準(zhǔn)變量思維：學(xué)生代數(shù)思維的符號(hào)啟蒙

許旭紅

摘 要：作為“算術(shù)思維”和“代數(shù)思維”的中介，“準(zhǔn)變量思維”能夠?qū)W(xué)生進(jìn)行積極的符號(hào)啟蒙。教學(xué)中，教師要展開(kāi)符號(hào)孕育、符號(hào)播種、符號(hào)創(chuàng)造，激活學(xué)生準(zhǔn)變量思維的生發(fā)點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)和生成點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；準(zhǔn)變量思維；代數(shù)素養(yǎng)

作為算術(shù)思維和代數(shù)思維的中介，“準(zhǔn)變量思維”是學(xué)生跨越“算術(shù)思維”與“代數(shù)思維”的橋梁和紐帶。“算術(shù)思維”是一種程序性思維；“代數(shù)思維”是一種關(guān)系性思維。小學(xué)數(shù)學(xué)更傾向于算術(shù)思維，初中數(shù)學(xué)更傾向于代數(shù)思維。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)培育學(xué)生的“準(zhǔn)變量思維”，促進(jìn)學(xué)生從“算術(shù)思維”向“代數(shù)思維”的有效聯(lián)結(jié)與過(guò)渡。教師應(yīng)充分發(fā)掘小學(xué)數(shù)學(xué)中的代數(shù)特性，激活符號(hào)的生長(zhǎng)因子，精心呵護(hù)、扶植學(xué)生的“準(zhǔn)變量思維”。

一、符號(hào)孕育，激活“準(zhǔn)變量思維”的生發(fā)點(diǎn)

“準(zhǔn)變量思維”是學(xué)生代數(shù)思維發(fā)展的“最近發(fā)展區(qū)”，它的對(duì)象是“準(zhǔn)變量表達(dá)式”“準(zhǔn)代數(shù)關(guān)系或結(jié)構(gòu)”和“準(zhǔn)符號(hào)化表述”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要積極發(fā)掘培育學(xué)生“準(zhǔn)變量思維”的載體，可以從教材中發(fā)掘，可以從生活中發(fā)掘。教師要引導(dǎo)學(xué)生善于運(yùn)用 “代數(shù)的耳朵與眼睛”來(lái)思考算術(shù)及其問(wèn)題，積極挖掘蘊(yùn)含其中的“代數(shù)思維的萌芽”。

例如，教學(xué)“十幾減9”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)下冊(cè)），在學(xué)生運(yùn)用多種方法探究了“算法”（如“破十法”“平十法”“算減想加法”等）后，筆者并沒(méi)有就此止步，而是重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行算法優(yōu)化。學(xué)生體驗(yàn)到“破十法”易于理解、“平十法”非常巧妙、“算減想加法”非?？旖?。如在教學(xué)“平十法”（計(jì)算：13-9）時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)字、分析數(shù)字，關(guān)注數(shù)字之間的關(guān)系?！?可以分成幾和幾呢？”學(xué)生很快說(shuō)出了“9的分與合”?！盀槭裁?可以進(jìn)行這么多的分與合，但我們偏偏將9分成‘3+6呢？”此時(shí)，學(xué)生已經(jīng)開(kāi)始從結(jié)構(gòu)上、關(guān)系上關(guān)注數(shù)字之間的關(guān)系。有學(xué)生說(shuō)，因?yàn)?3個(gè)位上的數(shù)字是3，所以要將9分成3+6。筆者適時(shí)追問(wèn)：“14減9呢？15減9呢？16減9呢？”“平十是什么意思？”由此，學(xué)生深度理解了“13-9=13-3-6=10-6=4”。在這種關(guān)系啟蒙中，有學(xué)生生發(fā)出了這樣的算法：老師，我想是不是還可以這樣算，13減9相當(dāng)于14減10；14減9相當(dāng)于15減10；15減9相當(dāng)于16減10；……在深度交流中，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，減數(shù)加幾，被減數(shù)就加幾，差就不變；有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，減少要湊成10，只有這樣才方便計(jì)算；有學(xué)生說(shuō)，被減數(shù)加幾，減數(shù)就加幾，前面加的數(shù)和后面加的數(shù)相減等于0，所以差不變；……應(yīng)該說(shuō)，學(xué)生在探究、交流的過(guò)程中形成了對(duì)減法運(yùn)算的本質(zhì)理解，同時(shí)發(fā)展了他們的準(zhǔn)變量思維。

