構(gòu)造法在導(dǎo)數(shù)問題中的應(yīng)用

■河南省許昌實(shí)驗(yàn)中學(xué) 魏 瑋

當(dāng)導(dǎo)數(shù)問題使用通常方法按照定向思維難以解決時(shí),同學(xué)們可以根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征來構(gòu)造新函數(shù),從而使原問題中隱含的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的函數(shù)中清晰地展現(xiàn)出來。通過進(jìn)一步研究新函數(shù)的性質(zhì),方便快捷地解決數(shù)學(xué)問題。

下面,我們以具體問題為例,來詳細(xì)闡述構(gòu)造法的應(yīng)用。

一、構(gòu)造法解決抽象函數(shù)問題

例1已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),e為自然對數(shù)的底數(shù),若f'(x)lnx＞

則( )。

A.f(2)＜f(e)ln2,2f(e)＞f(e2)

B.f(2)＜f(e)ln2,2f(e)＜f(e2)

C.f(2)＞f(e)ln2,2f(e)＜f(e2)

D.f(2)＞f(e)ln2,2f(e)＞f(e2)

分析：條件是與f(x)、導(dǎo)函數(shù)f'(x)有關(guān)的不等式,其形式可看作“f'(x)g(x)-f(x)g'(x)＞0”。結(jié)合選項(xiàng)特點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則,可構(gòu)造新函數(shù)

解：令則因?yàn)閒'(x)lnx＞即所以函數(shù)F(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)。所以F(e)＞F(2),F(e)＜F(e2),即,得2f(e)＜f(e2)。故選B。

二、構(gòu)造法解決函數(shù)極值問題

例2若函數(shù)f(x)=xlnx-ax2有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的范圍是。

分析：函數(shù)f(x)=xlnx-ax2有兩個(gè)極值點(diǎn),故f'(x)=lnx-2ax+1在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn),解決該導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問題,可以有兩種構(gòu)造方法：

解法1：對導(dǎo)函數(shù)二次求導(dǎo),研究其性質(zhì)。

由題意得f'(x)=lnx-2ax+1在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)。設(shè)g(x)=lnx-2ax+1,則

當(dāng)a≤0時(shí),g'(x)＞0,此時(shí),g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,顯然不符合題意;

當(dāng)a＞0時(shí),由g'(x)＞0得所以g(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減。

解法2：把導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題。

由題意得f'(x)=lnx-2ax+1在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)?？梢园裦'(x)=lnx-2ax+1看作函數(shù)y=lnx與y=2ax-1的差。在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖像,如圖1所示。

圖1

三、構(gòu)造法解決不等式證明問題

例3證明：當(dāng)m＞n＞0時(shí),(1+m)n＜(1+n)m。

分析：直接證明不等式難度較大,我們可以把不等式(1+m)n＜(1+n)m兩邊同時(shí)取對數(shù),可得nln(1+m)＜mln(1+n),故可構(gòu)造函數(shù)那么問題就變成了“證明：當(dāng)m＞n＞0時(shí),f(m)＜f(n)”。只需研究函數(shù)0)的單調(diào)性,問題便可迎刃而解。

證明：要證(1+m)n＜(1+n)m,只需證nln(1+m)＜mln(1+n)。

令g(x)=x-(x+1)ln(x+1),則g'(x)=-ln(x+1)。當(dāng)x＞0時(shí),g'(x)＜0,故g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,恒有g(shù)(x)＜g(0)=0。所以在(0,+∞)上,恒有則f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減。因?yàn)閙＞n＞0,所以f(m)＜f(n),故原不等式成立。

四、轉(zhuǎn)化函數(shù)形式,構(gòu)造新函數(shù)

例4設(shè)函數(shù)證明：f(x)＞1。分析：如果研究函數(shù)f(x)=exlnx+的性質(zhì),導(dǎo)函數(shù)復(fù)雜且難以確定f(x)的極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間。我們換個(gè)角度,把不等式變形為研究g(x)=xlnx和h(x)=的函數(shù)性質(zhì),思路就變得簡單清晰。

證明：已知從而f(x)＞1等價(jià)于

設(shè)g(x)=xlnx,則g'(x)=1+lnx。

綜上：當(dāng)x＞0時(shí),g(x)＞h(x)恒成立,所以f(x)＞1。

構(gòu)造法是數(shù)學(xué)思想中化歸思想的具體運(yùn)用,它不僅可以運(yùn)用在導(dǎo)數(shù)問題中,在函數(shù)的零點(diǎn)、不等式恒成立、數(shù)列等問題中都有廣泛應(yīng)用。在解決具體問題的過程中,關(guān)鍵是要抓住反映問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,從新的觀點(diǎn)去觀察、分析、理解對象,用題中的條件為原材料,在思維中構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)對象。