通訊電子技術(shù)中數(shù)學(xué)微積分原理應(yīng)用的幾點探討

薛聞

摘要：數(shù)學(xué)原理目前在多領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用。作為一種基礎(chǔ)，學(xué)科理論，高等數(shù)學(xué)中微分與積分原理應(yīng)用的最為廣泛。同時微分與積分原理也是最具備實際價值的高等數(shù)學(xué)科目，在不同的自然學(xué)科中微分與積分原理都有涉及。甚至成為其他學(xué)科的基礎(chǔ)研究工具。通訊電子技術(shù)中，關(guān)于數(shù)學(xué)中微積分原理的應(yīng)用最突出，不管是通信原理還是離散傅里葉變換等，都離不開高等數(shù)學(xué)中微積分原理的基礎(chǔ)。本文將進(jìn)一步通過對整個高等數(shù)學(xué)中微積分原理進(jìn)行系統(tǒng)的理論分析。從而進(jìn)一步加深，對電子信息技術(shù)語中高等數(shù)學(xué)微積分原理的應(yīng)用進(jìn)行深入地探究。同時對微積分原理在通訊信號增強(qiáng)，圖像傳輸及圖像信號增增強(qiáng)等應(yīng)用中的一些分析。

關(guān)鍵詞：電子通信技術(shù);數(shù)學(xué)原理;微分;積分

中圖分類號：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3044（2020）27-0217-03

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識碼（OSID）：

伴隨著科技的持續(xù)進(jìn)步，計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展。通訊電子技術(shù)作為一門應(yīng)用技術(shù)，在此基礎(chǔ)上也取得了重大的突破。通信技術(shù)在科技的推動下，以電子計算機(jī)為主導(dǎo)的相關(guān)技術(shù)支撐下得到了空前的發(fā)展。從3G技術(shù)到現(xiàn)在，被廣泛應(yīng)用的5G技術(shù)。給社會的發(fā)展帶來了持續(xù)的動力。通信電子技術(shù)作為一門應(yīng)用技術(shù)：其主要支撐是物理學(xué)以及數(shù)學(xué)。尤其是高等數(shù)學(xué)中的微積分理論，在通信技術(shù)中起到了舉足輕重的作用，比如通信原理中的抽樣定理，比如通信技術(shù)中離散傅立葉變換，以及數(shù)字電子技術(shù)當(dāng)中的信息源碼理論等等。這些理論實現(xiàn)的基礎(chǔ)都源自數(shù)學(xué)中，微積分原理。總之在高等數(shù)學(xué)當(dāng)中微積分原理，支撐了通信技術(shù)的半壁江山。因此本文將以通信技術(shù)中高等數(shù)學(xué)微積分原理的應(yīng)用作為切人點，進(jìn)行深入的探討與研究。

1 數(shù)學(xué)微分與積分原理

首先科學(xué)理論研究作為出發(fā)點。高等數(shù)學(xué)原理中微分和積分理論研究是整個經(jīng)典數(shù)學(xué)理論研究當(dāng)中非常重要的一部分。是推動高等數(shù)學(xué)深入探索以及分析不可或缺的重要一環(huán)。

其次在為數(shù)眾多的高等數(shù)學(xué)模型當(dāng)中。絕大多數(shù)高等數(shù)學(xué)原理來自微積分原理。從整個概念上來講，微分和積分是相對立的存在。因此在針對高等數(shù)學(xué)原理中微分和積分的分析與比較過程中需要從相對的角度進(jìn)行深入的研究與探索。這樣在研究過程中，就加深了對二者概念的區(qū)別以及了解二者的關(guān)系。

1.1微分原理

微分原理在高等數(shù)學(xué)研究當(dāng)中，是對一個函數(shù)的整體的描述，是對于一個函數(shù)的整體平滑性的評判。再對一個函數(shù)進(jìn)行微分原理處理過程當(dāng)中，通過不斷地縮小自變量來描述函數(shù)的變化過程。一般情況下會將自變量控制成為無限小。進(jìn)而描述函數(shù)變量的變化情況。從而探索函數(shù)整體的平滑性。

1.2積分原理

積分原理在高等數(shù)學(xué)研究當(dāng)中，是對高等數(shù)學(xué)微分研究的一個逆向過程。或者說是微分的一元運算。在對其數(shù)學(xué)原理的研究過程中逆向推導(dǎo)。其主要應(yīng)用于求和運算。大多情況下微分和積分是同時應(yīng)用的。先通過微分對自變量進(jìn)行無限小的分割，從而得到一個固定的值。通過求和運算例如阿基米德夾逼定理。從而得到一個不規(guī)則函數(shù)的值域。微積分是一整套關(guān)于變化率的理論，它使得函數(shù)的斜率能用一整套通用的符號進(jìn)行討論。

