電磁感應(yīng)與動力學(xué)綜合問題探究

■江蘇省響水中學(xué)　

處理電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的動力學(xué)問題的基本方法和思路是:先由法拉第電磁感應(yīng)定律確定閉合電路中的感應(yīng)電動勢,再根據(jù)歐姆定律確定感應(yīng)電流,然后根據(jù)F=BIL確定安培力,最后根據(jù)動力學(xué)運(yùn)動規(guī)律(牛頓第二定律、動能定理、動量定理、功能關(guān)系等)求解相關(guān)動力學(xué)問題。

圖1

例1 如圖1所示,兩條互相平行的光滑金屬導(dǎo)軌位于水平面內(nèi),間距l(xiāng)=0.2m,導(dǎo)軌的一端接有阻值R=0.5Ω的電阻,在x≥0的范圍內(nèi)有一與水平面垂直的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T。一質(zhì)量m=0.1kg的金屬直桿垂直放置在導(dǎo)軌上,并以v0=2m/s的初速度進(jìn)入磁場,在安培力和一垂直于金屬桿的水平外力F的共同作用下做勻變速直線運(yùn)動,加速度a=2m/s2,方向與初速度方向相反。設(shè)導(dǎo)軌和金屬桿的電阻都可以忽略,且接觸良好。求:

(1)電流為零時,金屬桿所處的位置。

(2)電流為最大值的一半時,施加在金屬桿上外力F的大小和方向。

(3)保持其他條件不變,而初速度v0取不同值,求開始時外力F的方向與初速度v0取值的關(guān)系。

分析:金屬桿在水平外力F和安培力的共同作用下做勻變速直線運(yùn)動,加速度的方向向左。金屬桿的運(yùn)動過程為向右的勻減速運(yùn)動→速度為零→向左的勻加速運(yùn)動;判斷外力F的方向需要先假設(shè),再根據(jù)計(jì)算結(jié)果的正負(fù)號進(jìn)行判斷。

解:(1)金屬桿切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E=Blv,感應(yīng)電流,因?yàn)楫?dāng)I=0時v=0,所以m,即金屬桿處于x=1m處。

(2)當(dāng)金屬桿的速度取最大速度v0時,金屬桿中有最大電流;當(dāng)金屬桿中電流時,金屬桿受到的安培力當(dāng)金屬桿向右運(yùn)動時有F+F安=ma,解得F=0.18N,方向水平向左;當(dāng)金屬桿向左運(yùn)動時有FF安=ma,解得F=0.22N,方向水平向左。

(3)金屬桿剛開始運(yùn)動時有v=v0,F安=,F+F=ma,解得F=安當(dāng)時,F＞0,方向水平向左;當(dāng)v0＞10m/s時,F＜0,方向水平向右;當(dāng)v0=10m/s時,F=0,不滿足題意。

以題說法:純力學(xué)問題中只涉及重力、彈力、摩擦力,電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的力學(xué)問題比純力學(xué)問題多了一個安培力,其處理方法與純力學(xué)問題基本相同。此外,安培力的大小一般與導(dǎo)體切割磁感線的速度有關(guān),當(dāng)速度變化時,安培力也隨之變化,從而使導(dǎo)體的受力情況(如導(dǎo)體的彈力和相應(yīng)的摩擦力等)發(fā)生變化,而力的變化必然導(dǎo)致導(dǎo)體運(yùn)動狀態(tài)的變化。因此求解電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的動力學(xué)問題時,我們需要熟練掌握如圖2所示的變化規(guī)律。

圖2

例2 如圖3所示,豎直放置的兩根足夠長的光滑金屬導(dǎo)軌相距為L,導(dǎo)軌的上端分別與電源(串有一滑動變阻器R)、定值電阻、電容器(原來不帶電)和開關(guān)S相連。整個空間充滿了垂直于導(dǎo)軌平面向外的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一質(zhì)量為m、電阻不計(jì)的金屬棒MN橫跨在導(dǎo)軌上。已知電源電動勢為E,內(nèi)阻為r,電容器的電容為C,定值電阻的阻值為R0,不計(jì)導(dǎo)軌的電阻。

圖3

(1)當(dāng)開關(guān)S接1時,金屬棒在磁場中恰好保持靜止,則滑動變阻器接入電路的阻值R多大?

