軸線角誤差的斜齒輪拓撲修形及仿真*

張西金,賈　超,候祥穎,郭　芳,翟　佳

(西北工業(yè)大學 機電學院，西安 710072)

斜齒輪具有重合度大,承載能力強等特點，在工業(yè)領域有廣泛的應用.齒輪制造及安裝誤差不可避免，斜齒輪制造及安裝誤差會造成齒輪副軸線不平行，出現的軸線角誤差會使其傳動性能變差，而齒輪修形可以改善其傳動性能[1-2].因此,可以通過斜齒輪修形技術研究，以便減少軸線角誤差給其傳動性能帶來的不利影響.

近年來，斜齒輪修形研究取得了一些進展.文獻[3]提出一種新的拓撲修形齒面，采用齒輪接觸分析(Tooth Contact Analysis,TCA)技術進行了接觸路徑和傳動誤差分析，并應用有限元接觸分析方法研究了輪齒彎曲應力和接觸應力，但尚未研究修形齒輪的承載傳動誤差(Loaded Transmission Errors,LTE)情況.文獻[2,4]推導了修形斜齒輪的齒面接觸與邊緣接觸的全部計算，探討了齒面修形對改善齒輪傳動性能的作用，并在TCA基礎上提出了一種斜齒輪承載接觸分析(Loaded Tooth Contact Analysis,LTCA)(有限元方法和非線性數學規(guī)劃方法的LTCA)，對修形斜齒輪進行了LTCA計算，探討了刀具修形及CNC機床修形兩種方法,對其他修形方法未做探討.文獻[5]研究了沿齒廓方向拋物線修形的齒面結構，未涉及齒向修形.文獻[6-7]通過理論齒面疊加修形齒面，基于TCA和LTCA，建立動力學模型，通過三維修形完成了寬斜齒輪多目標齒面優(yōu)化，他也進行了斜齒輪對角修形多目標優(yōu)化設計以減小振動與噪音，但都只進行了標準安裝齒輪副的修形優(yōu)化.目前國內外斜齒輪修形技術研究還不成熟，只有針對特定工況進行拓撲修形才能獲得較好的傳動性能，因此斜齒輪修形方法還需要探索完善.

文中針對軸線角誤差的斜齒輪拓撲修形技術進行仿真研究，以減小軸線角誤差對其承載傳動誤差(LTE)的影響，為斜齒輪修形設計提供了參考.

1　軸線角誤差的斜齒輪拓撲修形

斜齒輪拓撲修形包括齒廓修形和齒向修形，齒廓修形是通過改變齒輪刀具切削刃的方法實現的，齒向修形是通過數控機床的多軸聯動實現的，這樣的修形方案可以提高修形效率.對于加工刀具齒條(滾刀)，可以將直線齒廓改變?yōu)閳A弧形、拋物線形等形式，由于圓弧齒廓修形研究較少，所以這里研究圓弧形齒廓修形，也就是在法平面內刀具齒廓為圓弧形.為了減少修形工作量，采用小輪修形，大輪為標準漸開線齒輪的方案.建立如圖1所示的動坐標系Sc10和Sc1，它們都固定在小輪的加工刀具齒條上，Xc10Yc10為齒條齒寬中心處的法平面，采用圓弧形齒廓(如圖1所示)，其中R為圓弧半徑，R越大修形量越大；圓弧與原來的直線齒廓相切，切點距離節(jié)線與直線齒廓的交點為c，節(jié)線上下工作齒面的修形量應該有所不同，設置參數c的目的就是為了減小靠近齒根部位工作齒面的修形量而增大靠近齒頂部位工作齒面的修形量；a表示節(jié)線上法向半齒厚.

圖1　修形刀具齒形

在圓弧形齒廓刀具展成加工齒輪的基礎上，齒向采用鼓形修形，中間段采用直線，兩側采用曲線，研究表明高階修形具有較好的傳動性能，這里采用四階修形曲線.考慮軸線角誤差的影響，兩側的修形情況應該有所不同，即采用不對稱的齒向修形方案.齒向修形如圖2所示.

圖2　齒向鼓形修形

在Sc10坐標系中刀具齒面的四元位矢γc10表示為

(1)

式中：u1為Xc10坐標值，v1為Zc10坐標值.

齒向修形公式為

(2)

將γc10變換到Sc1坐標系中需要經過四次坐標變換，每次的轉換矩陣可以由以下公式得出[8]：

最終的變換矩陣如下：

式中：α為壓力角;β為螺旋角.在Sc1坐標系中齒條齒面的四元位矢和單位法矢表示為：

rc1=Dc1c10rc10

(3)

(4)

式(3)和式(4)完全表達了齒條刀具的空間曲面情況，刀具齒面在加工齒輪時按展成原理就可以加工出齒輪齒面，由于刀具齒廓已不再是直線形式，因此加工出來的齒輪齒廓也不再是標準的漸開線齒廓.

