合理運(yùn)用近似法
——以一道物理競(jìng)賽題為例

李小麗 敖勝美

(湖南師范大學(xué)物理與信息科學(xué)學(xué)院 湖南 長(zhǎng)沙 410081)

合理地運(yùn)用近似法，能夠使所研究的問(wèn)題大大地簡(jiǎn)化．但近似法也不能濫用，不適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用近似法不僅不能突出問(wèn)題的主要方面，反而會(huì)使物理問(wèn)題喪失其本質(zhì)屬性，分析所得結(jié)果可能與實(shí)際情形相差甚遠(yuǎn)．

本文以第29屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽中的一道電磁學(xué)試題為例，分析其近似法運(yùn)用的合理性，提出一點(diǎn)看法，并對(duì)參考解答給以修正．

1 試題及參考解答

圖1

圖2

解析：如圖2所示，當(dāng)長(zhǎng)直金屬桿在ab位置以速度v水平向右滑動(dòng)時(shí)，因切割磁感線，在金屬桿中產(chǎn)生由b指向a的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

ε=BLv

(1)

式中L為金屬桿在ab位置時(shí)與大圓環(huán)兩接觸點(diǎn)間的長(zhǎng)度，由幾何關(guān)系有

(2)

在金屬桿由ab位置滑動(dòng)到cd位置過(guò)程中，金屬桿與大圓環(huán)接觸的兩點(diǎn)之間的長(zhǎng)度L可視為不變，近似為2R1．將式(2)代入式(1)得，在金屬桿由ab滑動(dòng)到cd過(guò)程中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小始終為

ε=2BR1v

(3)

以I，I1和I2分別表示金屬桿、桿左和右圓弧中的電流，方向如圖2所示，以Uab表示a，b兩端的電壓，由歐姆定律有

Uab1=I1l1r0

(4)

Uab2=I2l2r0

(5)

式中l(wèi)1和l2分別為金屬桿左、右圓弧的弧長(zhǎng)．根據(jù)提示，l1和l2中的電流在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小分別為

(6)

(7)

B1方向豎直向上，B2方向豎直向下．

由式(4)～(7)可知整個(gè)大圓環(huán)電流在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

B0=B2-B1=0

(8)

無(wú)論金屬桿滑動(dòng)到大圓環(huán)上何處，上述結(jié)論都成立，于是在圓心處只有金屬桿的電流I所產(chǎn)生磁場(chǎng)．

圖3

在金屬桿由ab滑動(dòng)到cd的過(guò)程中，金屬桿都處在圓心附近，故金屬桿可近似視為無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線，由提示，金屬桿在ab位置時(shí)，桿中電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

(9)

方向豎直向下．對(duì)應(yīng)圖2的等效電路如圖3，桿中的電流

(10)

其中R為金屬桿與大圓環(huán)兩接觸點(diǎn)間這段金屬桿的電阻，R左和R右分別為金屬桿左右兩側(cè)圓弧的電阻，由于長(zhǎng)直金屬桿非?？拷鼒A心，故

Rab≈2R1r1R左=R右≈πR1r0

(11)

利用式(3)、(9)、(10)和式(11)可得

(12)

由于小圓環(huán)半徑R2?R1，小圓環(huán)圓面上各點(diǎn)的磁場(chǎng)可近似視為均勻的，且都等于長(zhǎng)直金屬桿在圓心處產(chǎn)生的磁場(chǎng). 當(dāng)金屬桿位于ab處時(shí)，穿過(guò)小圓環(huán)圓面的磁感應(yīng)通量為

(13)

當(dāng)長(zhǎng)直金屬桿滑到cd位置時(shí)，桿中電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小仍由式(13)表示，但方向相反，故穿過(guò)小圓環(huán)圓面的磁感應(yīng)通量為

(14)

在長(zhǎng)直金屬桿以速度v從ab移動(dòng)到cd的時(shí)間間隔Δt內(nèi)，穿過(guò)小圓環(huán)圓面的磁感應(yīng)通量的改變?yōu)?/p>

(15)

由法拉第電磁感應(yīng)定律可得，在小圓環(huán)中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為大小為

(16)

在長(zhǎng)直金屬桿從ab移動(dòng)cd過(guò)程中，在小圓環(huán)導(dǎo)線中產(chǎn)生的感應(yīng)電流為

(17)

于是，利用式(12)和式(17)，在時(shí)間間隔Δt內(nèi)通過(guò)小環(huán)導(dǎo)線橫截面的電荷量為

(18)

2 賞析

此題是一道綜合性很強(qiáng)的物理競(jìng)賽題，從題目中描述的物理過(guò)程、提示中給出的公式和參考解答過(guò)程都可見(jiàn)其牽涉的物理知識(shí)面之廣，對(duì)學(xué)生分析理解、綜合應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力的要求之高．

