巧用旋轉(zhuǎn)變換解初中幾何問題

黃永新

[摘 要]探討巧用旋轉(zhuǎn)變換解初中幾何問題，能為當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考.

[關(guān)鍵詞]旋轉(zhuǎn)變換；初中數(shù)學(xué)；幾何問題

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 16746058（2018）02002602

初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中指出，學(xué)生可以通過實(shí)際存在的物體形狀想象幾何的圖形，再由幾何圖形想象出實(shí)際物體的形象，這就是初中幾何知識(shí)學(xué)習(xí)中學(xué)生必備的能力.初中幾何涉及圖形變換的內(nèi)容包括平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn).長(zhǎng)期以來的教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)幾何知識(shí)學(xué)習(xí)效果并不好，很多學(xué)生的知識(shí)運(yùn)用能力、獨(dú)立解題的能力相對(duì)較差.本文主要探討巧用旋轉(zhuǎn)變換解初中幾何問題.

一、旋轉(zhuǎn)變換的概念

若從平面到其自身的一個(gè)映射，并確保其中的一個(gè)定點(diǎn)保持不變，即對(duì)于任一點(diǎn)P映射到點(diǎn)P′，那么OP與OP′相等，∠POP′=θ，再?gòu)纳渚€OP到OP′方向和給定的方向相同，這個(gè)映射也就是繞中心O，根據(jù)已知方向?qū)Ζ冗M(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換.如圖1所示，那么O就是旋轉(zhuǎn)的中心，θ就是旋轉(zhuǎn)角.這個(gè)旋轉(zhuǎn)變換的過程可記為R（O，θ）.如果旋轉(zhuǎn)角以180°為中心進(jìn)行對(duì)稱變換，那么旋轉(zhuǎn)中心也就是對(duì)稱中心.

二、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)

在初中數(shù)學(xué)的幾何知識(shí)中，旋轉(zhuǎn)變換的內(nèi)容包括四點(diǎn)性質(zhì)：（1）一個(gè)圖形與這個(gè)圖形在旋轉(zhuǎn)變換后得出的新圖形全等；（2）如果旋轉(zhuǎn)中心相同，連著進(jìn)行兩次旋轉(zhuǎn)變換，那么依舊只是一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換，可用R（O，θ1）·R（O，θ2）=R（O，θ1+θ2）表示.對(duì)一個(gè)圖形取點(diǎn)O作為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)θ1，在保持O的旋轉(zhuǎn)中心不變的基礎(chǔ)上再旋轉(zhuǎn)θ2，那么得出來的圖形也就是原圖形以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)θ=θ1+θ2而得到的圖形；（3）旋轉(zhuǎn)變換的逆變換為旋轉(zhuǎn)變換，用公式表示為R（O，θ）=R（O，-θ），通過一個(gè)圖形將O作為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)θ，如果要讓這個(gè)圖形再次回到原有的位置，那么還需要以O(shè)作為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)-θ并經(jīng)過變換才能實(shí)現(xiàn)；（4）非恒等變換的R（O，θ）沒有二重線，但有明確的二重點(diǎn)，也就是旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)，如果將△ABC這個(gè)圖形將C作為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)θ變成△A′B′C，觀察這個(gè)新的三角形不難發(fā)現(xiàn)，其中的直線位置都發(fā)生了一定的變化，但是重合點(diǎn)卻為C點(diǎn)，而這個(gè)點(diǎn)正是旋轉(zhuǎn)中心.

三、巧用旋轉(zhuǎn)變換解初中幾何問題

1.利用旋轉(zhuǎn)變換解決等邊三角形的問題

【例1】 如圖2，已知P是等邊三角形ABC中的一點(diǎn)，PB=2，PC=1，AP=5，那么∠BPC大小為多少？

分析：由圖2可知，圖中的已知線段PA、PC、PB都不在同一個(gè)圖形中，很多學(xué)生讀題過程中不容易發(fā)現(xiàn)解題的思路與方法.在這種情況下，如果進(jìn)行圖形重組，讓已知線段都能在一個(gè)三角形內(nèi)，那么問題的思考也就更簡(jiǎn)單.從已知條件可知，三角形全等，存在三個(gè)60°的內(nèi)角，所以可以通過旋轉(zhuǎn)角為60°的圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)圖形為三角形PP′C和2、1、5為邊長(zhǎng)的特殊三角形，得到結(jié)論是∠BPC為∠AP′P與60°的和，于是利用勾股定理逆定理可得出∠AP′P為90°，于是就能求解出∠BPC的大小.

解答：將△BPC以點(diǎn)C為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得出△AP′C，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CP=CP′，∠PCP′=60°.那么△PP′C就是等邊三角形，而∠CP′P=60°.因?yàn)镻B=2，PC=1，AP=5，因此AP′=2，而P′C=1，又因?yàn)?2+12=（5）2，所以可以推算出∠AP′P=90°，即∠AP′C=90°+60°=150°，所以根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得出∠BPC=∠AP′C=150°的結(jié)論.

2.利用旋轉(zhuǎn)變換解決直角三角形的旋轉(zhuǎn)問題

【例2】 如圖3，P是正方形ABCD中的一個(gè)點(diǎn)，∠BPA為135°，AP=3，BP=5，那么PC的長(zhǎng)為多少？

分析：這題的解題方向與上題比較相似，根據(jù)題意可以得出AB=BC=CD=DA的結(jié)論.而正方形的內(nèi)角都為90°，所以可以通過變換組成PA、PB、PC三邊的三角形，而旋轉(zhuǎn)的角度為90°.

