遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

◎雷自學(xué)

數(shù)列知識(shí)是高中數(shù)學(xué)的必修內(nèi)容，在高中數(shù)學(xué)中具有相當(dāng)重要的地位。等差、等比數(shù)列知識(shí)及其應(yīng)用是每年高考及各地模擬題中常出現(xiàn)的題型，尤其遞推數(shù)列問題，更是學(xué)生數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)掌握的程度與靈活應(yīng)變能力的體現(xiàn)。怎樣靈活快速準(zhǔn)確的求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式，筆者在此贅述幾點(diǎn)，以饗讀者。

一、疊加法

對(duì)于形如an+1＝an+f（n）的遞推式，當(dāng)f（n）為常數(shù)時(shí)，為一般等差數(shù)列，當(dāng) f（n）不為常數(shù)時(shí)，可先變形成 an+1-an＝f（n）的形式，然后逐項(xiàng)疊加，即可求得通項(xiàng)公式an．

例1．（2010年新課標(biāo)全國卷·17題·12分）在數(shù)列｛an｝中，a1＝2，an+1＝an+3·22n-1，求通項(xiàng)an．

解：∵an+1＝an+3·22n-1∴an+1-an＝3·22n-1

∴an-an-1＝3·22n-3，an-1-an-2＝3·22n-5，an-2-an-3＝3·22n-7，

…，a3-a2＝3·23，a2-a1＝3·21．

把上面（n-1）個(gè)式子等號(hào)兩邊分別相加得：

二、疊乘法

對(duì)于形如 an+1＝an·f（n）的遞推式，當(dāng) f（n）為非零常數(shù)時(shí)，為等比數(shù)列，當(dāng)f（n）不為常數(shù)時(shí)，可先變形成的形式，然后再逐項(xiàng)相乘，即可求得通項(xiàng)公式an．

例2．已知數(shù)列｛an｝中，a1＝1，an+1＝an·2n，求an．

上面（n-1）個(gè)式子等號(hào)兩邊分別相乘得：

三、構(gòu)造法

在數(shù)列 ｛an｝中，對(duì)于形如 an＝k·an-1+b（k、b為常數(shù)，k≠0）的遞推式，當(dāng)b≠0，k＝1時(shí)為一般等差數(shù)列；當(dāng)b＝0時(shí)為一般等比數(shù)列；當(dāng)k≠1且b≠0時(shí)，可將其變形成，于是可構(gòu)造一等比數(shù)列．這是以為首項(xiàng)，公比為k的等比數(shù)列，則an可求。

例3．已知數(shù)列｛an｝中，a1＝1，an+1＝2an+3，求an．

則數(shù)列｛an+3｝是以a1+3＝4為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列

∴an+3＝4·2n-1＝2n+1∴an＝2n+1-3．

四、數(shù)學(xué)歸納法

對(duì)于有些數(shù)列，可從已給出的首項(xiàng)入手，利用遞推關(guān)系式，從特殊到一般，猜想確定通項(xiàng)公式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明即可。這種解答數(shù)列問題的方法，也是歷年高考命題的熱點(diǎn)所在。

例4．在數(shù)列｛an｝中，，求 a2、a3、a4和 an．

（1）當(dāng) n＝1，2，3，4時(shí)，顯然成立。

即當(dāng)n＝k+1時(shí)，結(jié)論也成立。

綜上，由（1）、（2）得，對(duì)一切n∈N*，都成立。

故，原數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式就是

五、待定系數(shù)法

對(duì)于形如an+1＝Aan+B·Cn（A、B、C為常數(shù)）的遞推式，可先引入待定系數(shù)λ，將遞推式化為an+1+λ·Cn+1＝A（an+λ·Cn）的形式，然后再把它與原遞推式進(jìn)行比較，即可確定系數(shù)．這樣得一數(shù)列｛an+λ·Cn｝就是以a1+λC為首項(xiàng)，公比為A的等比數(shù)列，則原數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式可定。

例5．在數(shù)列｛an｝中，a1＝2，an+1＝4an+2·3n，求an．

解：設(shè)原遞推式可化為an+1+λ·3n+1＝4（an+λ·3n）

即：an+1＝4an+λ·3n．與原遞推式比較可得λ＝2

則數(shù)列｛an+2·3n｝是以a1+2×31＝8為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列。

∴an+2·3n＝8·4n-1＝2·4n

∴an＝2·4n-2·3n＝2·（4n-3n）．

六、換元法

在數(shù)列｛an｝中，對(duì)于形如（A、B為常數(shù)）的遞推式，可先變形成，然后設(shè)，換元得，bn+1＝B·bn+A．這個(gè)形式和前面方法3中的遞推式形式相同，因此可用構(gòu)造法或待定系數(shù)法求出其通項(xiàng)bn，最后再換元即可得數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an．

例6．在數(shù)列｛an｝中，a1＝1，，求 an．

則數(shù)列｛bn+3｝是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列。

∴bn+3＝4·2n-1＝2n+1∴bn＝2n+1-3，再換元得：an＝．以上所述的各種方法是求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的最常用方法，所列各種形式的遞推式也是最常見的形式，其他好多形式的遞推式通過變形大都可以變成上述各種形式中的某一種。當(dāng)然還有一些不常見形式的遞推式，對(duì)這些問題的解決筆者在此就不贅述了，留待有興趣的同仁們作更進(jìn)一步的探究挖掘，以便大家相互學(xué)習(xí)，共同提高。