所謂“符號(hào)意識(shí)”，是指一種主動(dòng)使用符號(hào)的心理傾向。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生研究符號(hào)形成的發(fā)生機(jī)制，讓學(xué)生理解符號(hào)。從“等于號(hào)”開(kāi)始，滲透符號(hào)的使用規(guī)則和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。為學(xué)生理解符號(hào)、科學(xué)地運(yùn)用符號(hào)做好積極的準(zhǔn)備。要積極發(fā)掘教學(xué)資源，激活學(xué)生“準(zhǔn)變量思維”的生發(fā)因子，捕捉學(xué)生數(shù)學(xué)思考過(guò)程中的“代數(shù)思維的萌芽”。學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展是由低級(jí)向高級(jí)逐步演變的過(guò)程，盡管不存在絕對(duì)的“線(xiàn)性關(guān)系”，但教師既可以展現(xiàn)數(shù)學(xué)中的“算術(shù)程序或步驟”，又可以展現(xiàn)“代數(shù)關(guān)系或結(jié)構(gòu)”。

二、符號(hào)播種，培育“準(zhǔn)變量思維”的生長(zhǎng)點(diǎn)

英國(guó)著名數(shù)理邏輯學(xué)家羅素說(shuō)：“什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯?！钡拇_，作為數(shù)學(xué)的代數(shù)學(xué)，一個(gè)明顯的標(biāo)志就是數(shù)學(xué)符號(hào)化。教學(xué)中，教師要播種符號(hào)的種子，激活學(xué)生“準(zhǔn)變量思維”的生長(zhǎng)因子。學(xué)生符號(hào)意識(shí)的生成不是一蹴而就的，而是一個(gè)循序漸進(jìn)的、緩慢的生長(zhǎng)過(guò)程，必須經(jīng)歷從“表象認(rèn)識(shí)”到“符號(hào)表征”再到“符號(hào)化”的過(guò)程，這是一個(gè)符號(hào)萌芽、開(kāi)花、結(jié)果的過(guò)程，教師要引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確切入符號(hào)的生成點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)和生發(fā)點(diǎn)。

例如，教學(xué)《間隔排列》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材三年級(jí)上冊(cè)），首先出示主題圖，引導(dǎo)學(xué)生用語(yǔ)言表達(dá)“兔子蘑菇”“夾子手帕”“木樁籬笆”之間的關(guān)系，學(xué)生紛紛用自己的語(yǔ)言表述自己的發(fā)現(xiàn)。如有學(xué)生說(shuō)，兔子和蘑菇是一個(gè)隔著一個(gè)排列的；有學(xué)生說(shuō)，兔子比蘑菇的個(gè)數(shù)多一個(gè)；還有學(xué)生說(shuō)，這些排列的規(guī)律是一樣的；……應(yīng)該說(shuō)，學(xué)生的表述既有對(duì)單一間隔現(xiàn)象的表述，也有對(duì)整體間隔現(xiàn)象的表述；既有對(duì)事物的真實(shí)描述，也有對(duì)事物之間關(guān)系的表述。如何讓學(xué)生的文字語(yǔ)言升華為圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言？如何讓學(xué)生經(jīng)歷“形象（主題圖）——表象（文字、圖形表述）——抽象（符號(hào)表述）的符號(hào)化全過(guò)程？教學(xué)中，筆者首先引導(dǎo)學(xué)生用字母表示現(xiàn)象，建構(gòu)“代數(shù)雛形”。當(dāng)學(xué)生抽象出“ABAB……A”后，筆者給學(xué)生多搭一級(jí)臺(tái)階，“A和B之間有著怎樣的關(guān)系呢？”學(xué)生一開(kāi)始還是如文字表述的那樣，“A比B多一個(gè)，B比A少一個(gè)”等。“如何更簡(jiǎn)潔地表示它們之間的關(guān)系呢？”“A和什么相等呢？”在筆者的啟發(fā)下，學(xué)生逐漸進(jìn)行符號(hào)轉(zhuǎn)換，建構(gòu)出等式：A=B+1，B=A-1。在這種逐步符號(hào)化的過(guò)程中，學(xué)生獲得了更多的代數(shù)體驗(yàn)和感悟。

著名語(yǔ)言學(xué)家皮埃爾·吉羅說(shuō)：“我們生活在符號(hào)的世界之中?！倍商m著名數(shù)學(xué)家弗賴(lài)登塔爾也曾這樣說(shuō)，“與其說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，毋寧說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化；與其說(shuō)是學(xué)習(xí)公理，毋寧說(shuō)是學(xué)習(xí)公理化；與其說(shuō)是學(xué)習(xí)形式，毋寧說(shuō)是學(xué)習(xí)形式化”。讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)符號(hào)的萌芽、生長(zhǎng)、發(fā)育過(guò)程，能夠幫助學(xué)生完成從“算術(shù)思維”向“代數(shù)思維”的過(guò)渡。如此，學(xué)生能夠用“代數(shù)的眼睛”看待社會(huì)生活現(xiàn)象或者數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠用“代數(shù)的大腦”思考問(wèn)題，能夠用“代數(shù)的語(yǔ)言”交流、表達(dá)問(wèn)題。