(2)當(dāng)開關(guān)S接2后,金屬棒從靜止開始下落,下落距離s時達(dá)到穩(wěn)定速度,則此穩(wěn)定速度為多大?金屬棒下落距離s所需的時間為多少?

(3)先把開關(guān)S接2,待金屬棒達(dá)到穩(wěn)定速度后,再將開關(guān)S接到3。試通過推導(dǎo)說明金屬棒此后的運(yùn)動性質(zhì),并求金屬棒再下落距離s時,電容器儲存的電能。(設(shè)電容器不漏電,且最終電容器沒有被擊穿)

分析:(1)當(dāng)開關(guān)S接1時,金屬棒在磁場中恰好保持靜止,說明金屬棒的重力與安培力平衡,由平衡條件和安培力公式列式,可求出電路中的電流,再根據(jù)歐姆定律可求出滑動變阻器a電路的阻值R。(2)當(dāng)開關(guān)S接2后,金屬棒從靜止開始下落,先做加速度減小的變加速運(yùn)動,待達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后,再做勻速運(yùn)動,根據(jù)重力的功率等于電功率列式可求出穩(wěn)定速度,根據(jù)動量定理和法拉第電磁感應(yīng)定律列式可求出時間。(3)金屬棒達(dá)到穩(wěn)定速度后,將開關(guān)S接到3,電容器開始充電,電路中有充電電流,金屬棒受到安培力,根據(jù)安培力的瞬時表達(dá)式和牛頓第二定律可求得瞬時加速度,即可判斷金屬棒的運(yùn)動性質(zhì)。根據(jù)能量守恒定律可求出電容器儲存的電能。

解:(1)當(dāng)開關(guān)S接1時,金屬棒在磁場中恰好保持靜止,根據(jù)平衡條件得mg=BIL,又有,解得。

(2)當(dāng)開關(guān)S接2后,金屬棒達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時做勻速運(yùn)動,則,又有感應(yīng)電動勢E'=BLv,解得。根據(jù)動量定理得,又有感應(yīng)電荷量,解得q=

(3)將開關(guān)S接到3時,電容器開始充電,電路中有充電電流,金屬棒受到向上的安培力,設(shè)金屬棒的瞬時加速度為a,根據(jù)牛頓第二定律得mg-BiL=ma,又有,得CBLa,即mg-BL·CBLa=ma,解得a=可見金屬棒的加速度不變,即金屬棒做勻加速直線運(yùn)動。當(dāng)金屬棒再下落距離s時,設(shè)金屬棒的速度為v',電容器儲存的電能為ΔE,則根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式得v'2-v2=2as,根據(jù)能量守恒定律得,解得

以題說法:在勻強(qiáng)磁場中做勻速運(yùn)動的導(dǎo)體棒受到的安培力恒定,可以用平衡條件進(jìn)行處理;在勻強(qiáng)磁場中做變速運(yùn)動的導(dǎo)體棒受到的安培力隨速度(電流)的變化而變化,變速運(yùn)動的瞬時速度可以用牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求解。在此類問題的求解過程中要畫好受力圖,并抓住a=0時,速度v達(dá)最大值的特點(diǎn)。若涉及始、末狀態(tài),以及力和作用時間,則用動量定理進(jìn)行處理;若涉及始、末狀態(tài),以及力、位移和熱量問題,則應(yīng)盡量應(yīng)用動能定理與能的轉(zhuǎn)化和守恒定律解決。能量的轉(zhuǎn)化和守恒是通過做功來實(shí)現(xiàn)的,安培力做功是聯(lián)系電能與其他形式的能的橋梁,利用能量觀點(diǎn)分析電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量問題,可以避開復(fù)雜過程細(xì)節(jié)的分析和變力功的計(jì)算。