基于CPFS結(jié)構(gòu)理論的導(dǎo)學(xué)案編寫*
——以“等差數(shù)列”為例

廣東省廣州市第十六中學(xué)(510080)　郭施敏

喻平教授提出一個數(shù)學(xué)概念C的所有等價定義的圖式,叫做概念C的概念域.一組具有數(shù)學(xué)抽象關(guān)系的概念網(wǎng)絡(luò)的圖式叫做概念系.與一個命題等價的命題集的圖式叫做這個命題的命題域.在一個命題集中,任意一個命題都至少與其它某一個命題有“推出”關(guān)系,就稱這個命題集的圖式為一個命題系.概念域、概念系、命題域、命題系(記為CPFS結(jié)構(gòu))是對數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的精確描述,它反應(yīng)了命題系數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特有的心理現(xiàn)象和規(guī)律.[1]

根據(jù)CPFS理論,概念教學(xué)的重要目標(biāo)是努力完善學(xué)生的概念域與概念系,乃至相關(guān)的命題域和命題系.這要求教師引導(dǎo)學(xué)生以所學(xué)的概念和命題為中心,自由聯(lián)想、深入推理,充分挖掘與之相關(guān)的概念及命題,凸顯、強化命題的演變過程,梳理、理解不同概念及命題之間的關(guān)系(注意上位、下位、并列和同位學(xué)習(xí)).[2]

《完善中學(xué)生CPFS結(jié)構(gòu)的生長教學(xué)策略研究》研究指出,變式教學(xué)促進學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中結(jié)點的穩(wěn)固和節(jié)點間關(guān)系的疏通,從而有利于學(xué)生形成良好的CPFS結(jié)構(gòu).實施變式教學(xué)有兩種策略:概念性變式策略和過程性變式策略.概念性變式教學(xué)策略,可構(gòu)建一個聚焦于學(xué)習(xí)對象關(guān)鍵方面的變異空間,讓學(xué)生體驗和理解概念的本質(zhì);過程性變式教學(xué)策略,通過鋪墊來建立合適的教學(xué)腳手架,幫助學(xué)生建立新舊知識的內(nèi)在合理聯(lián)系,促進學(xué)生在“最近發(fā)展區(qū)”的發(fā)展.“概念性變式”,目的在于幫助學(xué)生形成對學(xué)習(xí)對象本質(zhì)的多角度理解,而“過程性變式”,目的在于建立學(xué)習(xí)對象與學(xué)習(xí)者已有知識的內(nèi)在合理聯(lián)系.[3]

王麗芝在導(dǎo)學(xué)案的教學(xué)實驗研究中指出:導(dǎo)學(xué)案從不同的角度就可以得到不同的認(rèn)識,但都體現(xiàn)了對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的規(guī)劃,學(xué)習(xí)思路的梳理,學(xué)習(xí)方法的點撥,學(xué)習(xí)規(guī)律的總結(jié),訓(xùn)練樣題的設(shè)計.研究中所指的“學(xué)案”是由教師根據(jù)教學(xué)要求、學(xué)生的知識基礎(chǔ)、能力水平、學(xué)法特點和心理特征等,以課時和課題為單位設(shè)計的或在教師指導(dǎo)下由學(xué)生設(shè)計的培養(yǎng)創(chuàng)新意識、訓(xùn)練和發(fā)展學(xué)習(xí)能力的,供學(xué)生在整個學(xué)習(xí)過程使用的一種學(xué)習(xí)方案.[4]

一、教學(xué)思考

根據(jù)CPFS理論,等差數(shù)列概念的教學(xué)過程是幫助學(xué)生正確理解所學(xué)概念,通過深挖和拓展產(chǎn)生較豐富的概念域,最終達到在學(xué)生頭腦中建立清晰的概念系.而等差數(shù)列的通項公式為命題教學(xué).教師既引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、類比推理、邏輯推理等簡單的推理手段歸納等差數(shù)列的通項公式.通過公式的推導(dǎo)尋找到公式生長的根,認(rèn)識等差數(shù)列“首項a1,公差d及通項an”的關(guān)系,初次感受等差數(shù)列的基本量“a1、d”在等差數(shù)列中的重要作用;并由此推導(dǎo)等差數(shù)列通項公式的等價表達,形成命題域;多角度認(rèn)識等差數(shù)列的通項公式并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列與之相關(guān)的數(shù)學(xué)知識,理解它們之間的相互關(guān)系,形成命題系;還要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活應(yīng)用背景,把生活中的實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,并使用等差數(shù)列的相關(guān)知識解決它,以加深理解,強化概念系及命題系.

