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    關(guān)于一道解析幾何考題的解法探究

    2018-04-10 09:29:12郭銘紀(jì)
    文化創(chuàng)新比較研究 2018年2期
    關(guān)鍵詞:通法一題斜率

    郭銘紀(jì)

    (福建省泉州第一中學(xué),福建泉州 362000)

    這題是2013濟(jì)南市高三3月高考模擬題,筆者把它改編作為一次考試的試題,在考試中,驚喜地發(fā)現(xiàn)了學(xué)生出現(xiàn)了3種不同的解法,說(shuō)明了在平常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,學(xué)生還是能較好地掌握了一些重要的數(shù)學(xué)思想和方法。筆者也就此題查找了資料,發(fā)現(xiàn)基本就2種解法,深入研究,發(fā)現(xiàn)了6種不同的解法,各種解法聯(lián)系了不同的知識(shí)體系和數(shù)學(xué)方法,是一道不錯(cuò)的一題多解的題目。謹(jǐn)以此文談?wù)劜呗孕灾R(shí)的教學(xué)對(duì)學(xué)生的影響。

    在數(shù)學(xué)教學(xué)中,一題多解的現(xiàn)象時(shí)普遍存在的,每個(gè)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備是不同的,對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解程度和角度也是各不相同的。高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容有“兩多”:知識(shí)點(diǎn)多,題型多,因此如果一味地講究單純做題而不思考題目背后的東西,是絕對(duì)學(xué)不好數(shù)學(xué)的。一題多解正是一個(gè)學(xué)好數(shù)學(xué)的好方法,一方面一題多解既讓我們復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn),又可以發(fā)現(xiàn)題目背后知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系,從而加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解,而且它還可以鍛煉創(chuàng)造性思維和多變思維。

    (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

    (2)四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上,且對(duì)角線AC,BD過(guò)原點(diǎn)O,

    (2)由已知,lAC,lBD的斜率存在且不為 0,設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2)

    若直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,

    當(dāng)k=0(此時(shí)m2=2滿足①式),即直線AB平行于X軸時(shí)的最小值為-2。

    評(píng)注:通解通法是平??荚囍幸粫r(shí)想不到其他解法的最直接和可靠的解法,也可以鍛煉學(xué)生的分析能力,邏輯推理能力,運(yùn)算能力。

    法二(略解):由已知,lAC,lBD的斜率存在且不為 0,設(shè) lAC:y=kx 設(shè),則由得,同理可得

    可知: 當(dāng) xA>0,xB>0 時(shí),當(dāng) xA<0,xB<0 時(shí)

    評(píng)注:方法二是一種數(shù)據(jù)的直覺處理方法,利用點(diǎn)的對(duì)稱性及斜率的關(guān)系直接求出點(diǎn)的坐標(biāo),把數(shù)量積轉(zhuǎn)化為斜率的單變量函數(shù)來(lái)處理。

    以上兩種方法為常規(guī)常見的解法。通解通法是一種不錯(cuò)的選擇。通過(guò)對(duì)解法(一)(二)的詳細(xì)講解,讓學(xué)生能掌握基本的常規(guī)方法,鞏固了所學(xué)過(guò)的知識(shí),突出了本題的重點(diǎn)。仔細(xì)分析、挖掘,發(fā)現(xiàn)了下面的4種解法,可以作為開拓學(xué)生思維,發(fā)揮學(xué)生的積極主動(dòng)性的很好的題型。

    評(píng)注:該解法的思路,也就是利用除雙曲線外的幾種曲線的動(dòng)點(diǎn)的最值問(wèn)題可以用換元法來(lái)處理比較簡(jiǎn)單,橢圓上的動(dòng)點(diǎn)可以用三角換元來(lái)處理。

    法四(略解):設(shè)點(diǎn) A(x1,x1),B(x2,y2),由 x2+2y2=8得

    當(dāng)x1=x2=2時(shí)取得最大值2,當(dāng)x1=-x2=2時(shí)取得最大值-2。

    評(píng)注:這個(gè)處理方法和橢圓的第三定義及點(diǎn)差法類似,通過(guò)方程來(lái)轉(zhuǎn)化為二元變量,利用均值不等式來(lái)處理范圍問(wèn)題。另:本種解法也可以轉(zhuǎn)化為y1,y2的不等式問(wèn)題。

    法五 (略解):同解法四得:x12+x22=8,設(shè)

    評(píng)注:本解法結(jié)合解法四和解法三來(lái)處理問(wèn)題。到x12+x22=8這一步驟就可以采用圓的三角換元來(lái)處理.

    法六(略解):設(shè)點(diǎn) A(x1,y1),B(x2,y2),則,

    評(píng)注:方法四是通過(guò)方程以及斜率的關(guān)系把變量減少為兩個(gè),本解法是通過(guò)不減少變量,直接利用四個(gè)變量來(lái)處理問(wèn)題。多元變量的處理方法是利用不等式處理最值問(wèn)題,而柯西不等式可以直接處理x1x2+y1y2問(wèn)題。

    結(jié)語(yǔ):求解題目的方法有很多,通解通法在一定范圍內(nèi)是一種選擇。通過(guò)對(duì)解法(一)(二)的詳細(xì)講解,讓學(xué)生能掌握基本的常規(guī)方法,鞏固了所學(xué)過(guò)的知識(shí),突出了本題的重點(diǎn)。另外的幾種方法的拓展,利用平常所學(xué)的相關(guān)性質(zhì)及解題的方法,不但達(dá)到了認(rèn)知目標(biāo),還有利于培養(yǎng)學(xué)生的多變思維和創(chuàng)造性思維,讓學(xué)生尋找更加簡(jiǎn)練的解題方法,使學(xué)生擁有成功的喜悅,提高學(xué)習(xí)的興趣。

    一題多解和多題一解已廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中,尤其是在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中,更應(yīng)強(qiáng)調(diào)然一題多解和多題一解,以便解決高強(qiáng)度低效率的復(fù)習(xí)效果。一題多解中的“題”指一切數(shù)學(xué)問(wèn)題,包括基礎(chǔ)知識(shí)、原理和方法,“解”指對(duì)一切數(shù)學(xué)問(wèn)題多種不同的理解與解決的過(guò)程、策略、方法與結(jié)果??梢?,一題多解的內(nèi)涵極其豐富,外延十分廣闊。任何解題方法都有其賴以產(chǎn)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),而這個(gè)基礎(chǔ)就是數(shù)學(xué)教科書的知識(shí)、結(jié)論、思想方法以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。

    [1]趙祥枝.引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究,促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2014(5):35-37.

    [2]周來(lái)友.一道課本習(xí)題的十種證法[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2017(5):23-25.

    [3]周燕偉.女中數(shù)學(xué)變式教學(xué)特點(diǎn)的研究與實(shí)踐[D].蘇州大學(xué),2009.

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