三、符號(hào)創(chuàng)造，形成“準(zhǔn)變量思維”的生成點(diǎn)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，“符號(hào)的使用是學(xué)生表達(dá)數(shù)學(xué)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)學(xué)問(wèn)題、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題；在問(wèn)題解決中形成學(xué)生的“準(zhǔn)變量思維”；在符號(hào)的生成、模塑和被使用中，學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)的方式把握數(shù)量關(guān)系，甚至能夠建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

例如，在小學(xué)低年級(jí)學(xué)段，學(xué)生常常遭遇“等量代換”“天平平衡”等問(wèn)題，這一類(lèi)問(wèn)題是培育學(xué)生準(zhǔn)變量思維的絕佳載體。如“2頭牛相當(dāng)于6只豬的質(zhì)量；1只豬相當(dāng)于3只羊的質(zhì)量；1頭牛相當(dāng)于幾只羊的質(zhì)量？”對(duì)于低年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助“天平”來(lái)思考，因?yàn)橛锰炱絹?lái)思考是直觀(guān)的，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)問(wèn)題感性化。教師也可以引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出“示意圖”，借助示意圖助推學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。教師還可以讓學(xué)生自主創(chuàng)造符號(hào)，表征牛、豬、羊之間的關(guān)系。這樣，將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)約化，便于學(xué)生的問(wèn)題解決。如有學(xué)生用☆代表牛，用△代表豬，用○代表羊。于是，錯(cuò)綜復(fù)雜的題目變得一目了然：2☆=6△，1△=3○，即1☆=3△，1△=3○，所以1☆=9○。學(xué)生創(chuàng)造的符號(hào)富有童趣，能夠幫助其進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，還能幫助其簡(jiǎn)單地觀(guān)察、分析、推理。這種對(duì)課程資源的開(kāi)掘，能夠形成學(xué)生“準(zhǔn)變量思維”的生成點(diǎn)，這對(duì)形成學(xué)生的符號(hào)化思維十分有益。

再比如，在學(xué)生初步比較數(shù)的大小時(shí)，教師不應(yīng)采用“告訴”的方式向?qū)W生介紹符號(hào)，而應(yīng)讓學(xué)生主動(dòng)創(chuàng)造符號(hào)。只有這樣，學(xué)生才能理解“>”“<”中的開(kāi)口含義、方向含義，才能理解“=”所表示的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，滲透數(shù)學(xué)的對(duì)應(yīng)思想，幫助學(xué)生建立“同樣多”“比誰(shuí)多”“比誰(shuí)少”的意識(shí)。以學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，讓學(xué)生創(chuàng)生符號(hào)，能夠讓學(xué)生初步感受到符號(hào)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的價(jià)值，感受到數(shù)學(xué)符號(hào)的優(yōu)越性及其意義。

數(shù)學(xué)學(xué)科的特質(zhì)就是形式化、符號(hào)化，每一個(gè)概念或關(guān)系都有確定的符號(hào)表示。對(duì)學(xué)生早期的準(zhǔn)變量意識(shí)的啟蒙，有助于學(xué)生跨越算術(shù)思維與代數(shù)思維之間的鴻溝，有助于彌合算術(shù)、代數(shù)之間的人為割裂，促進(jìn)算術(shù)數(shù)學(xué)與代數(shù)數(shù)學(xué)的自然銜接。很多時(shí)候，一個(gè)問(wèn)題的解決既可以借助算術(shù)，也可以借助代數(shù)。對(duì)算術(shù)中隱含的代數(shù)關(guān)系、結(jié)構(gòu)的識(shí)別、運(yùn)用與創(chuàng)造，既是一門(mén)科學(xué)，也是一門(mén)藝術(shù)。

德國(guó)著名數(shù)學(xué)家萊布尼茨說(shuō)：“符號(hào)的巧妙和符號(hào)的藝術(shù)，是人們絕妙的助手，因?yàn)樗鼈兪顾伎脊ぷ鞯玫焦?jié)約。在這里它以驚人的形式節(jié)省了思維?！迸囵B(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維需要早期孕伏，需要“準(zhǔn)變量思維”的積極啟蒙。作為教師，應(yīng)當(dāng)積極捕捉恰當(dāng)?shù)膬?nèi)容，尋找恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)，選擇恰當(dāng)?shù)姆绞秸归_(kāi)。同時(shí)，教學(xué)應(yīng)當(dāng)盡可能貼合學(xué)生的實(shí)際，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)行耐心、細(xì)致和持久的指導(dǎo)，讓學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)符號(hào)、表達(dá)數(shù)學(xué)符號(hào)、運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)符號(hào)！