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    三角公式

    2018-11-15 12:23:28任毓華
    中學課程輔導·教學研究 2018年29期
    關鍵詞:余弦化簡式子

    ◎任毓華

    三角是中學生們學習數(shù)學的最基本內(nèi)容之一,是繼小學算術、初中代數(shù)之后的一塊最基礎內(nèi)容;只要想一想在初中數(shù)學中,代數(shù)(學)內(nèi)容和所占據(jù)位置,就不難領會作為高中數(shù)學內(nèi)容的三角(學)了;而且,三角還作為一種工具(方法)直接或者間接地參與解決數(shù)學問題,譬如:復數(shù)中有其三角式、解析中直線和圓錐曲線的參數(shù)方程、求解三角形時候運用到正弦定理余弦定理、乃至物理上的振動、波……。三角公式是組成三角的主要內(nèi)容之一、常被稱作“三角恒等變換”、與三角函數(shù)聯(lián)系緊密,掌握三角公式為提高數(shù)學推理能力和運算能力提供了廣闊的空間和領域!

    掌握三角公式,首先需要記住這些公式。下面分類匯總,有的配以“口訣”要領。

    第一類:誘導公式

    sin cos tan cot公式一 α±2kπ sinα cosα tanα cot處理的角α公式二 α±π -sinα -cosα tanα cot α公式三 -α -sinα cosα -tanα -cot α公式四 π-α sinα -cosα -tαnα -cot α公式五 π2+α cosα -sinα -cotα -tan α公式五 π α公式六 3π2-α cosα sinα cotα tan α公式六 3π2-α -cosα -sinα cotα tan α 2+α -cosα sinα -cotα -tan

    第二類:同角三角函數(shù)的基本關系式

    1、倒數(shù)關系

    2、商的關系

    3、平方關系

    同角三角函數(shù)關系六角形記憶法:

    構造以“上弦、中切、下割;左正、右余、中間1”的正六邊形為模型。

    倒數(shù)關系——對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù);

    商數(shù)關系——六邊形任意一頂點上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點上函數(shù)值的乘積。

    平方關系——三個倒三角形中,上面兩個頂點上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點上的三角函數(shù)值的平方。

    第三類:包含兩個角的三角函數(shù)式的公式(變換)

    1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

    2.1二倍角的正弦、余弦、正切公式

    2.2三倍角公式

    2.3萬能公式;

    3、半角公式

    有的地方又叫做降次公式。

    4.1積化和差公式

    4.2和差化積公式

    第四類:轉化為形式Asin(ωx+φ)蘊含了化歸思想的三角公式。

    要熟練掌握三角公式,關鍵在于正確應用到解決問題之中。

    分析:應用誘導公式,化簡得-cosα.

    分析:先用同角三角函數(shù)的公式得出cosα、cosβ,再用兩角差的余弦公式求出coa(α-β),從而確定α-β的值。

    解∵α、β均為鈍角,∴cosα、cosβ均為負值,結合已知得 cosα=-,由再余弦函數(shù)在第二象限為減函數(shù),有α<β得

    分析:應用兩個角的三角函數(shù)的公式,依次求出α+β,α+2β的值。

    分析:由函數(shù) f(x)的單調性知自變量的值,列得方程組:,從而得觀察該方程組與cos(α-β)之間的聯(lián)系,將sinα+sinβ=-sin 360與cosα+cosβ=-cos360兩邊平方相加,得sin2α+sin2β+2 sinαsinβ+cos2α+cos2β+2 cosαcosβ=1結合公式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,可得其值為

    分析:先化簡函數(shù)式子,再確定周期等。

    練習

    一、化簡:

    二、求值:

    通過以上練習,里邊總是蘊含著同角三角函數(shù)式的變換,兩個角的函數(shù)式的變換等三角變換。

    代數(shù)公式、三角公式(或者說“代數(shù)恒等變換、三角恒等變換”)皆是“只變其形不變其質”的。

    變換是數(shù)學的重要工具?!爸蛔兤湫尾蛔兤滟|”的三角變換,揭示外形不同但實質相同的三角函數(shù)式之間的內(nèi)在聯(lián)系。三角變換包括變換的對象,變換的目標,變換的依據(jù)和方法等要素。兩角和與差的正弦、余弦和正切公式就是三角變換的基本依據(jù)。通過對這些公式的探求,以及利用這些公式進行三角變換,我們將在怎么樣預測變換目標,怎么樣選擇變換公式,怎么樣設計變換途徑等方面作出思考,從而訓練和提高了我們的思考能力、推理能力、運算能力。

    思維有序性和表述條理性是三角變換的基本要求。

    最后,概括一下代數(shù)變換和三角變換的關系,以加深對三角變換的認識:

    代數(shù)式變換往往著眼于式子結構形式的變換。對于三角變換,由于不同的三角函數(shù)式不僅會有結構形式方面的差異,而且還會有所包含的角,以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異,因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之間的聯(lián)系,并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系起來它們的那個恰當公式,這是三角式恒等變換的重要特點。

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