古典概型的兩特征與兩應(yīng)用

古典概型是一種特殊的數(shù)學(xué)模型,由于它在概率論發(fā)展初期曾是主要的研究對象,許多概率的最初結(jié)果也是由它得到的,所以稱它為古典概型。

古典概型在概率論中占有相當(dāng)重要的地位,是學(xué)習(xí)概率必不可少的內(nèi)容。具有兩個(gè)基本特征：①有限性：試驗(yàn)的所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)。②等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。在滿足這兩個(gè)基本特征的條件下,就可以應(yīng)用古典概型的概率計(jì)算公式：

在應(yīng)用古典概型的概率計(jì)算公式時(shí),關(guān)鍵是要求出事件A包含的基本事件的結(jié)果數(shù)和一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的總結(jié)果數(shù),同時(shí)要注意這兩種結(jié)果的等可能性。

例1數(shù)學(xué)課代表在數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)課上,同時(shí)擲4枚均勻的硬幣,要求同學(xué)們計(jì)算：

(1)恰有2枚“正面朝上”的概率。

(2)至少有2枚“正面朝上”的概率。

解：此題是一個(gè)古典概型問題,因?yàn)樗鼭M足：①有限性,4枚硬幣朝向的情況有限,共有“1反、1正、1正、1正”,“1正、1反、1正、1正”等16種情況,如表1所示。②等可能性,如表1中的16種情況。

表1

(1)因?yàn)?枚“正面朝上”的情況有6種,所以恰有2枚“正面朝上”的概率為

(2)至少有2枚“正面朝上”的情況是總的基本事件個(gè)數(shù)減去只有1個(gè)正面朝上的4種情況及4個(gè)反面朝上的1種情況,即滿足題意的有11種情況,所以至少有2枚“正面朝上”的概率為

例2在一次數(shù)學(xué)研究性實(shí)踐活動(dòng)中,興趣小組做了兩個(gè)均勻的正方體玩具,組長同時(shí)拋擲兩個(gè)均勻的正方體玩具(各個(gè)面上分別標(biāo)上數(shù)字1,2,3,4,5,6)后,請小組成員研究以下兩種情況：

(1)兩個(gè)正方體朝上一面數(shù)字相同的概率是多少?

(2)兩個(gè)正方體朝上一面數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是多少?

解：此題也是一個(gè)古典概型問題,因?yàn)樗鼭M足：①有限性,兩個(gè)正方體面朝向的情況有限,共有36種(如表2)。②等可能性,出現(xiàn)每一種朝向的情況具有等可能性。

表2

(1)由表2可知,事件“兩個(gè)正方體朝上一面數(shù)字相同的情況”只有6種,故所求概率為

(2)由表2可知,事件“兩個(gè)正方體朝上一面數(shù)字之積為偶數(shù)的情況”共有27種,故所求概率為