為此,筆者在教學(xué)中抓住等差概念的理解、等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)、變式、應(yīng)用四個環(huán)節(jié)以及數(shù)、形兩種表征,引導(dǎo)學(xué)生盡可能地發(fā)現(xiàn)與之相關(guān)的多種概念的等價說法,把“概念性變式”教學(xué)融入導(dǎo)學(xué)案的編寫中,幫助學(xué)生理解等差數(shù)列的概念,同時把“過程性變式”教學(xué)融入導(dǎo)學(xué)案的編寫中,幫助學(xué)生認(rèn)識等差數(shù)列通項公式的應(yīng)用,發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列公式與一次函數(shù)之間的聯(lián)系,并提出和解決一些相應(yīng)的問題.總的來說,在等差數(shù)列的概念及通項公式教學(xué)過程中,以導(dǎo)學(xué)案為載體,通過概念性變式教學(xué)和過程性變式教學(xué)的策略,幫助學(xué)生形成良好的CPFS結(jié)構(gòu).

二、教學(xué)過程

(一)等差數(shù)列概念多角度理解—“概念性變式”教學(xué)的導(dǎo)學(xué)案編寫

1.等差數(shù)列的定義文字?jǐn)⑹?一般地,如果一個數(shù)列,從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.這個常數(shù)叫等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示.

2.初步了解等差數(shù)列的概念–概念性變式練習(xí)A

判斷以下數(shù)列是否等差數(shù)列,如果是請求出公差.[5][6]

(1)0,0,0,0,···,(2)1,?1,1,?1,1,···

(3)?1,0,?2,?4,?6,···(4)9,5,1,?3,?7,···

(5)0.70,0.71,0.72,0.73,···(6)a,3a,5a,7a,9a,···

本例導(dǎo)學(xué)案的編寫目的:對等差數(shù)列概念性變式設(shè)計鋪設(shè)層次如下表:

題號________第（1）題第（2）題第（3）題________考查內(nèi)容每一項與前一項的差為0的數(shù)列也是等差數(shù)列.處理前一項的差與后一項的差不等的情況,對非等差數(shù)列的判斷方法.等差數(shù)列定義的關(guān)鍵字眼“從第二項起”.達到水平___明白d=0,認(rèn)識常數(shù)列時等差數(shù)列的特殊形式.學(xué)會判斷非等差數(shù)列.學(xué)會判斷非等差數(shù)列.題號________第（4）題__________________第（5）題___________________第（6）題________考查內(nèi)容每一項與前一項的差為小于0的常數(shù)的數(shù)列也是等差數(shù)列.______每一項與前一項的差為大于0的常數(shù)d,這里d為小數(shù),考查常數(shù)d所屬的數(shù)域沒有限制._____每一項與前一項的差為a,判定其為等差數(shù)列.考查公差d為字母的判斷.__達到水平認(rèn)識d＜0的等差數(shù)列.概括d的取值范圍.體會字母的穩(wěn)定性與字母的可變性,達到高層次的等差數(shù)列判斷水平.____

3.逐步建立等差數(shù)列概念域–概念性變式練習(xí)B組

(1)若{an}是公差為d的等差數(shù)列,請判斷{an+1}是否等差數(shù)列,若是,請求出公差;

(2)若{an}是公差為d的等差數(shù)列,請判斷{2an}是否等差數(shù)列,若是,請求出公差;

(3)若{an}是公差為d的等差數(shù)列,請判斷{λan+b}(λ,b為常數(shù))是否等差數(shù)列,若是,請求出公差;

(4)若{an},{bn}是公差為d1,d2的等差數(shù)列,請判斷{λ1an+λ2bn}(λ1,λ2為常數(shù))是否等差數(shù)列,若是,請求出公差;

(5)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,求證:{bn}也是等差數(shù)列.