2 通訊電子技術(shù)中微分與積分原理的應(yīng)用

電子通信技術(shù)，在目前發(fā)展情況來看。無論是軍事醫(yī)療教育百姓生活其應(yīng)用都非常廣泛。其發(fā)展與迭代也是非常迅速的。這樣我們有必要對電子通信技術(shù)中的定理和理論進(jìn)行深入的探討研究。這樣不僅有利于促進(jìn)及推動其發(fā)展。那些定理或理論能夠使電子通信技術(shù)得到質(zhì)的飛躍。不論是在經(jīng)濟(jì)社會的發(fā)展，基礎(chǔ)設(shè)施的建設(shè)，以及國防力量的建設(shè)都起到了十分重要的作用。

2.1 微積分原理在抽樣操作中的應(yīng)用

微積分?jǐn)?shù)學(xué)原理，在整個抽樣操作過程中的應(yīng)用：首先我們必須明確一點.所謂的抽樣操作或者說抽樣原理的概念和定義。在通信工程技術(shù)當(dāng)中，抽樣理論可以說占有舉足輕重的作用。在理論研究方面，我們完全可以這樣理解：抽樣原理是通信工程技術(shù)研究的根基所在，是通信工程的基礎(chǔ)理論。之所以這樣講是有重要的理論依據(jù)。例如從概念上來講，在通信技術(shù)工程中抽樣操作就是在一段連續(xù)的時間a的信號，再對其進(jìn)行研究過程中通過一個特定的時間間隔b對連續(xù)的信號進(jìn)行不斷的抽樣，從而獲取相關(guān)的祥值。從理論上來講，這就完成了一次科學(xué)意義上的抽樣過程。在這一活動過程中就完成了模擬信號數(shù)字化。

我們通過此抽樣研究操作：也就是在特定時間上等間隔抽樣，或者說離散抽樣。在通信工程技術(shù)過程中對于抽樣的連續(xù)性是有極高要求的同時，對于抽樣信號最高頻率也是有相關(guān)要求的。在研究過程當(dāng)中通常的做法是我們首先假設(shè)：在本次抽樣過程中獲取到的最高頻率為函數(shù)f（m）.那么如果在一系列的抽樣過程當(dāng)中，某一整個時間段內(nèi)的抽樣結(jié)果滿足如下條件及T<=1/2fm。那么在對其進(jìn)行研究時，我們就可以通過這樣一個函數(shù)對這個抽樣信號進(jìn)行一個唯一的量化表示。

通過以上假設(shè)，我們不難發(fā)現(xiàn)，這就是微積分在抽樣操作過程中的闡釋。在實際情況中，連續(xù)信號是自然存在的，而我們通過以上描述而得到的抽樣信號則僅僅是一種抽樣樣本。在得到以上抽樣樣本的過程中。我們用到了一個等量的時間間隔值，并通過在抽樣過程中對等量的抽樣間隔值進(jìn)行不斷的極限化縮小。這樣在不斷地對時間間隔進(jìn)行縮小化處理。就是在時間上進(jìn)行微分處理。通過以上的微分處理得到的時間函數(shù)滿足于T<=1/2fm這個標(biāo)準(zhǔn)，那么就同樣是滿足了微分中的基本微分標(biāo)準(zhǔn)。也就是說利用微積分的原理。對抽樣以后的信號樣值做積分運算得到后的樣值信號。原理上等同于原信號值，這也就是微積分原理在。抽樣過程中的基礎(chǔ)應(yīng)用。

在高等數(shù)學(xué)研究過程當(dāng)中，通過對電子信號的不斷的微積分處理。我們所獲得相應(yīng)的信號值。在實際應(yīng)用當(dāng)中就被我們認(rèn)為是真實的信號值。從科學(xué)理論來講，當(dāng)微分到無限小時，我們所得到的積分信號值就是自然存在的真實的通信信號。以微積分原理為基礎(chǔ)的抽樣理論，在電子通信技術(shù)過程中是其賴以生存的基礎(chǔ)。也是整個通信技術(shù)研究的理論基礎(chǔ)及理論依據(jù)。對推動通信電子技術(shù)發(fā)展有著不可替代的意義。

