淺談函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的創(chuàng)新試題的類型及解題思路

■河南省許昌實(shí)驗(yàn)中學(xué) 宋金旺

在近幾年的全國及各地的高考試題中,創(chuàng)新型試題不斷出現(xiàn),給人耳目一新的感覺,究其實(shí)質(zhì),基本是以函數(shù)的圖像性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)為平臺(tái),構(gòu)造出新穎的題目,大體可以分為四類：(1)新定義新概念型;(2)新的運(yùn)算符號(hào)型;(3)以函數(shù)的某些特征定義函數(shù)的新的性質(zhì)型;(4)結(jié)合試題特點(diǎn)創(chuàng)新解題方法和解題過程型。這就要求同學(xué)們?cè)谑炀氄莆蘸瘮?shù)圖像、函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)上認(rèn)真閱讀題目,理解題設(shè)要求和符號(hào)含義,收集整理有效信息,將問題適時(shí)轉(zhuǎn)化為已知問題加以解決。

一、新定義新概念型創(chuàng)新試題

解決此類問題時(shí),同學(xué)們結(jié)合題設(shè)條件,將所給定義符號(hào)恰當(dāng)轉(zhuǎn)化為已知問題加以處理即可。

例1對(duì)于函數(shù)f(x)和g(x),設(shè)α∈{x∈R|f(x)=0},β∈{x∈R|g(x)=0},若存在α,β使|α-β|≤1成立,則稱f(x)與g(x)互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”,若f(x)=ex-1+x-2與g(x)=x2-ax-a+3是“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”,則a的取值范圍是( )。

解析：依題意知α是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根,由ex-1+x-2=0解得唯一解x=1,所以α=1。又由于|α-β|≤1,即|β-1|≤1,所以0≤β≤2。而β是函數(shù)g(x)=x2-ax-a+3的零點(diǎn),即函數(shù)g(x)=x2-ax-a+3在x∈[0,2]內(nèi)有零點(diǎn)。

圖1

在圖2中只需g(0)g(2)≤0,即(3-a)·(7-3a)≤0,解得

綜上,得a的取值范圍是[2,3]。

圖2

歸納總結(jié)：由于函數(shù)的零點(diǎn)是定值,所以本題的實(shí)質(zhì)是二次函數(shù)根的分布問題,即g(x)=x2-ax-a+3在x∈[0,2]內(nèi)有零點(diǎn),分別討論g(x)=x2-ax-a+3在x∈[0,2]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)零點(diǎn)的情況。而Δ=a2-4(a-3)＞0,所以分兩種情況討論即可。此類問題將新定義新概念恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化為已知問題,用已有的知識(shí)將問題表示出來。

二、定義新運(yùn)算符號(hào)型創(chuàng)新試題

此類試題的特點(diǎn)是重新定義新的運(yùn)算符號(hào)對(duì)代數(shù)式進(jìn)行運(yùn)算。求解此類試題,同學(xué)們應(yīng)理解運(yùn)算符號(hào)的實(shí)質(zhì)含義,并將其轉(zhuǎn)化為常規(guī)數(shù)學(xué)運(yùn)算模式,對(duì)問題進(jìn)行解決。

例2對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,定義運(yùn)算“☉”,設(shè)函數(shù)f(x)=(2x-1)☉(x-1),若關(guān)于x的方程f(x)-k=0有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根x1,x2,x3,則x1x2x3的取值范圍是____。

解析：由題意知,當(dāng)2x-1≤x-1,即x≤0時(shí),f(x)=-(2x-1)2-(2x-1)·(x-1)=2x2-x;當(dāng)2x-1＞x-1,即x＞0時(shí),f(x)=(x-1)2-(2x-1)(x-1)=-x2+x,所以即將問題轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),方程f(x)-k=0的根實(shí)質(zhì)上是直線y=k與函數(shù)y=f(x)的圖像交點(diǎn)橫坐標(biāo),本題的目標(biāo)是求兩曲線交點(diǎn)橫坐標(biāo)的積的范圍。如圖3所示,當(dāng)x＞0時(shí),方程-x2+x=k的兩根為x2,x3,則x2x3=k,x2+x3=1,其中所以

當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=2x2-x,則x0＜x1＜0,由,解得所以

歸納總結(jié)：本題將新運(yùn)算轉(zhuǎn)化為普通運(yùn)算后,所求問題變成求分段函數(shù)與直線的交點(diǎn)問題,可借助函數(shù)圖像加以解決。

圖3

三、構(gòu)造函數(shù)的新性質(zhì),判斷一系列函數(shù)是否具有該性質(zhì)及相關(guān)問題

例3已知函數(shù)y=f(x),x∈R,對(duì)于函數(shù)y=g(x),x∈D,定義：y=g(x)關(guān)于y=f(x)的“對(duì)稱函數(shù)”為y=h(x),x∈D。h(x)滿足：對(duì)于任意x∈D,兩個(gè)點(diǎn)(x,h(x))和(x,g(x))關(guān)于點(diǎn)(x,f(x))對(duì)稱。

若h(x)是關(guān)于f(x)=3x+b的“對(duì)稱函數(shù)”且h(x)＞g(x)恒成立,

則實(shí)數(shù)b的取值范圍是____。

圖4

解析：易知y=g(x)的圖像是以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的半圓,如圖4所示。由“對(duì)稱函數(shù)”定義可知(x0,h(x0))與(x0,g(x0))的中點(diǎn)是(x0,f(x0)),?x∈[-2,2],恒有h(x0)+

g(x0)=2f(x0)成立,所以h(x0)=2f(x0)-g(x0)＞g(x0),所以f(x0)＞g(x0)。

所以直線f(x)=3x+b在y=g(x)的圖像的上方,且與半圓相離,從而可得所以

所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是

歸納總結(jié)：關(guān)于新定義的函數(shù)性質(zhì)的實(shí)質(zhì)仍是函數(shù)的某種特性的另類表達(dá)形式,讀懂題意將其轉(zhuǎn)化為已知的函數(shù)圖像性質(zhì)加以解決即可。

四、解題方法與過程的創(chuàng)新,結(jié)合題設(shè)條件和數(shù)值特點(diǎn),將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為其他知識(shí)體系,運(yùn)用相關(guān)知識(shí)加以解決

例4已知函數(shù)

f(x)=的圖像上有且僅有三對(duì)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___。

解析：要使函數(shù)y=f(x)的圖像上有三對(duì)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,只需使函數(shù)y=logax(x＞0)關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)y=loga(-x)(x＜0)與有且僅有三個(gè)交點(diǎn),該交點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)必在y=logax(x＞0)的圖像上。

圖5

如圖5所示,要使y=logax,x＜0與y=有且僅有三個(gè)交點(diǎn),則解得故實(shí)數(shù)a的取值范圍是

歸納總結(jié)：抓住題設(shè)條件的數(shù)值特點(diǎn)和結(jié)構(gòu)特征發(fā)散思維,合理想象,適時(shí)轉(zhuǎn)化是培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識(shí)的重要途徑。