函數(shù)圖像在解題中的應(yīng)用

■河南省許昌高級(jí)中學(xué) 張文龍

函數(shù)圖像在高中函數(shù)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用其實(shí)是非常普遍的,其目的主要是提高解題速度和解題的準(zhǔn)確性。本文主要就筆者的切身經(jīng)驗(yàn)談?wù)労瘮?shù)圖像在解題中的幾種應(yīng)用。

題型一：在集合問題中的應(yīng)用

例1若集合M=,集合N=且則b的取值范圍為。

解析：若(x,y)滿足集合,則賦予幾何意義后可知,點(diǎn)(x,y)在半圓x2+y2=9(0＜y≤1)上移動(dòng),問題轉(zhuǎn)化為：直線y=x+b與半圓x2+y2=9(0＜y≤1)有公共點(diǎn)。

集合M表示以3為半徑的圓在x軸上方的部分,集合N則表示一條直線,其斜率k=1,縱截距為b,如圖1所示。欲使M∩N≠?,即直線y=x+b與半圓有公共點(diǎn),由圖形可知,b的最小逼近值是-3,最大值是

圖1

評(píng)注：將代數(shù)形式的解析式賦予幾何意義,利用函數(shù)圖像的性質(zhì)來解決代數(shù)問題,這是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)重要體現(xiàn),在解題中應(yīng)注意適當(dāng)使用。

題型二：在方程問題中的應(yīng)用

例2已知函數(shù)f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )。

C.(1,2) D.(2,+∞)

解析：畫出f(x)=|x-2|+1的圖像,如圖2所示。

由圖可知,若方程f(x)=g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根,則函數(shù)g(x)與f(x)的圖像應(yīng)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。

圖2

函數(shù)y=kx的圖像恒過坐標(biāo)原點(diǎn),斜率為k。由圖2可知,當(dāng)1＜k＜1時(shí),兩函數(shù)圖2像有兩個(gè)交點(diǎn),即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根。故選B。

評(píng)注：此類方程解的個(gè)數(shù)或函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題可利用函數(shù)的單調(diào)性或轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù),然后根據(jù)圖像的直觀性得到結(jié)果。所以能熟練并精準(zhǔn)地作出常見函數(shù)的圖像是解題的關(guān)鍵。

題型三：在有關(guān)函數(shù)性質(zhì)問題中的應(yīng)用

例3用min{a,b,c}表示a,b,c三個(gè)數(shù)中的最小值。設(shè)f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),則f(x)的最大值為( )。

A.4 B.5 C.6 D.7

解析：令2x=x+2?x1＜0(舍)或x2=2。

令2x=10-x,即2x+x=10,則2＜x＜3。

可知f(x)的大致圖像如圖3中的實(shí)線所示,即f(x)≤6。故選C。

評(píng)注：數(shù)形結(jié)合的思想就是用“形”的直觀來反映“數(shù)”的性 質(zhì),同 時(shí),用“數(shù)”的簡(jiǎn)練來展現(xiàn)“形”中的性質(zhì)。對(duì)于求函數(shù)的最值問題,利用數(shù)形結(jié)合去解決,把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的圖形關(guān)系,使問題得到快速解答。

圖3

題型四：在不等式問題中的應(yīng)用

例4設(shè)f(x)=x2-2ax+2,當(dāng)x∈[-1,+∞)時(shí),f(x)＞a恒成立,求a的取值范圍。

解法1：由f(x)＞a在[-1,+∞)上恒成立?x2-2ax+2-a＞0在[-1,+∞)上恒成立。

考查函數(shù)g(x)=x2-2ax+2-a的圖像在[-1,+∞)上的兩種情況,如圖4和圖5所示。

圖4

圖5

綜上所述：a∈(-3,1)。

解法2：由f(x)＞a?x2+2＞a(2x+1),令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)數(shù)函數(shù)的圖像。

圖6

如圖6,滿足條件的直線l位于l1與l2之間,而直線l1、l2對(duì)應(yīng)的a值(即直線的斜率)分別為1,-3,故a的取值范圍為(-3,1)。

評(píng)注：解決含參數(shù)的不等式問題,常利用參數(shù)分離、構(gòu)造函數(shù)等方法,把握數(shù)形結(jié)合思想,借助于圖像的直觀性和函數(shù)的性質(zhì)尋求突破,得出所滿足的關(guān)系式。

其實(shí)函數(shù)圖像在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用是非常廣泛的。有時(shí)候它能夠有效地提升我們的解題速度,但前提是同學(xué)們必須掌握各種函數(shù)的基本性質(zhì),對(duì)于函數(shù)的相關(guān)模型要有充分的理解。這就需要同學(xué)們多做相關(guān)的習(xí)題進(jìn)行針對(duì)性的練習(xí),平時(shí)要多加思考。