2.2 傅立葉變換與微積分原理

電子通訊技術(shù)發(fā)展過程中傅里葉變換同樣也是非常重要的理論基礎(chǔ)，在信號系統(tǒng)中，典型意義的數(shù)學(xué)丁具就是傅里葉變換。傅里葉變換的現(xiàn)實意義是把特定意義的時間函數(shù)與圖譜函數(shù)在數(shù)量關(guān)系上建立起了相關(guān)的聯(lián)系性，從而能夠?qū)崿F(xiàn)時間函數(shù)與圖譜函數(shù)之間的變化，那么在傅立葉變換中，其微積分原理又起到了什么樣的意義？

在對時域函數(shù)，也就是時間函數(shù)f（t）進(jìn)行微積分性質(zhì)研究的過程中，由于其本質(zhì)意義上是在研究一個特定的時間函數(shù)，目的在于研究時間的導(dǎo)數(shù)和積分的傅立葉變換，因此在某種意義上來講兩者的關(guān)系具有非常緊密的聯(lián)系，在傅立葉變換中時間函數(shù)f（t）以及頻譜函數(shù)f（w）在已知時間。 f（t）=t的這一特定的前提下，那么就可以利用時域微分性質(zhì)或者說是積分時域來求解未知的f（t）以及對應(yīng)的頻譜函數(shù)f（jw）。

2.3 分?jǐn)?shù)階微積分原理在信號處理過程中的應(yīng)用

目前將分?jǐn)?shù)階微積分原理應(yīng)用到信號處理主要有如下以下幾個方面：

2.3.1 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的辨識，在Fourier變換域當(dāng)中，命令輸入數(shù)據(jù)：

兩個函數(shù)在實際情況中系統(tǒng)輸出的值與特定的沖擊響應(yīng)，整個系統(tǒng)最終模擬輸出值和沖擊響應(yīng)。

我們將經(jīng)典的離散線性系統(tǒng)進(jìn)行擴(kuò)展，使之成為離散時間分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)的母系統(tǒng)。

2.3.2 分?jǐn)?shù)階內(nèi)插（Splines）。其Piecewise能量函數(shù)：

它的主要用途是：我們應(yīng)用于信號處理的濾波器設(shè)計當(dāng)中，子波變換，模擬數(shù)字變換以及圖像在處理過程中的放大與增強(qiáng)，圖像處理過程中的幾何轉(zhuǎn)換，以及在傳輸過程中的圖像壓縮。

簡而言之就是圖像在處理過程中的格式變化，保真等一系列操作過程。

在行業(yè)當(dāng)中無數(shù)學(xué)者及科研人員研究了分?jǐn)?shù)階微積分，spline，以及斷層攝影技術(shù)。在這一研究過程當(dāng)中，學(xué)者們?yōu)榱烁玫靥幚矸謹(jǐn)?shù)階微積分，深究了spline微積分學(xué)。在這些原理之上提出了計算機(jī)層面上的基本函數(shù)（the underlying basisfunctions）分?jǐn)?shù)階微分方程式。尤其值得我們注意的是，學(xué)者們將一個α次冪的B-splines的第γ階分?jǐn)?shù)階微分（過程不需要整數(shù)階）假設(shè)為一個α -γ次冪的B-spline的第γ階分?jǐn)?shù)階微分。以這些結(jié)論研究基礎(chǔ)，推導(dǎo)出一種改進(jìn)型的線段層攝影技術(shù)的背景放映的算法。在實驗數(shù)據(jù)當(dāng)中用splines驚醒一階內(nèi)插替換，這樣其連續(xù)模擬型就可以在實際中用來精準(zhǔn)執(zhí)行濾波和背景放映功能。

2.3.3 模擬分?jǐn)?shù)階分抗和濾波器

當(dāng)下如何利用開關(guān)電容器去搭建一個可編程階數(shù)和寬帶的分抗是一項比較熱門的研究同時也是一個具有潛力發(fā)展方方向。有相關(guān)研究人員對寬帶頻率吸收方向：模型的分?jǐn)?shù)階微積分模擬器進(jìn)行了相關(guān)的分析與研究。這其中有相關(guān)科研人員提出由一組整數(shù)階微分來逼近一維或者說二維的有關(guān)于離散型時間的分?jǐn)?shù)階微積分濾波器，這樣經(jīng)過對相關(guān)信號的無限次任意分?jǐn)?shù)階微分可使整數(shù)階微分的線性組合來逼近。用相關(guān)的分?jǐn)?shù)階延遲的方法來設(shè)計跟調(diào)整出以其為基礎(chǔ)的多項式濾波器，然后在此基礎(chǔ)上不斷地優(yōu)化通頻帶的范圍，濾波器的參數(shù)使得在通頻帶當(dāng)中的最壞相位延遲的誤差做到最小。濾波器采用分?jǐn)?shù)階延遲就相當(dāng)于對于幅度失真的下限取的二分之一的效果。

