高中數(shù)學(xué)分類討論思想在解題中的應(yīng)用探討

◎林欽明

引言：在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，分類討論思想的考查是高考中的重要組成部分，高三學(xué)生更應(yīng)該加強(qiáng)對分類討論知識點的掌握程度，但由于學(xué)生在思維方式上有著思考的不足，思維不夠縝密的問題，所以在學(xué)生進(jìn)行問題的解答中，經(jīng)常會出現(xiàn)不夠完備的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類的方式不恰當(dāng)，分類討論重復(fù)或者缺漏，討論結(jié)果處理不正確等的一些問題，本文從分類討論應(yīng)用中的科學(xué)性要求和分類標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)劃分以及分類討論在高中數(shù)學(xué)教解題中的具體應(yīng)用等幾個方面進(jìn)行探究。

一、分類討論應(yīng)用中的科學(xué)性

分類討論的過程具有科學(xué)性，筆者將利用高中數(shù)學(xué)的教學(xué)實際來仔細(xì)闡釋這個定義，具體包括：要根據(jù)題目指出的相關(guān)信息來考慮參數(shù)的確定；要對參數(shù)進(jìn)行合理分類，做到不重復(fù)討論，也不遺漏分類；作答時應(yīng)該做到層次清晰，條理明確，不跳級討論［1］。教育教學(xué)過程中，有一些經(jīng)常出現(xiàn)分類談?wù)摰念}目，［例如］已知函數(shù)a）x，求函數(shù) f（x）的單調(diào)區(qū)間。［解析］．當(dāng) a≤0時，若0＜x＜1，則 f′（x）＜0，若 x＞1，則 f′（x）＞0，故函數(shù) f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）；

當(dāng)0＜a＜1時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

所以函數(shù) f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，a），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（a，1）；

當(dāng)a＞1時，同0＜a＜1時的解法，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，a）．

從這道例題中可以發(fā)現(xiàn)，分類討論需要全面進(jìn)行討論，每一種情況都應(yīng)該包含，但不能對參數(shù)值進(jìn)行重復(fù)討論，或者遺漏一些可能性，分類討論過程應(yīng)該簡潔準(zhǔn)確，要具有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行合理清晰的討論，不能夠漫無目的的進(jìn)行討論。

二、分類討論思想的標(biāo)準(zhǔn)劃分

在高中數(shù)學(xué)解題過程中，需要利用到分類討論思想的知識點越來越多，這為學(xué)生提供了解答的思路和條件。但是，教師要對分類討論的思想進(jìn)行有效應(yīng)用，筆者認(rèn)為，教師應(yīng)該對分類思想進(jìn)行分類標(biāo)準(zhǔn)的確定，這是為了更好的、更正確的解決數(shù)學(xué)問題。在解答數(shù)學(xué)問題中，進(jìn)行分類討論時，不能夠遺漏分類的種類、也不能夠沒有一個固定參數(shù)的進(jìn)行分類討論。根據(jù)筆者在高中進(jìn)行的多年的教學(xué)經(jīng)驗，筆者覺得該思想的幾種分類標(biāo)準(zhǔn)為：首先，按照數(shù)學(xué)定義進(jìn)行合理的劃分。例如絕對值的問題，在學(xué)生進(jìn)行解答問題時，應(yīng)該對其各個參數(shù)分類進(jìn)行縝密準(zhǔn)確的考慮，以達(dá)到精準(zhǔn)答題的目的［2］。其次，學(xué)生應(yīng)該按照數(shù)學(xué)的相關(guān)的運算法則、定理、公式進(jìn)行有效劃分。然后，利用作圖法來觀察圖形位置的改變，再考慮分類討論的情況。在高中數(shù)學(xué)解題的過程中，根據(jù)圖形位置的改變的分類討論的相關(guān)應(yīng)用較多，例如二次函數(shù)、幾何圖形等相關(guān)知識點。然后，根據(jù)相關(guān)的具特殊要求的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分類討論，以達(dá)到求得正解的目的。最后還有利用參數(shù)的變化進(jìn)行分類討論。

三、分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

1．應(yīng)用于函數(shù)解題中 在函數(shù)解題過程中，分類討論的思想也在其中有著廣泛的應(yīng)用。在解題過程中，如果函數(shù)參數(shù)值有變化，這就一定會導(dǎo)致函數(shù)的結(jié)果產(chǎn)生相應(yīng)的變化。所以，在利用分類討論的思想來解決相關(guān)函數(shù)問題時，學(xué)生就應(yīng)該對函數(shù)中的參數(shù)進(jìn)行分類討論。例如，在“已知函數(shù)f（x）＝ax2+2ax+1在區(qū)間［-3，2］上有最大值為4，求實數(shù)a的值．”的問題中，在解答該問題時，必須利用分類討論思想，對函數(shù)中的參數(shù)值變化情況應(yīng)該加以充分考慮。這道題目中，應(yīng)該考慮三種情況，筆者對這三種情況進(jìn)行了闡釋，闡釋如下：①當(dāng)a＞0時，因?qū)ΨQ軸為x＝-1，f（2）＝4，得 a＝3/8．②當(dāng) a＜0時，因?qū)ΨQ軸為 x＝-1，f（-1）＝4，得a＝-3．③當(dāng)a＝0時，f（x）＝1，不成立．由①②③得a＝3/8或a＝-3［3］。

2．應(yīng)用于概率解題中 在概率解題過程中，分類討論的思想在其中有著廣泛的應(yīng)用。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，概率模塊是高考的重要考點之一。在解答此類問題時，筆者覺得，要利用分類討論思想必須要關(guān)注問題本身，根據(jù)題目中的具體要求進(jìn)行分類，來達(dá)到求得最終答案的目的。例如，題目某項考試按科目A、科目B依次進(jìn)行，只有當(dāng)科目A成績合格時，才可繼續(xù)參加科目B的考試。已知每個科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會，兩個科目成績均合格方可獲得證書?，F(xiàn)某人參加這項考試，科目A每次考試成績合格的概率均為，科目B每次考試成績合格的概率均為。假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響。要求他不需要補(bǔ)考就可獲得證書的概率；不需要補(bǔ)考就獲得證書的事件為A1·B1，注意到A1與B1相互獨立，根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率得P（A1·B1）＝。這個題目能夠啟示學(xué)生，在進(jìn)行概率分類討論的之后，重點是觀察題目中的要求［4］。

結(jié)束語：綜合以上的探究能夠發(fā)現(xiàn)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，分類討論思想非常重要。除了在解題時能夠輔助學(xué)生清晰、明確的完成對題目的解析和解答，并且長時間的對分類討論思想的靈活運用能夠幫助學(xué)生培養(yǎng)縝密的數(shù)學(xué)思維能力，這是對學(xué)生未來都會具有的十分重要的意義，同樣的，這還能夠幫助學(xué)生提高自身的嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性，高中時期是培養(yǎng)學(xué)生綜合數(shù)學(xué)品質(zhì)的關(guān)鍵時期，如果學(xué)生在這個過程中能夠充分掌握分類討論的思想，那么這對學(xué)生將來的發(fā)展都會提供重要的幫助。