(6)已知數(shù)列{an},a1=1,a2=a,an+2?an=4,請判斷{an}是否等差數(shù)列,若是,請求出公差.

4.延伸等差數(shù)列概念的深度–概念性變式練習(xí)C組

通過上述兩組變式練習(xí),學(xué)生產(chǎn)生對等差數(shù)列概念的多種等價說法:

①如果一個數(shù)列,從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列;

②a2?a1=d,a3?a2=d,a4?a3=d,···;

③an?an?1=d(n≥2,n∈N+);

④an+1?an=d(n∈N+);

⑤an+1?an=an?an?1(n≥2,n∈N+);

⑥an+1+an?1=2an(n≥2,n∈N+);

特別地當(dāng)數(shù)列{an}的遞推關(guān)系式為an+1?an=f(n)(n∈N+)時,該數(shù)列為非等差數(shù)列.

在本教學(xué)過程中的導(dǎo)學(xué)案編寫采用了“概念性變式”教學(xué)的方法,通過“概念性變式練習(xí)A組”和“概念性變式練習(xí)B組”兩組變式題目的練習(xí),學(xué)生學(xué)會從不同的側(cè)面或不同的角度刻畫等差數(shù)列的概念,形成對等差數(shù)列本質(zhì)多角度理解.等差數(shù)列概念的等價定義越多,說明等差數(shù)列的概念域越豐富,體現(xiàn)學(xué)生在頭腦中形成良好的概念域和概念系.

(二)等差數(shù)列的通項公式的導(dǎo)學(xué)案編寫

1.通過觀察、歸納、證明的方法獲得等差數(shù)列的通項公式.

(1)寫出首項是2,公差是5的等差數(shù)列的前五項并猜想其通項公式;

(2)寫出首項是a1,公差為d的等差數(shù)列的前五項并猜想其通項公式;

(3)請用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)方法證明(2)的結(jié)論.

2.等差數(shù)列通項公式的多角度理解—“概念性變式”教學(xué)

對等差數(shù)列通項公式的理解進行“,即從方程、函數(shù)、哲學(xué)等角度分析等差數(shù)列的通項公式.

(1)用方程眼光分析:等差數(shù)列的通項公式涉及到四個量a1、d、n、an,知三求一或通過知二求四;

(2)用函數(shù)的眼光分析:等差數(shù)列的通項公式涉及到四個量的取值范圍,其中的a1、d、an可取任意實數(shù),而n只可以取正整數(shù);

(3)用哲學(xué)的眼光分析:等差數(shù)列的通項公式涉及到四個量中的a1、d是等差數(shù)列的基本量,等差數(shù)列中任何一項均可表達為首項與公差的關(guān)系.

3.等差數(shù)列通項公式的綜合應(yīng)用—“過程性變式”教學(xué)的導(dǎo)學(xué)案編寫

3.1初步了解等差數(shù)列的通項公式,開始建立命題及命題域的關(guān)系–過程性變式練習(xí)A組

(1)已知等差數(shù)列11,8,5,2,···回答以下問題:

(I)寫出等差數(shù)列的首項,公差以及通項公式;

(II)求等差數(shù)列的第20項;

(III)?286是不是等差數(shù)列的項?如果是,是第幾項?

(2)已知等差數(shù)列的第10項為?17,第15項為?32,求此數(shù)列的通項公式.

(3)在等差數(shù)列{an}的前三項分別是a?1,2a+1,a+7,求an.

(4)某市出租車的記價標(biāo)準(zhǔn)為2.6元/km,起步價為10元,即最初的3km(不含3km)計費10元.如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地,且一路暢通,等待時間為0,需要支付多少車費?走多少路程以后,車費會超過30元?