從知識(shí)點(diǎn)來(lái)看，此題包括了直流電路的概念及計(jì)算、電流激發(fā)磁場(chǎng)的規(guī)律(一般高中物理未學(xué)，故在提示中給出，學(xué)生需即時(shí)理解并應(yīng)用)、場(chǎng)疊加原理、磁通量的概念及計(jì)算、電磁感應(yīng)的規(guī)律等．

從物理模型的運(yùn)用來(lái)看，此題主要涉及圓弧電流模型、長(zhǎng)直電流模型、理想電源模型、直導(dǎo)線在均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)模型等．

從處理物理問(wèn)題的方法來(lái)看，解答過(guò)程中多處使用了近似的方法，并且巧妙地采用等效的方法將磁場(chǎng)中滑動(dòng)的桿和靜止的大環(huán)轉(zhuǎn)化為等效直流電路，這種方法不僅是使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化，而且會(huì)令解題的思路更為清晰．

由此可見(jiàn)，此題注重考查的是學(xué)生綜合運(yùn)用電磁學(xué)相關(guān)知識(shí)和物理思維方法解決問(wèn)題的能力，的確是競(jìng)賽中一道很好的綜合題．

3 商榷——要合理地采用近似

由題干、提示和參考解答可以看到，處理這一具體物理問(wèn)題時(shí)做出了許多近似，最主要的有4處．

首先，在計(jì)算動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)時(shí)，近似地認(rèn)為滑動(dòng)過(guò)程中兩接觸點(diǎn)間金屬桿的長(zhǎng)度為不變值，且L≈2R1．這是由于考慮到式(2)的幾何近似和運(yùn)動(dòng)區(qū)間很小的因素，顯然這個(gè)近似處理是合理的．

其次，在計(jì)算金屬桿中電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)時(shí)，將金屬桿近似地視為長(zhǎng)直導(dǎo)線，從而就可利用提示中所給出的公式．這是由于滑動(dòng)過(guò)程中，金屬桿都在小圓環(huán)附近，場(chǎng)點(diǎn)到桿的距離遠(yuǎn)小于桿的長(zhǎng)度，無(wú)限長(zhǎng)近似也是合理的．

再者，在計(jì)算左、右大圓弧電流在小圓環(huán)處的磁場(chǎng)時(shí)，近似地都用圓心處的磁場(chǎng)替代了，這才會(huì)有二者疊加后為零的結(jié)果，如式(8)所見(jiàn)．這是題干中的條件R2?R1所致，也是一種合理的近似．

最后，在計(jì)算載流金屬桿的磁場(chǎng)通過(guò)小圓環(huán)的磁通量時(shí)，將磁場(chǎng)近似地視為勻強(qiáng)磁場(chǎng)．這純粹因?yàn)轭}干中“假設(shè)金屬桿和大圓環(huán)的電流在小圓環(huán)處產(chǎn)生的磁場(chǎng)均可視為勻強(qiáng)磁場(chǎng)”，這種近似是否合理呢？筆者認(rèn)為值得商榷．

我們認(rèn)為“假設(shè)金屬桿的電流在小圓環(huán)處產(chǎn)生的磁場(chǎng)可視為勻強(qiáng)磁場(chǎng)”(以下簡(jiǎn)稱“假設(shè)”)與題干中給的其他幾何條件矛盾．“假設(shè)”成立的條件應(yīng)該是圓環(huán)的幾何尺度遠(yuǎn)小于桿環(huán)間的距離，而不是參考解答中的R2?R1，且題干表明金屬桿是在小圓環(huán)附近運(yùn)動(dòng)的，故“假設(shè)”本身就不恰當(dāng)，由此所做的近似也是不合理的．

4 對(duì)參考解答的修正

上面我們分析了由“假設(shè)”所做的近似的不合理性，由此可以判斷參考解答的最后結(jié)果也會(huì)有誤．下面我們嘗試不依照“假設(shè)”做近似，運(yùn)用微積分的方法對(duì)此問(wèn)題的結(jié)果做一些修正．

圖4

(19)

取面元dS=2R2sinθdr，穿過(guò)該面積上的磁通量為

(20)

式中r，θ見(jiàn)圖4所示，故穿過(guò)小環(huán)的磁感應(yīng)通量為

(21)

再令tanα=x，做第二次變量替換后有

(22)

(對(duì)此積分結(jié)果的正確性，可直接用Mathematica軟件驗(yàn)證)

把式(22)代入式(21)中得

(23)

則原解答中的式(14)～(17)分別改為

(24)

(25)

(26)

(27)

于是，在時(shí)間間隔Δt內(nèi)通過(guò)小環(huán)導(dǎo)線橫截面的電荷量為

(28)