推陳出新巧設(shè)置　簡約之中見思維

廣東省廣州市第一一三中學(xué)(510000)　余雪嬌

1　試題呈現(xiàn)

(廣州卷第23題)已知拋物線y1=?x2+mx+n,直線y2=kx+b,y1的對稱軸與y2交于點A(?1,5),點A與y1的頂點B的距離是4.

(1)求y1的解析式;

(2)若y2隨著x的增大而增大,且y1與y2都經(jīng)過x軸上的同一點,求y2的解析式.

2　特色解讀

2.1　題目簡潔而不簡單,凸顯核心知識和數(shù)學(xué)方法

本題位于第23題(全卷25題),是一道中等題.措詞干脆利落,不拖泥帶水,不繞圈,體現(xiàn)簡約的唯美.題型特征為求一次、二次函數(shù)的解析式,指向明確,給學(xué)生與親切感,體現(xiàn)命題者對學(xué)生的人文關(guān)懷.但區(qū)區(qū)59字(不含解析式)的題目卻融合函數(shù)的核心知識和初中階段的重要數(shù)學(xué)方法.是實實在在的函數(shù)題,有別于偽函數(shù).它考察了二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)、對稱軸;二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點;兩函數(shù)圖像的交點;函數(shù)圖像的性質(zhì);絕對值的性質(zhì);坐標(biāo)與線段的轉(zhuǎn)化;待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.還涉及到數(shù)形結(jié)合,分類討論思想,化歸思想.有機(jī)的將函數(shù)與方程(方程組)知識板塊相結(jié)合.涵蓋了多個主干知識,同時關(guān)注了知識間的縱橫聯(lián)系,從不同維度考察學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).可謂是小題目,大世界.

2.2　常規(guī)題小變化,求同存異有新意

求函數(shù)解析式是函數(shù)的常規(guī)題型.大部分題目是直接給定點坐標(biāo),然后代入求解.本題在常規(guī)中力求變化,在異中現(xiàn)新意.圍繞求解析式,在核心知識處巧妙設(shè)置條件“y1的對稱軸與y2交于點A(?1,5)”.由于對稱軸為直線根據(jù)交點的含義:點在圖像上,則滿足解析式,建立=1,求出m,找到解題的突破口.再由點A與y1頂點B的距離是4,利用點坐標(biāo)與線段的轉(zhuǎn)化關(guān)系,求出n,解決第(1)小問.題干的兩個條件與二次函數(shù)的對稱軸、頂點相關(guān)聯(lián),旨在考查學(xué)生運(yùn)用核心知識的能力.第(2)小問“y1與y2都經(jīng)過x軸上的同一點”這提法與題干“y1的對稱軸與y2交于點A(?1,5)”表面上看顯然不同,但本質(zhì)上是相同的,均是交點的問題.有些學(xué)生在審題上出錯,認(rèn)為是:恒過定點問題.只是提法上的一個變化,讓題目有了區(qū)分度,這不得不讓人嘆服.另外,直線與拋物線,拋物線(直線)與坐標(biāo)軸的這兩類交點問題,如果是獨(dú)立的考查,學(xué)生非常熟悉.而命題者卻將拋物線、直線、x軸的交點揉在一塊.這種變化需要學(xué)生具備分解題目的能力.首先確定是求y1與x軸的交點(兩個);其次判斷y2經(jīng)過y1與x軸的交點是沒有指定哪個點,所以就產(chǎn)生了分類;最后進(jìn)行選擇.能夠充分考察學(xué)生分析問、,化歸問題、解決問題的能力.一個常規(guī)題經(jīng)過小小的變化,就充滿濃濃的數(shù)學(xué)味,就能把學(xué)生綜合能力考察出來.獨(dú)具匠心!

2.3　不同解法,彰顯學(xué)生不同的思維品質(zhì)

解(1)由A(?1,5)在y1的對稱軸上,得m=?2,頂點B(?1,n+1)

思路(一)AB=4,得|1+n?5|=4解得n=8或n=0.

思路 (二)AB=4,A(?1,5)畫圖,所以B(?1,9)或B(?1,1),即1+n=9或1,解得n=8或0.