_____________路程車費___0 k m-3 k____m 1 0元_____________4 k m 1 1.2元____________5 k m 1 2.4元_______________......______1__________4 k m?____

導(dǎo)學(xué)案的編寫目的:本組變式練習(xí)題目設(shè)計的說明:第(2)題采用兩種解法.

解法一:設(shè)此等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,依題意解得所以an=a1+(n?1)d=10+(n?1)(?3)=?3n+13.解法一使用了基本量法,運用方程的思想求解未知量,鞏固了等差數(shù)列通項公式的學(xué)習(xí).

除此之外還豐富了等差數(shù)列公差d的三種計算方法:

①d=an?an?1;②d=

第(3)題是對等差數(shù)列等差中項性質(zhì)的應(yīng)用,從更高層次理解項與項之間的關(guān)系,更是理解無形中的公差d.這是對等差數(shù)列概念的一次升華,也是對等差數(shù)列通項公式的一次靈活運用.

第(4)題來源于教材例題,通過把生活實例提煉建立合適的數(shù)學(xué)模型,再應(yīng)用等差數(shù)列的知識,強化學(xué)生對等差數(shù)列通項公式的理解,再一次讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的問題從生活中來又回饋于生活.

這是通過“過程性變式”拓展了等差數(shù)列通項公式的命題域,對等差數(shù)列的概念及通項公式的更深一層的理解.

3.2進一步理解等差數(shù)列的概念,靈活運用等差數(shù)列的通項公式,逐步建立命題域–過程性變式練習(xí)B組

(1)已知{an}中,a1=2an+1=2an?1,求a100的值;

(2)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=0且=1,求{an}的通項公式;

(3)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=求數(shù)列{an}的通項公式.

導(dǎo)學(xué)案編寫的目的:本題組是區(qū)別與3.1過程性變式練習(xí)A組,必須先進行等差數(shù)列的定義證明才能使用等差數(shù)列通項公式解決問題.強調(diào)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化問題,構(gòu)造新的等差數(shù)列,利用等差數(shù)列通項公式求解新的等差數(shù)列的通項公式,從而求數(shù)列{an}的通項公式.本題組幫助學(xué)生進一步理解等差數(shù)列的概念,靈活運用等差數(shù)列的通項公式,逐步建立等差數(shù)列通項公式相關(guān)的命題域.

3.3學(xué)生高層次運用等差數(shù)列的通項公式,延伸命題的深度–過程性變式練習(xí)C組

(1)在等差數(shù)列{an}中,已知a1=83,a4=98,則這個數(shù)列有多少項在300到500之間?[7]

(2)在等差數(shù)列{an}中,已知a1=?24,從第10項起開始為正數(shù),求公差的取值范圍.

(3)等差數(shù)列{an}中,a1=1,d=2,依次抽取這個數(shù)列的第2,4,6,···,2n項,組成數(shù)列{bn},求數(shù)列{bn}的通項公式;

(4)等差數(shù)列{an}中,a1=1,d=2,依次抽取這個數(shù)列的第 1,2,22,···,2n?1項,組成數(shù)列{bn},求數(shù)列{bn}的通項公式.[7]

導(dǎo)學(xué)案編寫的目的:本組變式練習(xí)題目設(shè)計第(1)題和第(2)題是與等差數(shù)列通項公式與不等式關(guān)系的綜合應(yīng)用.第(3)題和第(4)題是應(yīng)用結(jié)論:若{an}是公差為d的等差數(shù)列,則其子數(shù)列ak,ak+m,ak+2m,···(m∈N?)也成等差數(shù)列,且公差為md,寫出等差數(shù)列的子數(shù)列的通項公式.學(xué)生高層次運用等差數(shù)列的通項公式,延伸等差數(shù)列通項公式命題與命題域的深度.

