帶電粒子周期性側(cè)移和回旋的場環(huán)境

■河北省廊坊市中國石油天然氣管道局中學　

帶電粒子在場中的運動,既有拋體運動,又有圓周運動,還能通過特殊的場環(huán)境對拋體運動和圓周運動進行轉(zhuǎn)軌組合,實現(xiàn)周期性側(cè)移和回旋,以綜合力和能的知識全面考查中學物理知識,從而培養(yǎng)科學的物理思維方法。

1.組合磁場環(huán)境

例1 如圖1所示,空間某平面內(nèi)有一條折線是磁場的分界線,在折線的兩側(cè)分布著方向相反、與平面垂直的勻強磁場,磁感應(yīng)強度的大小都為B,折線的頂角∠A=90°,P、Q是折線上的兩點,且AP=AQ=L?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶負電荷量為q的微粒,從P點沿PQ連線方向射出,不計微粒的重力。

圖1

(1)為使微粒從P點射出后途經(jīng)折線的頂點A而到達Q點,求微粒的初速度應(yīng)滿足的條件。

(2)求(1)問中的微粒從P點運動到Q點所用時間的最小值。

解析:(1)要使微粒能從P點運動到Q點,則必須多次穿越兩磁場分界線。因為兩磁場的磁感應(yīng)強度大小相等,所以由對稱性可知,只要滿足L=nx(n=1,2,3,…),其中x為每次偏轉(zhuǎn)圓弧對應(yīng)的弦長,n為PA或AQ邊上的圓弧數(shù)。當n取奇數(shù)時,在PA邊上的圓弧所對應(yīng)的圓心角為,在AQ邊上的圓弧所對應(yīng)的圓心角為;當n取偶數(shù)時,在PA、AQ邊上的圓弧所對應(yīng)的圓心角都是如圖2所示,設(shè)微粒的軌跡半徑為R,由幾何關(guān)系得,又有解得

圖2

(2)要使微粒從P點運動到Q點所用的時間最短,則需微粒從P點到Q點間的圓弧數(shù)最少,即n=1或n=2時即可。當n=1和n=2時,微粒從P點運動到Q點的偏轉(zhuǎn)圓弧所對應(yīng)的圓心角總和都為2π,故最小時間

圖3

例2 如圖3所示,空間存在兩個勻強磁場Ⅰ、Ⅱ,磁場Ⅰ足夠大,與磁場Ⅱ的分界線是半徑為R的圓周,磁場Ⅰ、Ⅱ的方向相反且垂直于紙面,磁感應(yīng)強度大小都為B,水平直線MN過圓形磁場的圓心?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶負電荷量為q的粒子從P點沿PM方向向左射出,不計粒子重力。

(1)若粒子在兩個磁場中不斷地飛進飛出,最后又能返回P點,求其返回P點的最短時間,以及粒子對應(yīng)的速度。

(2)若粒子最終回到P點時的速度方向與從P點出發(fā)時的相同,求粒子的速度所滿足的條件。

圖4

解析:(1)根據(jù)題意可知,粒子從P點射出后,進、出磁場Ⅱ一次即返回P點所用的時間最短,軌跡如圖4所示。設(shè)粒子的軌跡半徑為r,由幾何關(guān)系得,又有qvB=解得粒子在磁場Ⅰ中的兩個回旋角都為300°,在磁場Ⅱ中的回旋角為60°,故返回P點的最短時間,又有T=,解得

(2)由(1)知粒子從P點出發(fā)每次進出兩場,都在分界線上 “周期性側(cè)移”一段弧長,粒子要能再次返回出發(fā)點,粒子經(jīng)過兩場分界線的穿越點需正好均分邊界線。設(shè)各相鄰穿越點與磁場Ⅱ的圓心O的連線間的夾角為α,則由周期性和對稱特點得3,4,5,…),式中k可理解為從P點出發(fā)再返回到P點的過程中粒子在兩個磁場分界線上完成的“周期性側(cè)移”次數(shù)(等分數(shù))。如圖5所示分別為k=4,5,6粒子運動軌跡的情境。由幾何關(guān)系知,又有qvB=,解得,且當k取偶數(shù)時,粒子返回P點時的速度方向水平向左,與出發(fā)時的相同。