2　拓撲修形斜齒輪齒面接觸分析

2.1　修形齒面建模

拓撲修形齒面建立采用了通過理論齒面與法向修形曲面疊加構造修形齒面的方法[6]，理論齒面采用刀具展成加工形成的曲面，而法向修形曲面是考慮齒向鼓形修形產生的修形曲面，法向修形量為式(2)所示.建立如圖3所示的展成加工坐標系，Sa1為固定坐標系，S1為小齒輪的動坐標系，Za1和Z1都是和齒輪的回轉中心重合.S1隨小齒輪一起繞Za1軸轉動，刀具沿Yc1軸平移，刀具齒面展成過程中形成齒輪齒面，因此小齒輪齒面位矢和單位法矢可以表示為

r1=M(φ1)1c1rc1

(5)

n1=M(φ1)1c1nc1

(6)

其中M(φ1)1c1是刀具坐標系Sc1到小輪坐標系S1的轉換矩陣，展成過程中滿足關系式H=Rp1×φ1，Rp1為節(jié)圓半徑，H為位移，φ1為齒輪轉角.

根據微分幾何中的嚙合方程可以得出以下關系

(7)

將式(7)代入式(5)和式(6)可以確定小輪理論齒面情況，也就是可以得到刀具齒面上任何一點在小齒輪齒面上的對應點.

實際小輪齒面是由理論面與法向修形曲面疊加形成的，其位矢和法矢[6]為

r1r=δ(u1,v1)n1+r1

(8)

(9)

大輪采用標準齒條刀具展成加工，齒面建模過程在這里不再累述.

圖3　齒輪展成示意圖

2.2　齒面分析

輪齒承載接觸分析技術是在載荷作用下對齒輪的嚙合過程進行高精度的計算機仿真，以獲得設計齒輪在擬真實工況條件下的工作性能的一個重要手段，LTCA計算得到承載傳動誤差是分析齒輪動態(tài)性能(振動、噪聲)的一個參數，LTE波動越小齒輪嚙合動態(tài)性能一般越好.這里采用LTCA進行斜齒輪拓撲修形分析，而LTCA是建立在TCA基礎上的，因此需要同時研究TCA技術.

建立如圖4所示的TCA分析坐標系，Sa1和Sa2是輔助坐標系，不隨齒輪轉動且互相平行，用于表示軸線角誤差.其中固定坐標系Ss的Zs軸與大輪的回轉軸重合.在固定坐標系中，大小輪配對齒面在嚙合傳動時嚙合點位矢及單位法矢必定相同，由此可得到如下TCA分析方程.

M(φ1,γ1,γ2)s1φ=M(φ2)s2r2

(10)

M(φ1,γ1,γ2)s1φ=M(φ2)s2n2

(11)

式(10)～(11)中M(φ1,γ1,γ2)s1和M(φ2)s2分別表示小輪和大輪坐標系到固定坐標系的變換矩陣，φ1和φ2是大小輪的瞬時轉角，γ1和γ2是不同方向的軸線角誤差.由于n1r和n2為單位法矢，所以構成了5個獨立方程，結合大小輪展成過程中的嚙合方程可以得到嚙合點.進一步可以獲得各接觸橢圓的長軸及齒面間隙.

圖4　TCA坐標系

式(12)中F為接觸輪齒的法向柔度矩陣；P為傳遞力矩計算得到的齒面法向力；p和d分別為齒對沿接觸橢圓長軸離散點構成的法向載荷向量及變形后的齒面間隙向量，w為沿接觸橢圓長軸離散點變形前的齒面間隙向量，Z為輪齒的法向位移向量，pj和dj為沿接觸橢圓長軸的離散法向載荷及變形后的齒面間隙.

在TCA基礎上進行承載接觸(LTCA)分析，接觸分析方程為

(12)

在此基礎上可以得到承載接觸分析數學規(guī)劃模型[9]，F采用有限元計算獲得，w由TCA計算獲得，P由傳遞力矩計算得到，由此求解承載接觸分析數學規(guī)劃模型獲得參數p、d、Z.將Z轉化為大輪轉角，即可得到承載傳動誤差.

3　斜齒輪齒廓修形參數

斜齒輪齒廓拓撲修形包括齒廓修形和齒向修形，首先研究齒廓修形問題.齒輪的基本參數為:小輪齒數30，大輪齒數45，法面模數6，壓力角20°，螺旋角15°，傳遞力矩750 N·m-1.設計圓弧半徑R=K1×mn，mn為法向模數，為了不影響接觸強度，圓弧半徑不應太小.設計c=K2×mn,其中K2=0時圓弧齒廓切點在齒條刀具節(jié)線位置，K2越大表示圓弧齒廓切點離齒條刀具節(jié)線越遠.

通過仿真發(fā)現：當圓弧半徑R過小時會產生齒側邊緣接觸，而且傳動誤差和齒面接觸應力都比較大；當圓弧半徑R太大時，齒廓修形量太小時，又會造成齒頂邊緣接觸.綜合考慮取R=250mn，且取c=0，使鼓形中間區(qū)的大小輪嚙合點都在分度圓上.

