小知識(shí),大聯(lián)系

山東省菏澤一中(274000)　段宇飛

平面向量是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,也是高中數(shù)學(xué)中的工具性知識(shí),它具有代數(shù)和幾何的雙重身份,融數(shù)、形于一體,是溝通代數(shù)與幾何的橋梁.能高中數(shù)學(xué)中多個(gè)知識(shí)交匯.向量也是溝通物理知識(shí)的橋梁,物理中的力、位移、速度、加速度等都可以用向量來(lái)表示.同時(shí),向量也在日常生活中有重要的運(yùn)用.

一、平面向量與其它數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系

1.平面向量的代數(shù)運(yùn)算與函數(shù)的聯(lián)系

由于平面向量的坐標(biāo)與函數(shù)圖象相對(duì)應(yīng),使函數(shù)圖象及圖象與平面向理產(chǎn)生密切的聯(lián)系,形成數(shù)學(xué)知識(shí)交匯的一個(gè)網(wǎng)點(diǎn).

例 1若是非零向量,且則函數(shù)是 ()

A.一次函數(shù)且是奇函數(shù)

B.一次函數(shù)但不是奇函數(shù)

C.二次函數(shù)且是偶函數(shù)

D.二次函數(shù)但不是偶函數(shù)

分析本題利用平面向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),將平面向量與函數(shù)結(jié)合起來(lái).由于平面向量的運(yùn)算可經(jīng)是坐標(biāo)運(yùn)算,所以通常通過(guò)以下知識(shí),將平面向量與函數(shù)聯(lián)系起來(lái).

2.平面向量的代數(shù)運(yùn)算與方程的聯(lián)系

平面向量的代數(shù)運(yùn)算是坐標(biāo)運(yùn)算,常常與方程聯(lián)系要一起,也是形成數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)交匯點(diǎn).

例 2已知點(diǎn)A(?1,?1)、B(1,3)、C(x,5),若對(duì)于平面上任意一點(diǎn)O,都有則x=___.

分析利用平面向量的代數(shù)運(yùn)算,通過(guò)建立方程(組),來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.建立方程(組),除胃上述知識(shí)外,還通常通過(guò)以下知識(shí)將平面向量與方程(組)聯(lián)系起來(lái).

(3)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則

3.平面向量的代數(shù)運(yùn)算與不等式的聯(lián)系

平面向量的代數(shù)運(yùn)算是坐標(biāo)運(yùn)算,常常與不等式聯(lián)系要一起,也是形成數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)交匯點(diǎn).

例3下列命題中,正確的是()

分析利用平面向量的代數(shù)運(yùn)算,建立平面向量與不等式之間的聯(lián)系.

4.平面向量與三角函數(shù)之間的聯(lián)系

平面向量的夾角是平面向量與三角函數(shù)聯(lián)系在一起的主要原因.從而形成了數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)交匯點(diǎn).

例4在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知向量=(a+c,b?a),=(a?c,b),且

(I)求角C的大小;

(II)若sinA+sinB=求角A的值.

分析利用平面向量中兩向量的夾角,溝通了平面向量與三角形的聯(lián)系.

5.平面向量與幾何的聯(lián)系

向量的數(shù)量積與距離、角度緊密相聯(lián),它是度量幾何學(xué)的基礎(chǔ).如何度量距離和角度是幾何學(xué)發(fā)展兩個(gè)強(qiáng)大的動(dòng)力.從直接度量到相似和勾股計(jì)算,從解直角三角形,到正弦和余弦定理,人們已可解決各種各樣的有關(guān)角度和距離的度量.向量的數(shù)量積使度量幾何上升到一個(gè)嶄新的層面,使人們能更有效地用代數(shù)方法研究幾何,向量的數(shù)量積已成為研究幾何度量的強(qiáng)有力的工具.

(1)平面向量與平面解析幾何的聯(lián)系

平面向量具有數(shù)與形的雙重特征,形是平面向量與幾何聯(lián)系在一起的主要原因.

例 6已知直線l∶Ax+By+C=0,向量向量=(A,B),有下列說(shuō)法:其中正確的有()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.6個(gè)

分析利用平面向量是有向線段把平面向量與方向量、法向量聯(lián)系在一起,溝通了平面向量與平面解析幾何.

(2)平面向量與平面幾何的聯(lián)系

利用平面向量的幾何表示與幾何運(yùn)算,是平面向量與平面幾何產(chǎn)生聯(lián)系的根本原因.