點評:在組合磁場中,帶電粒子通過周期性側(cè)移完成周期性回旋。分析磁場的結(jié)構(gòu)(如場的方向與大小關(guān)系、場邊界的形狀等)、畫出粒子的運動軌跡示意圖、確定一個側(cè)移周期內(nèi)粒子在磁場分界線(直線或圓)上發(fā)生的距離與軌跡半徑的關(guān)系是解題的重要環(huán)節(jié)。

2.交變磁場環(huán)境

圖5

例3 在直角坐標系xOy的第一象限(包括x、y軸)內(nèi)存在磁感應(yīng)強度大小為B0、方向垂直于xOy平面且隨時間周期性變化的均勻磁場,磁場變化規(guī)律如圖6所示,規(guī)定垂直于xOy平面向里的磁場方向為正。一質(zhì)量為m、帶正電荷量為q的粒子(重力和空氣阻力均不計),從坐標原點O以某一速度v0沿x軸正方向垂直射入磁場中,經(jīng)過一個磁場變化周期T0時間后到達第一象限內(nèi)的某點P,此時粒子的速度方向恰好沿x軸正方向。

圖6

(3)若粒子在t=0時刻以速度v0(已知)從O點射入磁場中,求粒子能夠到達的P點縱坐標的最大值ymax和對應(yīng)的磁場變化周期T0的值。

(4)若P點坐標為(d,d),要使粒子經(jīng)過P點時的速度方向與OP連線成45°角,求滿足這一條件的磁場變化的周期T0,以及粒子射入磁場時的速度v0。

解析:(1)設(shè)粒子在磁場中運動的周期為T,則,故當粒子在t=時刻從O點射入磁場中時,在隨后的T0時間內(nèi)粒子在y軸方向上的位移一定為零,粒子的運動軌跡如圖7所示,則OP=4r,又有,解得P點的位置坐標為

圖7

(2)要使粒子必須從P點經(jīng)過且速度方向總是沿x軸正方向,只要粒子發(fā)生如圖7所示的周期性側(cè)移即可,則d=n·4r(n=1,2,3,…),式中n為粒子在O、P兩點間運動的等效周期數(shù),又有,解得粒子速度的可能值v=0

(3)根據(jù)題意可知,要使粒子通過P點時的縱坐標值最大,其運動軌跡就必須盡可能靠近y軸,極限條件是與y軸相切,如圖8所示。由幾何關(guān)系得OO1=PO2=r,O1O2=2r,,故P點縱坐標的最大值ymax=OO1+AO1+從t=0時刻開始,粒子每轉(zhuǎn)過α+90°=150°,磁場方向必須改變一次,即在磁場變化的半個周期內(nèi)粒子轉(zhuǎn)過150°角,則,解得

圖8

圖9

(4)要使粒子經(jīng)過P點時的速度方向與OP連線成45°角,須在磁場變化的半個周期內(nèi),粒子在磁場中旋轉(zhuǎn)45°角,運動軌跡如圖9中的實線圓弧和虛線圓弧。因為所以磁場變化周期。每一個圓弧對應(yīng)的弦長,圓弧半徑又有,解得v=0(n=1,2,3,4,…)。當n為奇數(shù)時,粒子經(jīng)過P點時的速度方向沿y軸正方向;當n為偶數(shù)時,粒子經(jīng)過P點時的速度方向沿x軸正方向。

點評:求解因磁場變化引起的周期性側(cè)移和回旋問題,畫出符合題意的運動軌跡示意圖是突破難點的關(guān)鍵,確定磁場變化周期與粒子回旋周期的關(guān)系、粒子軌跡的圓弧弦長與側(cè)移距離的關(guān)系是解題的兩個重要途徑,重視因時空周期性引起的系列解的取值是避免不完整解的有效環(huán)節(jié)。

