概率與統(tǒng)計(jì)創(chuàng)新問(wèn)題賞析

■楊 虎

概率與統(tǒng)計(jì)是新課標(biāo)內(nèi)容中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn),概率與統(tǒng)計(jì)也是新課改后逐步登上高考舞臺(tái)的“新生花旦”。不難發(fā)現(xiàn)概率與統(tǒng)計(jì)試題一般是在生活化的問(wèn)題情境中,考查同學(xué)們分析數(shù)據(jù)、提取信息、解決實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用能力。高考數(shù)學(xué)試題越來(lái)越注重問(wèn)題情境的設(shè)置,通過(guò)一些貼近生活、緊扣熱點(diǎn)、反映潮流的新穎素材來(lái)體現(xiàn)概率與統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用價(jià)值,以期達(dá)到解決現(xiàn)實(shí)中的具體問(wèn)題之目的。下面列舉近幾年高考數(shù)學(xué)試卷中的概率與統(tǒng)計(jì)試題進(jìn)行歸類賞析。

一、概率與區(qū)域面積牽手

例1如圖1,設(shè)拋物線y=-x2+1的頂點(diǎn)為A,與x軸正半軸的交點(diǎn)為B,拋物線與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的區(qū)域?yàn)镸,且區(qū)域M的面積為,隨機(jī)往區(qū)域M內(nèi)投一點(diǎn)P,則點(diǎn)P落在△A O B內(nèi)的概率是( )。

圖1

解：由題設(shè)可得拋物線y=-x2+1與x軸正半軸及y軸的正半軸所圍成的區(qū)域面積為,容易得到

設(shè)事件N=“隨機(jī)往區(qū)域M內(nèi)投一點(diǎn)P,則點(diǎn)P落在△A O B內(nèi)”,故所求概率為

利用函數(shù)為命題背景考查概率知識(shí)是本題的一大亮點(diǎn)。近幾年高考在對(duì)概率的考查上重視命題背景,突出了概率與其他知識(shí)的交匯。

二、概率與體育競(jìng)賽同行

例 2某校在一次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)的頒獎(jiǎng)儀式上,高一、高二、高三各代表隊(duì)人數(shù)分別為120、120、n。為了活躍氣氛,大會(huì)組委會(huì)在頒獎(jiǎng)過(guò)程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng),并用分層抽樣的方法從三個(gè)代表隊(duì)中共抽取20人在前排就座,其中高二代表隊(duì)有6人。

(1)求n的值。

(2)把在前排就座的高二代表隊(duì)的6人分別記為a,b,c,d,e,f,現(xiàn)隨機(jī)從中抽取2人上臺(tái)抽獎(jiǎng),求a和b至少有1人上臺(tái)抽獎(jiǎng)的概率。

(3)抽獎(jiǎng)活動(dòng)的規(guī)則是：代表通過(guò)操作按鍵使電腦自動(dòng)產(chǎn)生兩個(gè)[0,1]之間的均勻隨機(jī)數(shù)x,y,并按如圖2所示的程序框圖執(zhí)行。若電腦顯示“中獎(jiǎng)”,則該代表中獎(jiǎng);若電腦顯示“謝謝”,則該代表不中獎(jiǎng)。求該代表中獎(jiǎng)的概率。

圖2

解：(1)根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)可得解得n=160。

(2)高二代表隊(duì)的6人分別記為a,b,c,d,e,f,從中抽取2人上臺(tái)抽獎(jiǎng)的基本事件為(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共15種情況,其中a和b至少有1人上臺(tái)抽獎(jiǎng)的基本事件為(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c), (b,d),(b,e),(b,f),共9種情況。

故a和b至少有1人上臺(tái)抽獎(jiǎng)的概率為

(3)已知0≤x≤1,0≤y≤1,點(diǎn)(x,y)在如圖3所示的邊長(zhǎng)為1的正方形O A B C內(nèi)。根據(jù)程序框圖和已知條件可知滿足,的區(qū)域?yàn)槿鐖D3所示的陰影部分。

圖3

根據(jù)2x-y-1=0,令y=0可得x=,令y=1可得x=1。當(dāng)x,y∈[0,1]時(shí),可知滿足2x-y-1≤0的區(qū)域面積為S=

本題將抽獎(jiǎng)與概率結(jié)合,讓試題增加了趣味性,而抽獎(jiǎng)活動(dòng)在生活中比比皆是,以抽獎(jiǎng)為背景命題,這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系。

三、概率與新概念結(jié)合

例 3全網(wǎng)傳播的融合指數(shù)是衡量電視媒體在中國(guó)網(wǎng)民中影響力的綜合指標(biāo)。根據(jù)相關(guān)報(bào)道提供的全網(wǎng)傳播2016年某全國(guó)性大型活動(dòng)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”融合指數(shù)的數(shù)據(jù),對(duì)名列前20名的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)進(jìn)行分組統(tǒng)計(jì),結(jié)果如表1所示。

