǎn)足

對(duì)于二部圖，GUTMAN[11]改寫(xiě)了上述下界，獲得了下列結(jié)果：

CAPOROSSI[12]等人發(fā)現(xiàn)了一個(gè)簡(jiǎn)單的下界，只與邊有關(guān)，他們證明了

DAS[13]等人改進(jìn)了文獻(xiàn)[10]的下界，他們推出了下列結(jié)論：

等式成立當(dāng)且僅當(dāng)G與完全圖Kn同構(gòu).

利用矩陣特征值，F(xiàn)ATH-TABAR[14]等人給出了下界：

MILOVANOVIC[15]等人獲得了下列結(jié)果：

DAS[16]等人在此基礎(chǔ)上有所改良，若|λ1|≥|λ2|≥…≥|λk|(kn)，他們證明了

本文研究循環(huán)圖能量的下界.

2　有關(guān)循環(huán)圖的背景

一個(gè)圖G稱(chēng)為循環(huán)圖,如果它的鄰接矩陣是一個(gè)循環(huán)矩陣,它是循環(huán)群上的Cayley 圖.

設(shè)循環(huán)圖G(n,S)的鄰接矩陣為

由于A(yíng)是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，因此A的特征值為實(shí)數(shù).從而在(1)式中有

所以,循環(huán)圖的特征值為

假設(shè)S={n1,n2,…,np}，ni∈{1,2,…,n-1},則G(n,S)是一個(gè)度為p的正則圖,因此在c0,c1,…,cn-1中，只有p個(gè)元素等于1，其余的均為0.顯然c0=0,從而有

(2.1)

其中,n1,n2,…,np分別表示它們?cè)诰仃囍兴幍牧袛?shù).

3　定理及證明

下面，我們證明本文的定理.

定理1若G(n,S)是一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)的3-循環(huán)圖(即3度循環(huán)圖)，則

證明假設(shè)G(n,S)是一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)，m條邊的3度循環(huán)圖.由3n=2m可知，n一定為偶數(shù)，S的形式一定為S={a,n/2,n-a}(1a

所以，

則 1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

證明假設(shè)G(n,S)是一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)，m條邊的4度循環(huán)圖.由4n=2m可知，n可為偶數(shù)也可為奇數(shù).由(2.1)可知，此時(shí)的循環(huán)圖的特征值為

顯然λ0=4.于是，我們可推出該循環(huán)圖的能量

1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

從而推出

2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

所以，

例如，取n=20,S={2,6,14,18}時(shí),對(duì)于循環(huán)圖G(20,S)，直接求得它的特征值譜為Sp(G)={42,18,-18,-42}.所求能量為E(G(20,S))=32.

用定理2來(lái)求，則有

顯然成立.

若取n=13,S={1,2,11，12}時(shí)，對(duì)于循環(huán)圖G(13,S)，直接求得它的特征值譜為Sp(G)={4,2.907 02,0.426 92,-0.170 92,-1.256 02,-1.700 82,-2.206 22}.所求能量為E(G(13,S))=21.335 6.

再利用定理2來(lái)求，

定理3若G(n,S)是一個(gè)頂點(diǎn)為n的r-循環(huán)圖,S={n1,n2,…,nr}，1n1<…

2)當(dāng)r為偶數(shù)時(shí)，

證明1)若r為奇數(shù),顯然頂點(diǎn)數(shù)n必為偶數(shù),則有

n1+nr=…=n(r-1)/2+n(r+3)/2=2n(r+1)/2=n

由(2.1)式有

于是，得到循環(huán)圖的能量為

2)若r為偶數(shù),n可為偶數(shù)也可為奇數(shù).因?yàn)閚1+nr=…=nr/2+n(r+2)/2=n，

從而，推出循環(huán)圖的能量為

于是，定理得到證明.

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