線性支出系統(tǒng)的試算分析法

宋子昀，王偉玲

（1.廣東水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院 應(yīng)用外語系，廣州 510635；2.中山大學(xué)新華學(xué)院 生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)院，廣州 510520）

0 引言

需求方程是研究市場消費品的需求重要工具，研究人們對各類商品的消費需求基本規(guī)律，從市場供給的角度探討各種商品需求的影響因素，研究消費支出在各類商品之間的分配規(guī)律，探索消費結(jié)構(gòu)。

線性支出系統(tǒng)是重要的消費結(jié)構(gòu)研究模式，最為廣泛的線性支出系統(tǒng)是英國經(jīng)濟學(xué)家斯通（Stone）于1954年提出的。線性支出系統(tǒng)的效用函數(shù)為：

相應(yīng)的預(yù)算約束：

式中Z為預(yù)算總支出；

Pi為第i類商品的價格；

Xi為第i類商品的銷售量。

按照效用最大化建立線性支出系統(tǒng)，見方程（3）。

線性支出系統(tǒng)：

式中i=1、2、…、n；其余同上。

試算法：首先假設(shè)A并代入式（4），根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，采用OLS估計參數(shù)，再代入式（5）：

檢驗假設(shè)值A(chǔ)是否正確。如果式（5）不滿足，則重新假設(shè)A值，重復(fù)以上步驟，直至滿足式（5），則假設(shè)的A值即為所求值，并代入式（3），即可直接估計其余參數(shù)。

單純試算法的不足之處就是帶有盲目性和不確定性，如果采用試算分析法可以克服這一缺點，使得線性支出系統(tǒng)的建立更加簡便。

1 試算分析法

定義1：線性支出系統(tǒng)的試算模型為：

式中Z為預(yù)算總支出；

Pi為第i類商品的價格；

Xi為第i類商品的銷售量。

αi，0＜αi＜1，∑αi=1；為非負常數(shù)，且可以看作第i類商品的最低需求量；

B為試算假定常數(shù)。

由式（5）和式（6）可以改寫為：

定理1：線性支出系統(tǒng)的試算模型（7）中的?和B為線性關(guān)系。

證明：將式（7）改寫為：

其中：

利用給定的樣本數(shù)據(jù)，采用普通最小二乘法估計式（9），可以得到兩個常數(shù)?和?，由式（10），得：

可以看出?和B為線性關(guān)系，證畢。

定理2：如果B1、B2為B的兩個假設(shè)值并代入下式：

證明：設(shè)B1、B2為B的兩個假設(shè)值，代入式（7），采用普通回歸分析法分別估算，由于?和B存在線性關(guān)系，則有插值公式：

式（14）中，當(dāng)B=?時，即為所要求的解，則有：

證畢。

根據(jù)定理2，可以估算A，將A代入式（3），并根據(jù)已知的Z和PiXi資料，可以直接估計其他參數(shù)（i=2、…、n）：

由此建立線性支出系統(tǒng)模型。

2 算例

根據(jù)文獻[1]提供的算例，有關(guān)商品消費數(shù)據(jù)見表1所示。

表1 有關(guān)商品消費統(tǒng)計表

估計線性支出系統(tǒng)的步驟如下：

表2 變量合并后的商品消費統(tǒng)計表

假設(shè) M1=10000和 M2=11000，代入方程（7）或方程（12），并根據(jù)表2數(shù)據(jù)，進行分別計算10979.9，由式（15）求得：。A=14140.6代入式（16）得：

由此估算其余參數(shù)，結(jié)果見表3所示。

表3 各參數(shù)估計成果

與A的估計值A(chǔ)?=14140.6基本相等。表3的參數(shù)估計成果代入式（3）即可得到線性支出系統(tǒng)預(yù)測方程。

3 結(jié)束語

線性支出系統(tǒng)和擴展線性支出是經(jīng)濟學(xué)的重要模型，系統(tǒng)所包含的因素眾多，為建立線性支出系統(tǒng)和擴展線性支出系統(tǒng)模型，需要利用已知的Z和PiXi資料對眾多參數(shù)進行估計，其計算量與變量數(shù)量有關(guān)，本文采用試算分析法，可以大大簡便參數(shù)的估計工作量，可以快速、準確估算各參數(shù)，對經(jīng)濟分析提供有益的借鑒方法。

參考文獻：

[1]李長風(fēng).經(jīng)濟計量學(xué)[M].上海：上海人民出版社，2010.

[2]汪潮陽，池峰.經(jīng)濟學(xué)基礎(chǔ)[M].合肥：合肥工業(yè)大學(xué)出版社，2008.

[3][美]保羅·薩繆爾森，威廉·諾德豪斯.經(jīng)濟學(xué)[M].北京：人民郵電出版社，2011.