表1

(1)現(xiàn)從融合指數(shù)在[4,5)和[7,8]內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”中隨機(jī)抽取2家進(jìn)行調(diào)研,求至少有1家的融合指數(shù)在[7,8]內(nèi)的概率。

(2)根據(jù)分組統(tǒng)計(jì)表求這20家“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)的平均數(shù)。

解：(1)(方法1)融合指數(shù)在[7,8]內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為A1,A2,A3;融合指數(shù)在[4,5)內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為B1,B2。從融合指數(shù)在[4,5)和[7,8]內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”中隨機(jī)抽取2家的所有基本事件為{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10種情況。

其中至少有1家融合指數(shù)在[7,8]內(nèi)的基本事件為{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3}, {A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2}, {A3,B1},{A3,B2},共9種情況。

(方法2)融合指數(shù)在[7,8]內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為A1,A2,A3;融合指數(shù)在[4,5)內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為B1,B2。從融合指數(shù)在[4,5)和[7,8]內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”中隨機(jī)抽取2家的所有基本事件為{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10種情況。

其中沒(méi)有1家融合指數(shù)在[7,8]內(nèi)的基本事件為{B1,B2},共1種情況。

(2)由表1中數(shù)據(jù)可知,這20家“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)的平均數(shù)為

融合指數(shù)是新聞專業(yè)里的“術(shù)語(yǔ)”,全網(wǎng)傳播的融合指數(shù)是衡量電視媒體在中國(guó)網(wǎng)民中影響力的綜合指標(biāo)。越來(lái)越注重?cái)?shù)學(xué)與生活的聯(lián)系是高考命題的方向之一,本題命題背景體現(xiàn)了關(guān)注生活也就是關(guān)注數(shù)學(xué)的理念。

例4某次測(cè)量發(fā)現(xiàn)一組數(shù)據(jù)(xi,yi)具有較強(qiáng)的相關(guān)性,并計(jì)算可得^y=x+1,其中數(shù)據(jù)(1,y0)因書(shū)寫(xiě)不清,只記得y0是[0,3]內(nèi)的任意值,則該數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值不大于1的概率為_(kāi)___。(殘差=真實(shí)值-預(yù)測(cè)值)

：由=x+1,得=1+1=2,可知預(yù)測(cè)值為2。利用該數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值不大于1,可得|y0-2|≤1,解得1≤y0≤3,即y0∈[1,3]。

由于y0是[0,3]內(nèi)的任意值,因此該數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值不大于1的概率為

新概念題目比較注重對(duì)同學(xué)們閱讀理解能力的考查,所以平時(shí)對(duì)閱讀理解型題目的學(xué)習(xí)與積累是非常必要的。

四、概率與直線和圓的交匯

例5在[-1,1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k,則事件“直線y=k x與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為_(kāi)___。

解：直線y=k x與圓(x-5)2+y2=9相交,需滿足圓心到直線的距離小于或等于半徑,即而k∈[-1,1],故所求概率

本題的綜合應(yīng)用性較強(qiáng),具有“無(wú)圖考圖”的顯著特點(diǎn)。在直線和圓的知識(shí)與概率知識(shí)的交匯處命題,充分考查了同學(xué)們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的綜合能力。

五、概率與實(shí)際應(yīng)用牽手

例6某超市隨機(jī)選取1000名顧客,記錄了他們購(gòu)買甲、乙、丙、丁四種商品的情況,整理成統(tǒng)計(jì)表,如表2所示,其中“√”表示購(gòu)買,“×”表示未購(gòu)買。

表2

(1)估計(jì)顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率。(2)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁四種商品中同時(shí)購(gòu)買三種商品的概率。

(3)如果顧客購(gòu)買了甲,則該顧客同時(shí)購(gòu)買乙、丙、丁中那種商品的可能性最大?

解：(1)從統(tǒng)計(jì)表中可以看出,在這1000名顧客中,有200名顧客同時(shí)購(gòu)買了乙和丙,所以顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率的估計(jì)值為

(2)從統(tǒng)計(jì)表中可以看出,在這1000名顧客中,有100名顧客同時(shí)購(gòu)買了甲、丙、丁,另有200名顧客同時(shí)購(gòu)買了甲、乙、丙,其他顧客最多購(gòu)買了兩種商品。所以顧客在甲、乙、丙、丁四種商品中同時(shí)購(gòu)買三種商品的概率的估計(jì)值為

(3)根據(jù)統(tǒng)計(jì)表可知,顧客同時(shí)購(gòu)買甲和乙的概率的估計(jì)值為

由上可知,如果顧客購(gòu)買了甲,則該顧客同時(shí)購(gòu)買丙的可能性最大。

本題主要考查統(tǒng)計(jì)與概率的基礎(chǔ)知識(shí),考查同學(xué)們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。