2.3.4微積分原理在其他分?jǐn)?shù)階信號處理

在搭建分?jǐn)?shù)階延遲器這一研究過程當(dāng)中，我們得到總結(jié)：最理想的分?jǐn)?shù)階延遲器如下圖所示：

分?jǐn)?shù)階延遲器的主要應(yīng)用在于信號的微量延遲，對于數(shù)字信號調(diào)節(jié)方式;第一時間校正，第二語音識別的編碼，第三分析數(shù)字波導(dǎo)方向的建模。有相關(guān)研究人員在科研過程中提出了運用分?jǐn)?shù)階微分和分?jǐn)?shù)階采樣延遲來設(shè)計數(shù)字分?jǐn)?shù)階微分濾波器方法。為了提高傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階微分設(shè)計方案在高頻端的準(zhǔn)確率。在研究過程當(dāng)中運用well-documented FIR Lagrange和IIR allpass分?jǐn)?shù)階延遲濾波器，他們提出分?jǐn)?shù)階微分甚至可以在運行分?jǐn)?shù)階采樣延遲之前來完成。研究者從分?jǐn)?shù)HiIBert變換角度出發(fā)，來考察信號的復(fù)制形式，尤其是新的信號解析的構(gòu)造問題。研究者在一系列文章中闡述了解析信號和分?jǐn)?shù)Hilbert變換的概念，從經(jīng)典的信號解析手段人手，在深入研究過程中提出了基于分?jǐn)?shù)Hilbert的變換解析信號的新方法，從而得到兩類新的解析信號。有學(xué)者研究出了一類LEVY噪聲激勵的分?jǐn)?shù)階微分方程。經(jīng)相關(guān)研究通過本微分方程可以得到電一譜（singularity spectrum）。還有相關(guān)學(xué)者提出了另外一種關(guān)于分?jǐn)?shù)階積分過程中的微分參數(shù)的調(diào)和OLS。在這一過程中他們才有了理論一基于濾波核函數(shù)的連續(xù)淄博變換。研究者們簡述了子波系數(shù)變化與分?jǐn)?shù)階積分過程的平滑程度之間存在Log-Log線性關(guān)系。

有關(guān)研究者研究了用分?jǐn)?shù)階微積分通過α -feanrres來對聲表面波（ surface waves）的空間和聲學(xué)特性。

2.4 非局部多尺寸分?jǐn)?shù)階微分圖像增強(qiáng)的應(yīng)用

2.5分?jǐn)?shù)階微分算子的幅頻特性

由上述公式可以仿真出二維的信號在不同的分?jǐn)?shù)階次下的幅頻性曲面，其分?jǐn)?shù)階微分階次為μ=0，0.5，0.8，1.0，1.5，2.0得到的微分算子的幅頻特性曲面，通過直接觀察可以得知，階次為正數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分算子屬于高通濾波器，并且可以看出該濾波器的截止頻率和分?jǐn)?shù)階微分借此相關(guān)，隨著微分階次的不斷增加，分?jǐn)?shù)階微分算子的高頻濾波器性能也越強(qiáng)。

3 結(jié)語

綜上所述，通過通信電子技術(shù)中離散傅立葉變化，抽樣定理以及分?jǐn)?shù)階微分原理在信號及圖像當(dāng)中的應(yīng)用的詳細(xì)分析可以看出?；诟叩葦?shù)學(xué)微分與積分原理在通訊電子技術(shù)領(lǐng)域應(yīng)用是非常普遍的。作為理論基礎(chǔ)，其為技術(shù)的發(fā)展以及理論的支撐起到了相當(dāng)重要的作用。也正因如此。作為一門基礎(chǔ)門類學(xué)科，數(shù)學(xué)對于其他學(xué)科以及科學(xué)技術(shù)的發(fā)展提供了強(qiáng)有力的支撐。作為以物理學(xué)為主要支撐技術(shù)的電子通訊技術(shù)，同樣需要高等數(shù)學(xué)作為理論基礎(chǔ)。通過理論聯(lián)系實踐求真務(wù)實的態(tài)度，利用好高等數(shù)學(xué)微積分理論是科技工作者的責(zé)任與義務(wù)。

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