例析基本不等式中“1”的代換及應(yīng)用

■南京市程橋高級(jí)中學(xué) 李素文

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)以專題形式展開,將知識(shí)、方法、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行梳理,使同學(xué)們擁有體系化知識(shí)架構(gòu)和建立常見(jiàn)題型的解題模式,提高同學(xué)們的能力。高三復(fù)習(xí)注重課本的回歸,在復(fù)習(xí)基本不等式時(shí),筆者針對(duì)基本不等式中“1”的代換及應(yīng)用進(jìn)行了總結(jié)歸類,開展針對(duì)性訓(xùn)練,化解同學(xué)們眼中的難點(diǎn)。

一、直接用“1”的代換

例1已知正數(shù)x,y滿足x+2y=1,

分析：直接對(duì)乘以1,然后將“1”換成條件中的公式,展開化簡(jiǎn),利用基本不等式求最值。

解：因?yàn)閤＞0,y＞0,所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立。

變式：已知正數(shù)x,y滿足則x+2y的最小值為___。

解析：因?yàn)閤＞0,y＞0,所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立。

所以x+2y的最小值為

二、變換條件用“1”的代換

例2已知a＞0,b＞0,a+b=2,則的最小值為___。

分析：已知條件a+b=2中,雖然沒(méi)有出現(xiàn)“1”的等式,但通過(guò)變形可以化為

解：因?yàn)閍＞0,b＞0,由a+b=2,得

三、構(gòu)造條件用“1”的代換

例3已知a＞b＞0,a+b=1,則的最小值為____。

分析：條件已經(jīng)給出了“1”的等式,若按照例1的方法去做,不能轉(zhuǎn)化成兩數(shù)的和為定值的形式,因而不能利用基本不等式。轉(zhuǎn)換思路,利用換元法求解。令m=a-b,n=2b,則,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：已知m＞0,n＞0,m+n=1,求的最小值。形式與例1相似。

四、基本不等式“1”的代換的綜合應(yīng)用

1.與函數(shù)的結(jié)合。

例4已知函數(shù)y=ax+b(b＞0)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,3),如圖1所示,則的最小值 為。

圖1

分析：由條件知a+b=3,a＞1,b＞0。要求的最小值,通過(guò)換元法,令m=a-1,n=b,問(wèn)題進(jìn)而轉(zhuǎn)化為：已知m＞0,n＞0,m+n=2,求的最小值。解答過(guò)程同例2。

2.與立體幾何的結(jié)合。

例5如圖2,設(shè)正四面體ABCD的棱為棱AB上任意一點(diǎn)(不與A,B點(diǎn)重合),且點(diǎn)P到平面ACD,平面BCD的距離分別為x,y,則的最小值為。

長(zhǎng)為

圖2

分析：如圖3,連接PC,PD,由VA-BCD=VP-ACD+VP-BCD,即化簡(jiǎn)整理得x+y=2。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：已知x＞0,y＞0,x+y=2,求的最小值。解答過(guò)程同例2。

3.與解析幾何的結(jié)合。

例6若直線ax-by+2=0(a＞0,b＞0)被圓x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦長(zhǎng)為4,則的最小值為。

分析：由題意知,直線ax-by+2=0(a＞0,b＞0)過(guò)圓心(-1,2),得到a+2b=2,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：已知a+2b=2,a＞0,b＞0,求的最小值。解答過(guò)程同例2?；静坏仁街小?”的代換及應(yīng)用,對(duì)同學(xué)們來(lái)說(shuō)是難點(diǎn),究其原因是同學(xué)們沒(méi)有理解利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是必須湊成常數(shù),滿足“一正、二定、三相等”的條件。