高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的解題分析

◎張子烈

前言：高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)題目靈活，常見的類型題包括角度變換、函數(shù)名變換、數(shù)形變換等。需要運(yùn)用的概念公式包括和角公式、差角公式、半角公式、二倍角公式等。此外，還需要我們運(yùn)用各種解題思維和方法，對(duì)題目進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而在更短的時(shí)間內(nèi)求解出正確答案。針對(duì)高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)題目求解的復(fù)雜性，應(yīng)積極總結(jié)解題方法，從而不斷提升三角函數(shù)題目的解題效率和準(zhǔn)確率。

一、高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值解題方法的應(yīng)用

三角函數(shù)通常以選擇題或解答題的形式出現(xiàn)，在分析求解過程中，首先應(yīng)具備扎實(shí)的計(jì)算能力，能夠?qū)θ呛瘮?shù)公式進(jìn)行準(zhǔn)確應(yīng)用，并計(jì)算出正確的結(jié)果，這是提升三角函數(shù)題目解題準(zhǔn)確率的根本途徑。在考試和平時(shí)的練習(xí)過程中，我們應(yīng)善于對(duì)三角函數(shù)題目類型進(jìn)行劃分，總結(jié)每一類題型的解題思路，并根據(jù)題目特點(diǎn)，選擇適合的解題方法。即使是最基本的三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值問題，也需要運(yùn)用切割劃弦等技巧，從而快速求解出正確答案［1］。

比如例1：對(duì) sin50°（1+tan10°）進(jìn)行化簡(jiǎn)求值。

在這道題目中，給出的三角函數(shù)表達(dá)式包含正切函數(shù)與正弦函數(shù)，需要采用切割化弦方法，將正切函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦與余弦函數(shù)比值的形式，然后在進(jìn)行化簡(jiǎn)求值。具體求解過程如下：由于1+tan10°＝（cos10°+sin10°）/cos10°＝2（1/2cos10°+ /2sin10°）/cos10°＝2（sin30°cos10°+cos30°sin10°）/cos10°＝2sin40°/cos10°，因此原題目三角函數(shù)表達(dá)式可轉(zhuǎn)化為 sin50°·2sin40°/cos10°＝2sin40°cos40°/cos10°＝sin80°/sin80°＝1。在解題過程中，應(yīng)用到和、差、補(bǔ)、余等角度關(guān)系式，逐漸將不同的角度函數(shù)轉(zhuǎn)化為相同的角度函數(shù)，從而快速求出最終計(jì)算結(jié)果。

二、高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)消參和構(gòu)造解題方法的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)題目求解過程中，消參法和構(gòu)造法的應(yīng)用十分普遍，比如在上述題目中，兩種方法也有一定應(yīng)用。通過靈活運(yùn)用消參法和構(gòu)造法，可以找出不同參數(shù)之間的聯(lián)系性，從而對(duì)一個(gè)或多個(gè)參數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，達(dá)到方便計(jì)算的目的。其中，消參法是根據(jù)三角函數(shù)公式，將不同參數(shù)形式變化為能夠直接計(jì)算的同一種形式。構(gòu)造法則是在不能直接使用概念公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，通過添加項(xiàng)、減少項(xiàng)的方法，使公式滿足轉(zhuǎn)化條件。其本質(zhì)是一個(gè)三角函數(shù)的等效變換過程，下面以一道例題為例，進(jìn)行說明。

例2：已知 tanα＝3，求解（sinα-3cosα）/（2sinα+cosα）的值。

在這道題目中，已知條件為tanα＝3，即 sinα/cosα＝3。從目標(biāo)表達(dá)式著手，可以通過將其轉(zhuǎn)換為sinα/cosα的形式，構(gòu)造出已知條件tanα，從而進(jìn)行求解計(jì)算。首先根據(jù)條件tanα＝3可以判斷出cosα不等于0，因此可以將目標(biāo)表達(dá)式的分子分布同時(shí)除以cosα，構(gòu)造tanα。對(duì)目標(biāo)表達(dá)式的化簡(jiǎn)結(jié)果為（tanα-3）/（2tanα+1），將 tanα＝3代入后，即可求出目標(biāo)表達(dá)式的值為0。由此可以看出，利用消參和構(gòu)造法進(jìn)行求解過程簡(jiǎn)單，準(zhǔn)確率高，但在應(yīng)用過程中，不能忽略對(duì)限制條件的判斷。比如在這道題目中，必須先根據(jù)已知條件確定cosα不等于0，才能采用上述方法進(jìn)行化簡(jiǎn)求值。

三、高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)逆向變換解題方法的應(yīng)用

逆向變化法是對(duì)三角函數(shù)公式進(jìn)行逆用或變用，在此過程中，如果我們對(duì)公式掌握的不夠熟練，就難以做到靈活應(yīng)用。比如根據(jù)題目需要，我們有時(shí)要使用2sin2x＝1-cos2x公式，有時(shí)要使用2cos2x＝1+cos2x公式，還需要在求解過程中，運(yùn)用其變化形式，比如 cos2x＝1-2sin2x，cos2x＝2cos2x-1等。這些公式的形式相近，在使用時(shí)容易出現(xiàn)混淆的現(xiàn)象，需要在解題過程中加以注意［2］。

比如例3：已知銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C分別對(duì)應(yīng)a，b，c三邊，且有a＝2bsinA，試求角B的大小。

在求解這道題目時(shí)，首先應(yīng)明確正弦定理中a/sinA＝b/sinB＝c/sinC這個(gè)隱藏條件，又根據(jù)已知條件，a＝2bsinA，因此有 sinA＝2sinBsinA，sinB＝1/2。由于三角形ABC為銳角三角形，所以B角的大小為30°。

再比如例4：已知3sinβ＝sin（2α+β），試證明 tan（α+β）＝2tanα。

在求解此題時(shí)，首先可將2α+β拆分為α+β+α，而β則可以看做α+β-α。因此，可以將已知條件3sinβ＝sin（2α+β）變換成3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα＝sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，即 2sin（α+β）cosα＝4cos（α+β）sinα，則 sinα/cosα＝2sin（α+β）/4cos（α+β），最終得出 tan（α+β）＝2tanα，證明完畢。

結(jié)束語：綜上所述，由于高中三角函數(shù)公式多，且形式相近，在解題過程中復(fù)雜性較高，通過對(duì)所學(xué)的概念公式進(jìn)行靈活運(yùn)用，通過采用消參、構(gòu)造、逆向變換等方法，可以達(dá)到簡(jiǎn)化題目，快速求解的目的。應(yīng)在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中熟練掌握各種概念公式和解題技巧，并勤加練習(xí)，從而逐步提升三角函數(shù)解題能力。