3.中空磁場環(huán)境

例4 一個圓環(huán)形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強磁場,內(nèi)半徑R1=1m,磁感應(yīng)強度B=1T。一帶電粒子從環(huán)心沿半徑方向從中空區(qū)域與磁場交界面的P點以速度v0=4×107m/s射入磁場,粒子的比荷4×107C/kg,不計粒子在運動過程中的相互作用和重力。

(1)為約束該粒子不穿越磁場外邊界,求磁場區(qū)域的最小外半徑R2。

解析:(1)設(shè)粒子在磁場中做圓周運動的最大半徑為R,則,解得R=1m。粒子的運動軌跡如圖10甲所示,由幾何關(guān)系得解得R2=(1+

(2)設(shè)粒子在磁場中運動的軌跡半徑為r,則m。由幾何關(guān)系得θ=30°,∠POP'=60°,故帶電粒子進入磁場后每回旋240°又回到中空部分。粒子周期性回旋一周的軌跡如圖10乙所示,故粒子從P點進入磁場到第一次回到P點,在磁場中的運動時間,在中空部分的運動時間,又有,所求總時間t=t1+t2=5.74×10-7s。

圖10

點評:通過中空磁場實現(xiàn)帶電粒子的周期性側(cè)移與回旋,實質(zhì)是通過無場區(qū)域讓粒子做勻速直線運動來銜接兩次相鄰的圓周運動。重視空間對稱性可有助于快捷分析此類問題。

4.電、磁復合場環(huán)境

例5 如圖11甲所示,在xOy豎直平面內(nèi)存在著與y軸平行的足夠大勻強電場(圖中未畫出),現(xiàn)垂直于xOy平面加一足夠?qū)挼拇艌鰠^(qū)域,規(guī)定磁場方向向外為正,磁感應(yīng)強度變化如圖11乙所示,圖中B0為已知量,t0、t1為未知量。一個質(zhì)量為m、帶正電荷量為q的小球,從t=0時刻開始,以初速度v0從坐標原點O沿直線OP方向運動,已知小球在以后的運動中能垂直于OP連線方向通過OP連線上坐標為(4L,3L)的D點,取g=10m/s2。求:

圖11

(1)勻強電場場強的大小和方向。

(2)滿足條件的t1表達式。

(3)通過進一步的研究發(fā)現(xiàn),小球通過D點后的運動具有周期性,則此運動的周期是多少?

解析:(1)0～t1時間內(nèi)無磁場,小球在重力和靜電力作用下沿初速度v0方向做勻速直線運動,根據(jù)平衡條件得qE-mg=0,解得,方向豎直向上。

圖12

(2)根據(jù)題意可知,要使小球垂直O(jiān)P連線方向通過D點,只能讓小球勻速直線運動到D點以后的某個位置C,再做勻速圓周運動并使其運動方向改變270°,然后沿直線運動經(jīng)過D點,軌跡如圖12中實線部分所示。設(shè)小球在磁場中運動的軌跡半徑為R,周期為T0,由周期性特點可知,只要小球在洛倫茲力作用下的運動時間(n=0,1,2,…),就可垂直于OP連線方向通過D點,由圖可知,C、D兩點間的距離等于粒子做圓周運動的軌跡半徑R。小球在t1時間內(nèi)由O點勻速運動到C點的位移s=,故在t1～t1+t0時間內(nèi),小球在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動,則,解得t=1

(3)小球做勻速圓周運動的周期T0=,由(2)知1,2,…),由磁場變化的周期性畫出小球運動的軌跡如圖12所示(包括實線部分與虛線部分),故小球做大回旋的周期

點評:對于通過電場和磁場組合的環(huán)境使帶電體完成側(cè)移或周期性回旋的問題,重視確定兩場分界線處粒子的運動方向是重要的解題環(huán)節(jié),靈活利用軌跡示意圖展示的時空對稱性是重要的解題工具。