解答：根據(jù)題意，將△BPP′以點(diǎn)B沿著順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得出△AP′B，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知BP=BP′，∠PBP′=90°，P′A=PC，那么△BPP′就是等腰直角三角形，而∠BP′P和∠PP′B相等，均為45°，因?yàn)椤螦PB=135°，∠P′PB=45°，所以∠APP′=90°，又由于AP=3，BP=BP′=5，那么PP′=52，于是PC=P′A=32+（52）2

=59.上述解題方法，主要是通過旋轉(zhuǎn)△BPC，使相關(guān)線段組成兩個(gè)直角三角形，其中一個(gè)為等腰三角形而得出最后的解.

3.利用旋轉(zhuǎn)求解不等關(guān)系的問題

【例3】 如圖4，已知△ABC是正三角形，在三角形中任意取一點(diǎn)O，要求證明OA≤OB+OC.

分析：這題由OA≤OB+OC可以聯(lián)想到“三角形兩邊之和大于第三邊”的規(guī)律，此外從圖形來看，需要證明的三條邊都相對(duì)分散，肉眼不容易看出關(guān)系，那么同樣要想辦法將這三條邊放在一個(gè)三角形當(dāng)中，通過變換來得出結(jié)論.根據(jù)題意可以利用旋轉(zhuǎn)變換將△BOC以B作為旋轉(zhuǎn)中心，將其旋轉(zhuǎn)到△BO′C的位置，從而確保三條邊都能在同一個(gè)圖形當(dāng)中.

此題型和例1的解答較為相似，具體的解答過程不做過多討論.從中可以結(jié)合如“兩邊之和大于第三邊”的三邊關(guān)系展開聯(lián)想，由此來證實(shí)題目的解題結(jié)果.另外，還要看清題目給出的較為分散的條件，采用幾何變換不改變大小的規(guī)律將這些分散的條件集中進(jìn)行探討，再?gòu)闹袑で笙嚓P(guān)邊長(zhǎng)和角度之間的關(guān)系，就更容易厘清題目的含義，盡快找到解題思路.

4.利用旋轉(zhuǎn)在四邊形中求邊或角的大小

【例4】 如圖5，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠BAC=90°，AB=AD，如果四邊形ABCD面積是24cm2，那么AC邊長(zhǎng)是多少？

分析：這個(gè)題型與例2也有相似之處，題目中給出了不規(guī)則四邊形ABCD的面積，求出一條邊的邊長(zhǎng)，那么就可以從面積的幾何知識(shí)入手，將不規(guī)則四邊形ABCD轉(zhuǎn)變成為規(guī)則的圖形，結(jié)合題目中給出的AB=AD條件，推斷采用旋轉(zhuǎn)變換將四邊形改變?yōu)橐粋€(gè)規(guī)則圖形一邊利用面積的條件.

解答：如圖5所示，將△ADC旋轉(zhuǎn)90°變?yōu)椤鰽BC′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AC=AC′，S△ADC=S△AC′B，所以SABCD=S△ACC′=24（cm2），那么△ACC′是等腰直角三角形，過點(diǎn)A作出△ACC′的高AE，那么AE為CC′/2也就是EC，所以S△ACC′=AE·CC′/2=AE2=24，那么AC2=AE2+EC2=2AE2=48，即AC=43.

上述題型求解不規(guī)則圖形面積的方法通常是將其分為若干個(gè)規(guī)則的圖形再分別對(duì)具體的面積進(jìn)行計(jì)算和相加或是將大的規(guī)則圖形面積減去小的規(guī)則圖形面積得出最后的解.還有就是利用旋轉(zhuǎn)、變換或平移的方法將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)變成為規(guī)則圖形更方便計(jì)算.

5.利用旋轉(zhuǎn)證明相等關(guān)系

【例5】 如圖6，在圓O中，AB為直徑、CD是弦，過A、B兩點(diǎn)分別作CD垂線交于E、F兩點(diǎn)，求證OE=OF.

分析：從圖6可知，OE與OF沒有直接的聯(lián)系，那么就要聯(lián)想到采用幾何變換的方式將分散的條件集中起來.因?yàn)镺A=OB，所以可以將△OEA以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)為△OGB，就可以證明OG=OF.

解答：因?yàn)锳E與CD垂直，BF與CD垂直，那么AE就與BF平行，且OA與OB相等，所以將△OEA變換為△OGB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得OE=OG，OF=BG/2=OG=OE，那么OE=OF.

這個(gè)解答的過程中涉及的是邊和邊關(guān)系的問題，通常情況下題目給出的都是分散的條件，這就必須應(yīng)用到幾何變換保持形狀大小不變的性質(zhì)將圖形做整合，將這些分散的條件集中起來才能讓它們之間的關(guān)系一目了然，再結(jié)合題目中已有的條件，就能清楚具體的變換方法，從而證明結(jié)論.

旋轉(zhuǎn)變換的思想在初中數(shù)學(xué)幾何問題中廣泛存在，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的多向性特點(diǎn)，這也是幾何教學(xué)中教師與學(xué)生都必須明確的學(xué)習(xí)規(guī)律.教師在日常教學(xué)工作中要注意培養(yǎng)學(xué)生旋轉(zhuǎn)變化的意識(shí)，使學(xué)生具備快速的反應(yīng)能力，從而有效降低初中數(shù)學(xué)幾何問題的教學(xué)難度，也讓學(xué)生逐漸發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的規(guī)律，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效率.

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1]冼詞學(xué).初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的圖形旋轉(zhuǎn)變換問題[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，2015，11（1）.

[2]劉清泉.旋轉(zhuǎn)變換與解題、幾何證題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2014，2（5）.

[3]吳永照.運(yùn)用旋轉(zhuǎn)應(yīng)用法解答幾何問題[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，2012，2（7）.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）