積分原理在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

楊虎成

[摘要]微積分是高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)范疇.在初中數(shù)學(xué)中滲透一些積分思想，能降低解題難度，開闊學(xué)生視野.

[關(guān)鍵詞]積分原理；初中數(shù)學(xué)；應(yīng)用

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）05002602

微積分是高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)范疇，但在初中數(shù)學(xué)中有時也可滲透一些積分思想.下面舉例談?wù)勎覀冊趯嶋H教學(xué)活動中用到的積分思想，希望能對讀者有所啟示.

一、背景

在學(xué)習(xí)一元二次方程及平移之后，經(jīng)常會出現(xiàn)下面這樣一道題.

【例1】如圖1，在寬為20m、長為30m的長方形花園中，要修建兩條同樣寬的矩形道路，余下部分進行綠化，綠化部分面積為551平方米，請求出小路的寬度.

分析與解答：學(xué)生有兩種做法.第一種方法是用長方形的面積減去兩條道路的面積等于551平方米（要注意中間兩條道路重疊的地方中能計算一次面積）.具體解法為：設(shè)路寬為x米，列方程20×30-30x-20x+x2=551，解得x1=1，x2=49（舍去），得出小路寬為1米；

另一種解法為平移法.即將圖1中的兩條道路平移成圖

2中靠邊的兩條道路，這樣計算就簡單了，不需要考慮重疊部分計算兩次的問題，只須計算出左下塊矩形面積即可.具體解法為：設(shè)路寬為x米，列方程（30-x）（20-x）=551，解得x1=1，x2=49（舍去）.

[點評]此類題通過平移轉(zhuǎn)化成單純求剩下部分（矩形）的面積，大大降低了難度，不失為一種好方法.

二、引入

正是基于“平移”這種方法，學(xué)生才在學(xué)習(xí)中不自覺地將下面一題用平移來做.

【例2】如圖3，有一塊長30m，寬20m的矩形花園，現(xiàn)要在內(nèi)修一條等寬（EH=FG）的人行通道，方便行人通過，其余部分種植草皮，要使草皮面積為551平方米，求路寬EH.

誤區(qū)：學(xué)生會將圖3中的道路EFGH平移成圖4情形，然后計算出圖4中的矩形ABFE的面積.

分析與解答：1.這種做法的結(jié)果是對的.因為圖3中的平行四邊形EFGH與圖4中的矩形EFGH面積是相等的（同底等高類型）.2.這種理解成平移的方法是錯的.是因為平移是不改變圖形的形狀和大小的，而從圖3中的平行四邊形EFGH平移到圖4中成了矩形EFGH，改變了圖形的形狀.3.具體解法：由于圖3中平行四邊形的面積等于圖4中矩形EFCD的面積（同底等高），設(shè)路寬為x米，列方程（30-x）（20-x）=551，解得x1=1，x2=49（舍去）.

[點評]解此類題時可以借用平移的方法，將圖3的平行四邊形道路轉(zhuǎn)變成圖4中矩形面積.必須指出，它們是同底等高，面積相等，否則會使人產(chǎn)生誤解.

三、拓展

1.思考：可不可以用上面例2的經(jīng)驗解決下面這種類型的試題？

【例3】如圖5，在長32米、寬20米的矩形ABCD草坪上建有一條等寬的彎曲小路，若草坪實際面積為540平方米，求小路的寬度.

誤區(qū)：學(xué)生會認為圖5中的小路是曲線，不同于例2中的平行四邊形，因此不能用例2的方法來解決.

分析：可以將圖5中的曲線分成若干個平行四邊形（如圖6），每個平行四邊形都可以按照前面例2的辦法平移至矩形草坪右邊，這樣無數(shù)多個平行四邊形都移到右邊，便成了圖7中的矩形EFGH.因此，圖7中矩形ABFE的面積等于540平方米.具體解法為：設(shè)路寬為x米，列方程（30-x）×20=540，從而可得出正確結(jié)果.

[點評]將曲線路劃分成無數(shù)多個平行四邊形，這些平行四邊形的面積就等同于曲線小路的面積，其實就是高等數(shù)學(xué)中的積分思想.雖然學(xué)生不知高等數(shù)學(xué)中微積分知識，但學(xué)生發(fā)揮其豐富的想象力，是可以理解這種面積的轉(zhuǎn)變方法的.

2.應(yīng)用

有了上面知識的鋪墊，我們就可以解決下面這道題.

【例4】如圖8，在長32米、寬20米的矩形草坪上建兩條等寬的彎曲小路，

若草坪實際面積為540平方米，求小路的寬度.

分析：根據(jù)上面例3的積分原理，可以將圖8中的兩條小路平移至圖9中陰影部分的位置，利用“剩下部分的面積等于540平方米”來列方程求解.其解法為：設(shè)小路寬為x米，列方程（32-x）（20-x）=540，解得x1=2，x2=50（舍去）.故小路寬為2米.

[點評]借助平移和積分思想解決此類問題，會給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來便捷.只要在日常的學(xué)習(xí)中不斷加強練習(xí)，學(xué)生對此類問題便會得心應(yīng)手.

（責(zé)任編輯黃桂堅）