例7已知O,A,B是平面上的三個(gè)點(diǎn),直線AB上有一點(diǎn)C,滿足則=()

分析利用平面向量的幾何運(yùn)算,將平面向量與平面幾何聯(lián)系到一起,溝通了平面向量與平面幾何.

6.平面向量與物理的聯(lián)系

向量概念和運(yùn)算,都有明確的物理背景.當(dāng)向量與平面坐標(biāo)系結(jié)合以后,向量的運(yùn)算就可以完全轉(zhuǎn)化為“代數(shù)”的計(jì)算,這就為我們解決物理問(wèn)題帶來(lái)極大的方便.

例8如圖1,兩條繩子提一個(gè)重物,每條繩子用力5N,這時(shí)兩條強(qiáng)子的夾角為60°,則物體的重量G等于()

圖1

分析利用平面向量的幾何運(yùn)算,將平面向量與物理問(wèn)題聯(lián)系到一起,溝通了平面向量與平面物理.

通過(guò)研究平面向量與不同數(shù)學(xué)知識(shí)與物理的聯(lián)系,我理解了知識(shí)其實(shí)是相互聯(lián)系的,所以學(xué)習(xí)知識(shí)應(yīng)該“整體地學(xué),聯(lián)系地學(xué)”,才能真正理清知識(shí)結(jié)構(gòu),建立知識(shí)體系.

7.平面向量在生活的運(yùn)用

平面向量可以用來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中的許多問(wèn)題,從而使平面向量用到了生活中的方方面面.

例1以某市人民廣場(chǎng)的中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,x軸指向東,y軸指向北一個(gè)單位表示實(shí)際路程100米,一人步行從廣場(chǎng)入口處A(2,0)出發(fā),始終沿一個(gè)方向均速前進(jìn),6分鐘時(shí)路過(guò)少年宮C,10分鐘后到達(dá)科技館B(?3,5).求:(1)此人的位移向量;(2)此人行走的速度向量;(3)少年宮C點(diǎn)相對(duì)于廣場(chǎng)中心所處的位置.

分析(1)AB的坐標(biāo)等于它終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo),代入A,B坐標(biāo)可求;(2)習(xí)慣上單位取百米/小時(shí),故需先將時(shí)間換成小時(shí).而速度等于位移除以時(shí)間,由三角知識(shí)可求出坐標(biāo)表示的速度向量.(3)通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算及三角函數(shù)公式求解.

例2帆船是借助風(fēng)帆推動(dòng)船只在規(guī)定距離內(nèi)競(jìng)速的一項(xiàng)水上運(yùn)動(dòng).1900年第2屆奧運(yùn)會(huì)開(kāi)始列為正式比賽項(xiàng)目,帆船的最大動(dòng)力來(lái)源是”伯努利效應(yīng)”.如果一帆船所受”伯努利效應(yīng)”產(chǎn)生力的效果可使船向北偏東30°以速度20km/h行駛,而此時(shí)水的流向是正東,流速為20km/h.若不考慮其它因素,求帆船的速度與方向.

分析帆船水中行駛,受到兩個(gè)速度影響:伯努利效應(yīng)”產(chǎn)生力的效果為使船向北偏東30°,速度是20km/h,及水的流向是正東,流速為20km/h.這兩個(gè)速度的和就為帆船行駛的速度.根據(jù)題意,建立數(shù)學(xué)模型,運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題.

例3某同學(xué)購(gòu)買(mǎi)了x支A型筆,y支B型筆,A型筆的價(jià)格為m元,B型筆的價(jià)格為n元.把購(gòu)買(mǎi)a、b型筆的數(shù)量x、y構(gòu)成數(shù)量向量=(x,y),把價(jià)格m、n構(gòu)成價(jià)格向量=(m,n). 則向量與的數(shù)量積表示的意義是____.

分析此題根據(jù)購(gòu)賣(mài)A、B兩種型號(hào)的筆的數(shù)量與價(jià)格構(gòu)成了一個(gè)二元向量a,b.根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式可得=xm+ny.而xm表示購(gòu)買(mǎi)A型筆所用的錢(qián)數(shù);ny表示購(gòu)買(mǎi)B型筆所用的錢(qián)數(shù).所以向量的數(shù)量積表示的意義是購(gòu)買(mǎi)兩種筆所用的總錢(qián)數(shù).