3.4深刻理解等差數(shù)列的概念,熟練運用等差數(shù)列的通項公式,拓展命題域的寬度–過程性變式練習(xí)D組

(1)在等差數(shù)列{an}中,若a1+a4+a5+a6+a9=450,則a2+a8=____;

(2)在等差數(shù)列{an}中,若a3+a8=22,a6=7,則a5=____;

(3)在等差數(shù)列{an}中,若a3+a8=22,a6=7,則a1+a5+a11=___;

(4)在等差數(shù)列{an}中,若a1+a4+a7+a10=21,a2+a5+a8+a11=9則a3+a6+a9+a12=____;

(5)在等差數(shù)列{an}中,若a1+a2+a3+···+a9=13,a28+a29+a30+···+a36=73,則a10+a11+a12+···+a18=___;

(6){an},{bn}都是等差數(shù)列,a1=25,b1=75,a2+b2=100,則a37+b37=____;[7]

導(dǎo)學(xué)案編寫的目的:本組變式練習(xí)題目設(shè)計幫助學(xué)生深刻理解等差數(shù)列的概念,熟練運用等差數(shù)列的通項公式解決等差數(shù)列中某些項的求和問題,拓展命題域的寬度.

與本組題目相關(guān)的等差數(shù)列的性質(zhì)如下:

①等差數(shù)列{an}中,若m+n=p+q,其中m,n,p,q∈N?,則am+an=ap+aq(反之也成立);

②若m+n+r=p+q+s,其中m,n,r,p,q,s∈N?,則一定有am+an+ar=ap+aq+as;

③若{an}是公差為d的等差數(shù)列,則數(shù)列前m項的和Sm、緊接著m項的和S2m?Sm、再緊接著m項的和S3m?S2m···仍成等差數(shù)列,且公差為m2d,即等差數(shù)列的等長連續(xù)片斷的和組成等差數(shù)列;

④共有km項的有窮等差數(shù)列{an}中,a1+a1+k+a1+2k+···+a1+(m?1)k,a2+a2+k+a2+2k+···+a2+(m?1)k,···,ak+a2k+a3k+···+amk仍成等差數(shù)列,且公差為md;

⑤若{an}是公差為d的等差數(shù)列,則數(shù)列前m項的和Sm、緊接著m項的和S2m?Sm、再緊接著m項的和S3m?S2m···仍成等差數(shù)列,且公差為m2d,即等差數(shù)列的等長連續(xù)片斷的和組成等差數(shù)列.

⑥共有km項的有窮等差數(shù)列{an}中,a1+a1+k+a1+2k+···+a1+(m?1)k,a2+a2+k+a2+2k+···+a2+(m?1)k,···,ak+a2k+a3k+···+amk仍成等差數(shù)列,且公差為md.

3.5梳理等差數(shù)列通項公式與等差數(shù)列前n項和的關(guān)系,逐步建立命題系–過程性變式練習(xí)E組

(1)若{an}是有窮等差數(shù)列,則與首末兩項等距離的兩項之和都等于首末兩項之和,即a1+an=a2+an?1=···=ak+an?k+1=···;則其前n項和Sn=____=___=___;

(2)若等差數(shù)列有n項,前三項和為34,末三項和為146,所有項之和為390,求項數(shù)n;

(3)已知等差數(shù)列{an}中,d=求a1及n.

導(dǎo)學(xué)案編寫的目的:本組練習(xí)在D組練習(xí)基礎(chǔ)上繼續(xù)拓展到前n項和的應(yīng)用,對等差數(shù)列的知識起承上啟下的作用.構(gòu)建等差數(shù)列通項公式與等差數(shù)列前n項和的關(guān)系,逐步建立命題系.

3.6梳理等差數(shù)列通項公式、一次多項式和一次函數(shù)函數(shù)命題域間的關(guān)系,進一步完善命題系–過程性變式練習(xí)F組

(1)若數(shù)列{an}的通項公式是an=2n?3,判斷該數(shù)列是否等差數(shù)列,如果是,請求出公差;

(2)已知數(shù)列{an}的通項公式an=pn+q(p、q是常數(shù)),那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列?若是,請求出首項與公差;

(3)請作出an=2n?3與y=2x?3的圖像并進行比較.