4　軸線角誤差的斜齒輪齒向修形

實際齒輪安裝時一般都會存在軸線角誤差，由于不同軸線角誤差需要的修形是不同的，所以需要研究不同軸線角誤差下的不對稱的修形問題，以便齒輪副在實際安裝工況下取得較好的傳動性能.鑒于齒向修形參數對承載傳動誤差影響較大，所以這里齒廓修形參數取前面的值，只研究齒向修形的修形量和修形長度對傳動誤差的影響，從而確定合理的修形參數.

對于高精度齒輪ISO推薦齒向鼓形最大修形量為：10～25 μm，這里我們取最大修形量為10 μm和25 μm兩種情況進行研究.

4.1　軸線角誤差γ1的修形

以Ya2Za2投影面內軸線角誤差γ1取0.05′為例，b為齒寬，左右兩端最大修形長度分別取0.1b、0.2b、0.3b、0.4b和0.5b，左右兩端最大修形量分別取(δLmax=0.010 mm,δRmax=0.010 mm)、(δvLmax=0.025 mm,δRmax=0.025 mm)、(δLmax=0.010 mm,δRmax=0.025 mm)和(δLmax=0.025 mm,δRmax=0.010 mm)四種情況進行LTCA仿真，其中一種情況的仿真結果如圖5所示，四種情況的最小傳動誤差波動見表1.

圖5　軸線角誤差γ1為0.05′時LTE波動量(δLmax =0.010,δRmax =0.025)

從圖5可以看出，TLE波動量隨最大修形長度及最大修形量變化關系比較復雜，但左右最大修形長度都為0.5b時TLE波動量最大，這是最不利的傳動情況.

表1 　γ1為0.05′時LTE波動量

從表1可以看出，四種情況所對應的最小LTE波動量相差很小，最小LTE波動量對應的最大修形長度相同(左端最大修形長度0.3b、右端最大修形長度0.2b)，說明取最大修形長度不對稱的設計可以取得最好的傳動性能.

根據表1確定合理的修形參數為：左端最大修形長度0.3b、右端最大修形長度0.2b、左右兩端最大修形量均為0.025 mm，此時承載傳動誤差最大波動量為0.291 8，與未修形相比承載傳動誤差最大波動量減少了42.85%(未修形時LTE最大波動量為0.510 6)，修形結果表明該修形方案可以提高傳動性能.該組參數仿真得到傳動誤差及載荷分配系數如圖6所示，從圖6中可以看出LTE波動小，主要承載區(qū)域在齒面中間，兩側區(qū)域沒有承載，說明還有富裕的承載能力，可以傳遞更大的力矩.

4.2　軸線角誤差γ2的修形

以Xa2Za2投影面內軸線角誤差γ2取0.05′為例，左右兩端最大修形長度分別取0.1b、0.2b、0.3b、0.4b和0.5b，左右兩端最大修形量同樣采用情況進行LTCA仿真，其中一種情況的仿真結果如圖7所示，四種情況的最小傳動誤差波動見表2.

圖6　軸線角誤差γ1為0.05′時齒輪嚙合性能

圖7　軸線角誤差γ2為0.05′時LTE波動量

從圖7可以看出，TLE波動量隨最大修形長度及最大修形量變化關系比較復雜，但左右修形長度都為0.5b時TLE波動量最大，這是最不利的傳動情況.從表2可以看出，四種情況所對應的最小LTE波動量各不相同，取最大修形量不對稱(左端最大修形量0.010 mm、右端最大修形量0.025 mm)的設計可以取得最好的傳動性能.

表2　γ2為0.05′時LTE波動量

根據表2確定合理的修形參數為：左右兩端最大修形長度均為0.3b、左端最大修形量0.010 mm、右端最大修形量0.025 mm，此時承載傳動誤差最大波動量為0.282 0，與未修形相比承載傳動誤差最大波動量減少了53.47%(未修形時LTE最大波動量為0.606 1)，修形結果表明該修形方案可以提高傳動性能.該組參數仿真得到傳動誤差及載荷分配系數如圖8所示.從圖8可以看出LTE波動小，主要承載區(qū)域在齒面中間，兩側區(qū)域沒有承載，可以傳遞更大的力矩.

圖8　軸線角誤差γ2為0.05′時嚙合性能

5　結 論

1) 提出了軸線角誤差的斜齒輪拓撲修形新方案，用圓弧齒廓刀具展成加工齒輪，齒向采用高階非對稱鼓形修形.

2) 當軸線角誤差γ1為0.05′時采用最大修形長度不對稱的設計承載傳動誤差最大波動量減少了42.85%，當軸線角誤差γ2為0.05′時采用最大修形量不對稱的設計承載傳動誤差最大波動量減少了53.47%.存在軸線角誤差時采用合理的齒向不對稱修形參數能有效減少承載傳動誤差波動量，提高齒輪副的嚙合性能.

3) 下一步將研究修形參數的優(yōu)化設計問題，使存在軸線角誤差的斜齒輪獲得最佳的嚙合性能.

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(in Chinese)