函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究

鄭州市第七中學(xué) 河南鄭州 450000

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容之一，因此，在數(shù)學(xué)解題的過程中，函數(shù)思想有著較為廣泛的應(yīng)用。其中，函數(shù)思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用主要集中在對函數(shù)性質(zhì)的分析，如奇偶性、單調(diào)性等，通過利用函數(shù)的這些性質(zhì)，使題目的難度下降，解題效率也有著一定程度的提高[1]。因此，我們高中生應(yīng)加強(qiáng)函數(shù)思想的培養(yǎng)，從而更好地應(yīng)對各種類型的數(shù)學(xué)題目，促進(jìn)個人數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的提升。

1 函數(shù)思想在不等式解題中的應(yīng)用

不等式是方程的一種特殊形式，因此，不等式也就具有了普通方程的特性，我們在不等式解題剛才中，也就能夠使用到函數(shù)思想。并且，利用函數(shù)思想解不等式可以實(shí)現(xiàn)解題效率的提高，促進(jìn)不等式解題方法的多元化。

例1不等式x-2+x-5＜a有解，求此時a的取值范圍。

解析：題目所給出的不等式雖然簡單，但是，由于絕對值的存在，導(dǎo)致我們在實(shí)際分析的過程中所要考慮的情況也就更加復(fù)雜，然而，如果利用函數(shù)思想來進(jìn)行解題，并結(jié)合數(shù)形轉(zhuǎn)化的方式，則能夠?qū)崿F(xiàn)解題效率的提高。

圖1

2 函數(shù)思想在數(shù)列解題中的應(yīng)用

在高中諸多知識點(diǎn)的考察過程中，數(shù)列的解題思路更加多元化，并且，由于數(shù)列相關(guān)題目的變式較多，因此，我們在選擇解題方法時應(yīng)當(dāng)更加謹(jǐn)慎，否則，將導(dǎo)致實(shí)際解題過程的難度增加。其中，函數(shù)思想是數(shù)列解題過程中常用的一種思想，在求數(shù)列通項(xiàng)公式等計算中可以實(shí)現(xiàn)解題效率的提高。

例2數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，其中，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，同時存在一個公比為q的等比數(shù)列bn，且在數(shù)列an與bn中存在以下關(guān)系：a1=b1b2=2其中，公差d與公比q相等，且S10=100。求數(shù)列an、bn的通項(xiàng)公式。

解析：由于已經(jīng)明確了數(shù)列an、bn的前兩項(xiàng)關(guān)系，且等差數(shù)列與等比數(shù)列的公差d與等比數(shù)列的公比q相等，利用S10=100即可求出數(shù)列an、bn的通項(xiàng)公式。

解：根據(jù)題目中的已知條件，可以得到以下方程組：10a1+45d=100a1d=2

由此可以得出以下兩個答案：a1=1d=2或a1=9d=29

根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式定義可知，等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn的通項(xiàng)公式對應(yīng)如下：an=2n-1bn=2n-1或an=192n+79bn=929n-1

3 角函數(shù)在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

對于一些較為特殊的題目來說，常規(guī)函數(shù)思想的適用性較低，在某些情況下，需要研究其中的角度關(guān)系，并以此作為解題的突破口。

例3如果方程loga（x-ka）=loga（x2-a2）在定義域范圍內(nèi)有解，且a＞0，a≠1，如此，求滿足方程有解的k的值域。

解析：對于此類題目，常規(guī)方法是將原等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而對其中k的取值范圍進(jìn)行研究。然而，對于大多數(shù)高中生來說，這種解題方法過于復(fù)雜，且在對k的取值范圍討論時容易存在著疏漏。利用函數(shù)思想中的角函數(shù)輔助解題，能夠使解題效率大大提高，且準(zhǔn)確度也能夠得到保證[2]。

解：對原方程變形后可得：x-ka2=x2-a2，x＞a

由此可以得出k=xa-xa2-1。

設(shè)x=acosα，則k=cosα-cosα，其中-π/2＜α＜0且0＜α＜π/2

由α的取值范圍不同，可以得到不同的k值，具體如下：

當(dāng)-π/2＜α＜0時，k＜-1；

當(dāng)0＜α＜π/2時，0＜k＜1。

4 結(jié)語

由以上幾個例題可以看出，函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用范圍較為廣泛，且應(yīng)用方式也較為靈活，通過分析題目中已知條件的關(guān)系，將題目的求解過程轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而可使解題難度大大降低。然而，這里需要注意的是，函數(shù)思想的應(yīng)用要明確函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性等相關(guān)的約束條件，否則，將導(dǎo)致最終答案與真實(shí)值之間存在著偏差[3]。