(4)請說說等差數(shù)列an=pn+q與一次函數(shù)y=px+q之間的關(guān)系.

______________________________________________________________________等差數(shù)列一次函數(shù)形式an=a1+(n?1)d=d·n+(a1?d)__________________________________________________________(n∈N+)形如an=pn+qy=px+q_圖__________________________________________________像確定________________________________________________聯(lián)　_系_系數(shù)______________________________________________________________________________________________________________性質(zhì)

導(dǎo)學(xué)案編寫的目的:本題組把等差數(shù)列的通項公式、一次多項式、一次函數(shù),得到了等差數(shù)列的一種直觀判斷方法,并將等差數(shù)列知識與一次函數(shù)知識產(chǎn)生關(guān)聯(lián),對數(shù)列是一個特殊的函數(shù)作出更直觀的詮釋.這是梳理等差數(shù)列通項公式、一次多項式和一次函數(shù)函數(shù)命題域間的關(guān)系,進一步完善命題系,形成豐富而清晰的命題系.

三、教學(xué)反思

從概念性變式練習(xí)A組-C組到過程性變式練習(xí)A組-F組,“等差數(shù)列”導(dǎo)學(xué)案的第一部分編寫中,筆者運用“概念性變式”教學(xué)策略的手法引導(dǎo)學(xué)生從初步了解、逐步拓展到延伸豐富等三個層次,構(gòu)建等差數(shù)列的概念域與概念系.“等差數(shù)列”導(dǎo)學(xué)案的第二部分編寫中,筆者先運用“概念性變式”教學(xué)策略,從方程的角度、函數(shù)的角度、代數(shù)與圖形的角度等多維度構(gòu)建等差數(shù)列通項公式的命題域,再運用“過程性變式”教學(xué)策略,構(gòu)建出等差數(shù)列通項公式、等差數(shù)列通項公式的基本應(yīng)用、等差數(shù)列通項公式的靈活運用、等差數(shù)列的常用性質(zhì)、等差數(shù)列的前n項和、等差數(shù)列與一次多項式、一次函數(shù)的關(guān)系等命題域和命題系,就如幫助學(xué)生在腦海理編織一張豐富而清晰的等差數(shù)列知識大網(wǎng).最后,筆者讓學(xué)生課后以課上發(fā)現(xiàn)、呈現(xiàn)的知識與問題為基礎(chǔ),進一步聯(lián)想、推理、變化,以獲得更多的知識與問題.這樣,在“等差數(shù)列”的教學(xué)中,筆者幫助學(xué)生以等差數(shù)列的概念及通項公式為中心,建立了豐富而牢固的知識聯(lián)系,導(dǎo)學(xué)案的編寫中,通過“概念性變式”和“過程性變式”有效完善了學(xué)生的等差數(shù)列的概念域、概念系、命題域和命題系.筆者基于CPFS結(jié)構(gòu)理論進行的《等差數(shù)列》導(dǎo)學(xué)案編寫中,實現(xiàn)了“導(dǎo)之有方”,有效地提高了高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率.

[1]喻平.單墫《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論》[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2003(1).

[2]曹瑞彬.《CPFS結(jié)構(gòu)理論視域下的公式教學(xué)以“兩角和與差的正切公式”為例》[J].教育研究與評論《中學(xué)教育教學(xué)》,2016(2).

[3]鮑紅梅.《完善中學(xué)生CPFS結(jié)構(gòu)的生長教學(xué)策略研究》[D].南京師范大學(xué),2004年.

[4]王麗芝.在高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中使用學(xué)案的教學(xué)實驗研究[D].云南師范大學(xué),2011年.

[5]覃倩.小議等差數(shù)列定義的教學(xué)設(shè)計[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2010,(17):22-24.

[6]王曉穎.《等差數(shù)列》說課稿[J].考試周刊,2010,(30):76-77.

[7]薛金星.中學(xué)數(shù)學(xué)教材全解[M].北京教育出版社,2005:89-100.