圖1

(2)解設(shè)y1與x軸交于點C、D(C在D的左側(cè))

思路(一)當(dāng)y1=?x2?2x時,解得C(?2,0),D(0,0)若y2過C點則,得y2=5x+10;若y2經(jīng)過D點,則得y2=?5x.因為y2隨著x的增大而增大,所以k＞0,所以y2=?5x不合題意,舍去.當(dāng)y1=?x2?2x+8時類似第一種情況求解,綜上y2=或y2=5x+10

思路 (二)當(dāng)y1=?x2?2x時,C(?2,0),D(0,0).因為y2隨著x的增大而增大,圖像由左至右上升,所以如圖得:y2經(jīng)過D點時不合題意舍去若y2經(jīng)過C點則所以y2=5x+10;當(dāng)y1=?x2?2x+8時類似第一種情況把草圖畫出求解綜上y2=或y2=5x+10

圖2

圖3

第(1)小問的解法一,抓住坐標(biāo)與線段的關(guān)系,用坐標(biāo)的絕對值表示線段,具有抽象思維特征,是思維較高層次活動的體現(xiàn).分類的標(biāo)準(zhǔn)是絕對值的性質(zhì),有效的避免漏解現(xiàn)象.解法二,通過畫圖,把B點坐標(biāo)具體化,體現(xiàn)幾何直觀、數(shù)形結(jié)合思想.其分類的標(biāo)準(zhǔn)是B在A的上方還是下方,即位置.式子簡單,運(yùn)算量少.同時考查思維的慎密性,若考慮不全面會漏掉其中一種情況.

第(2)小問解法一,把“y2隨x的增大而增大”轉(zhuǎn)化為k＞0(數(shù)),需要4次解方程組求出k值,才能判斷符合題意的解,過程繁瑣、運(yùn)算量大,耗時.解法二,直接轉(zhuǎn)化為圖像由左至右上升(形),畫出草圖,可舍去不合題意的情況,只需2次解方程組,優(yōu)化解法,提高解題效率,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的魅力.

不同的解法,體現(xiàn)學(xué)生不同的思維品質(zhì).不同思維層次的學(xué)生會有不同的表現(xiàn),凸顯思維品質(zhì)的考查.能用快捷、準(zhǔn)確的方法去完成任務(wù)的紅利是省時,為后面的壓軸題贏得時間,掙到主動權(quán).從某種意義上來說這題實現(xiàn)了選拔、區(qū)分的功能.

3　教學(xué)導(dǎo)向分析

3.1　關(guān)注教學(xué)過程,回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)

《課標(biāo)》在實施建議中提出:學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識,不能依賴死記硬背,而應(yīng)該理解為基礎(chǔ),教師應(yīng)該揭示知識的數(shù)學(xué)實質(zhì)及其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想等.在現(xiàn)實的教學(xué),教師容易重視結(jié)果而忽視數(shù)學(xué)思維活動過程,往往簡單的向?qū)W生介紹概念或定理,然后例題講解,再應(yīng)用.“一個定義,三項注意,幾道例題,大量練習(xí)”的模式,學(xué)生只會囫圇吞棗的記憶和生搬硬套的應(yīng)用.學(xué)生并沒有理解透徹知識的本質(zhì),談何靈活運(yùn)用?例如本題如果學(xué)生只會套用求解析式的模式:一設(shè),二代,三求解,根本就不管用;如果只會死記硬背“k大于零時,y隨x的增大而增大”充其量只會蒙個選擇題;如果只會列方程組求交點坐標(biāo),而不懂交點含義,就無法找到解題突破口.函數(shù)是初中階段的核心內(nèi)容,可以純代數(shù),也可與幾何相聯(lián)系,題型變化無窮.但本人認(rèn)為只要抓住本質(zhì),以不變應(yīng)萬變.在平面直角坐標(biāo)系中函數(shù)最核心的東西就是:坐標(biāo)與點的對應(yīng)關(guān)系.坐標(biāo)是數(shù),點是形,借數(shù)定形,由形導(dǎo)數(shù).這種轉(zhuǎn)化要達(dá)到爐火純青的程度,功在平時.例如研究一次函數(shù)的圖像性質(zhì),有些教師直接告訴學(xué)生:一次函數(shù)的圖像是條直線,然后再讓學(xué)生取兩個點畫圖像.這種直奔結(jié)論的教學(xué),學(xué)生是不可能領(lǐng)會數(shù)學(xué)知識的本質(zhì).學(xué)生只有經(jīng)歷列表、描點畫圖像才能明白自變量、函數(shù)值到有序?qū)Φ綀D像上的點相互依存:解析式?坐標(biāo)(x,y)?點?圖像.為了更好的理解,還可以設(shè)計如下的問題.

