概率問(wèn)題的新考向

概率知識(shí)是新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容。下面例析概率問(wèn)題的新考向,供大家學(xué)習(xí)與參考。

新考向1：程序框圖

例1在可行域內(nèi)任取一點(diǎn),規(guī)則如圖1所示的流程圖,則能輸出數(shù)對(duì)(x,y)的概率為( )。

圖1

解：閱讀程序框圖,由程序框圖可知不等式組表示的平面區(qū)域如圖2所示,其面積為滿足不等式x2+y2≤1的點(diǎn)表示的區(qū)域?yàn)閳D2所示的正方形的內(nèi)切圓,其面積為π。

圖2

故由幾何概型可知能輸出數(shù)對(duì)(x,y)的概率為應(yīng)選C。

程序框圖的輸入框只是表示一個(gè)算法輸入的信息,而處理框主要是賦值、計(jì)算。利用條件結(jié)構(gòu)解決算法問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵要分析判斷框,判斷框內(nèi)的條件不同,對(duì)應(yīng)下一步的內(nèi)容和操作都要相應(yīng)地進(jìn)行變化。

新考向2：頻率分布直方圖

例22017年下學(xué)期某市教育局對(duì)某校高三文科數(shù)學(xué)進(jìn)行教學(xué)調(diào)研,從該校文科生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),將他們的成績(jī)分成6段：[80,90),[90,100), [100,110),[110,120),[120,130),[130, 140]后得到如圖3所示的頻率分布直方圖。

圖3

(1)求這40個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值。

(2)若從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱80,100)內(nèi)的學(xué)生中任意抽取2人,求成績(jī)?cè)赱80,90)內(nèi)至少有1人的概率。

解：(1)眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形對(duì)應(yīng)的成績(jī)區(qū)間的中點(diǎn),即得眾數(shù)的估計(jì)值為115。

設(shè)中位數(shù)的估計(jì)值為x,易知中位數(shù)在第4個(gè)小長(zhǎng)方形內(nèi),則10×0.005+0.01× 10+0.02×10+(x-110)×0.03=0.5,解得x=115,所以中位數(shù)的估計(jì)值為115。

(2)從圖中可知,成績(jī)?cè)赱80,90)內(nèi)的人數(shù)為m1=0.005×10×40=2,成績(jī)?cè)赱90, 100)內(nèi)的人數(shù)為m2=0.01×10×40=4。

設(shè)成績(jī)?cè)赱80,90)內(nèi)的學(xué)生記為a,b,成績(jī)?cè)赱90,100)內(nèi)的學(xué)生記為c,d,e,f,則從成績(jī)?cè)赱80,100)內(nèi)的學(xué)生中任取2人組成的基本事件為(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e), (b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共15種,其中成績(jī)?cè)赱80,90)內(nèi)的學(xué)生至少有1人的基本事件為(a,b), (a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),共9種。

在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積之和是相等的。

新考向3：莖葉圖

例3甲、乙兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖4所示,其中m為小于10的自然數(shù),已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù),則甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的概率為____。

圖4

解：由莖葉圖可知,甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為25,平均數(shù)為

用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失,所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到;二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時(shí)記錄,隨時(shí)添加,方便記錄與表示。

新考向4：獨(dú)特民俗登高節(jié)

例 4正月十六登高是“中國(guó)石刻藝術(shù)之鄉(xiāng)”、“中國(guó)民間文化藝術(shù)之鄉(xiāng)”四川省巴中市沿襲千年的獨(dú)特民俗。登高節(jié)前夕,李大伯在家門前的樹上掛了兩串喜慶彩燈,這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立,且都在通電后4 s內(nèi)的任一時(shí)刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈以4s為間隔閃亮。那么這兩串彩燈同時(shí)通電后,它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2 s的概率是____。

解：設(shè)兩串彩燈第一次閃亮的時(shí)刻分別為x,y,則全部基本事件構(gòu)成的區(qū)域?yàn)槎项}意的事件構(gòu)成的區(qū)域?yàn)榧慈鐖D5所示的陰影部分。

圖5

解答本題的主要步驟是：列出條件組,畫出圖形,計(jì)算面積,利用對(duì)立事件,求其概率。

新考向5：三角函數(shù)

例5已知函數(shù)f(x)=s i nx+,當(dāng)x∈[0,π]時(shí),f(x)≥1的概率為( )。

解：由函數(shù),再利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得到

根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式可得滿足f(x)≥1的概率為應(yīng)選D。

解答測(cè)度為長(zhǎng)度的幾何概型問(wèn)題,只要將所有基本事件及事件A包含的基本事件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)長(zhǎng)度,即可利用幾何概型的概率計(jì)算公式求解。此處的“長(zhǎng)度”可以是區(qū)間的長(zhǎng)短,也可以是時(shí)間的長(zhǎng)短等。

新考向6：訂購(gòu)酸奶

例6某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完。根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)。如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶。為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得到的頻數(shù)分布表,如表1所示。(以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率)

表1

(1)求六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率。

(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí),寫出Y的所有可能值,并估計(jì)Y＞0的概率。

解：(1)設(shè)“六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶”為事件A。

由題意可知,所求概率P(A)=(2)由題意可知,當(dāng)最高氣溫不低于25

時(shí),Y=(6-4)×450=900,其概率P=

當(dāng)最高氣溫位于區(qū)間[20,25)時(shí),Y= (6-4)×300-(4-2)×(450-300)=300,其概率

當(dāng)最高氣溫低于20時(shí),Y=(6-4)×200-(4-2)×(450-200)=-100,其概率

綜上可知,Y的所有可能取值為900,300和-100;Y＞0的概率為

本題的易錯(cuò)點(diǎn)是遺漏“不超過(guò)”的情況,從而產(chǎn)生錯(cuò)解。