問題1:解析式確定,可以求圖像上的點的坐標(biāo)嗎?怎么求?

問題2:圖像上的點坐標(biāo)與解析式有何關(guān)系呢,知道了點坐標(biāo)可求解析式嗎?

學(xué)生在深刻理解函數(shù)中數(shù)與形的關(guān)系后,待定系數(shù)法求解析式;直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo);函數(shù)與方程的聯(lián)系等內(nèi)容就不費(fèi)吹灰之力.在此基礎(chǔ)上,增加一條直線,就有了兩條直線的交點坐標(biāo);函數(shù)與方程組的聯(lián)系;兩點間的距離與坐標(biāo)關(guān)系,圖形的周長與面積等.這種關(guān)注過程的教學(xué),讓學(xué)生洞悉本質(zhì),適當(dāng)?shù)恼辖滩膬?nèi)容,系統(tǒng)的、整體的、聯(lián)系的學(xué),可以培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性,廣闊性,靈活性,也可以提高學(xué)生的解題能力和應(yīng)變能力.本題的實質(zhì):無非就是兩點間的距離及線的交點的問題.掌握函數(shù)本質(zhì)內(nèi)容,就迎刃而解.而那種僅限于下結(jié)論,再套例題,最后歸納步驟的教學(xué).只會培養(yǎng)固定題型的熟練工,缺乏對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)思考,思維定勢,無法變通.

3.2　重視數(shù)形結(jié)合,培養(yǎng)學(xué)生畫圖能力

數(shù)形結(jié)合是中學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的思想之一.它是連接數(shù)學(xué)中具體問題與抽象問題間的紐帶.不僅可以開拓解題思路,而且使可一些數(shù)學(xué)問題變得簡單易懂.例如本題只要畫出草圖,就能直觀、準(zhǔn)確、快速地求解.現(xiàn)在很多學(xué)生懼怕無圖題.據(jù)近幾年中考(廣州市)得分統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)2014年平均分為歷史最低,原因是填空題,極少給出圖,嚴(yán)重影響到學(xué)生的答題時間和答題命中率.這種現(xiàn)狀當(dāng)然跟時下盛行的導(dǎo)學(xué)案有很大關(guān)系.導(dǎo)學(xué)案的圖已經(jīng)畫好,步驟設(shè)計好,學(xué)生一步一步的填空,被牽著鼻子走到了結(jié)論,充滿著偽探究.導(dǎo)學(xué)案極少有空白,極少有思考的空間.長久以往,學(xué)生只有被動的接受和簡單的模仿.不愿動腦不愿動筆畫圖,思維越來越僵化.習(xí)慣有圖的題目,結(jié)果是:對于幾何題目,圖感差,線條多時抽不出有用的圖形;圖形少就不會補(bǔ).對于代數(shù)來說,憑空亂寫一通,無法找到切入點.平時教學(xué)中教師有意識地抹去圖或設(shè)計一些動態(tài)問題,引起圖形變化,要求學(xué)生先畫圖再解決問題.例如:直角坐標(biāo)系中,點O是坐標(biāo)原點,四邊形OABC是矩形,點A、C的坐標(biāo)分別為(3,0),(0,1),點D是線段BC上的動點(與端點B、C不重合),過點D作直線y=?x+b交折線OAB于點E.記△ODE的面積為S,求S與b的函數(shù)關(guān)系式.

教學(xué)中只有不斷滲透數(shù)形結(jié)合才能提高學(xué)生的畫圖意識.只有平時讓學(xué)生多在草稿紙上反復(fù)勾勒,不斷比較、深入思考,才能提高作圖能力.才能消除無圖帶來的不適感;才能借助圖形,避繁就簡,找到好的解題思路.數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過:數(shù)形結(jié)合百般好,割裂分家萬事休.