具變號(hào)非線性項(xiàng)三階多點(diǎn)邊值問題的正解與多個(gè)正解

沈春芳,楊 劉,解大鵬

(合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,安徽合肥 230601)

1　引言

本文研究如下三階常微分方程m點(diǎn)邊值問題

(H)f∈C([0,1]×[0,+∞),(?∞,+∞)),f(t,0)≥0,t∈[0,1]且不恒為0.

三階常微分方程邊值問題廣泛出現(xiàn)在流體力學(xué)、天文學(xué)、彈性振動(dòng)等問題中[1],對(duì)相關(guān)問題正解的研究近年來受到人們廣泛的關(guān)注.利用非線性泛函分析方法,對(duì)三階微分方程邊值問題正解與多個(gè)正解的存在性的研究取得了豐富的結(jié)果,可參考文獻(xiàn)[2–12].Anderson[2]研究如下三階三點(diǎn)邊值問題

其中f:R→ [0,+∞)連續(xù),1/2≤t2＜1,文中建立了問題至少三個(gè)正解的存在性結(jié)果.Palamides[3]利用范數(shù)形式的錐拉伸錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理,證明了三階三點(diǎn)邊值問題

多個(gè)正解的存在性.Guo[5]利用錐上不動(dòng)點(diǎn)定理證明了三階三點(diǎn)邊值問題

正解的存在性,其中f非負(fù)且滿足超線性或次線性條件.但在這些文獻(xiàn)中,均要求問題中非線性項(xiàng)非負(fù),非線性項(xiàng)變號(hào)時(shí),所得結(jié)論不再適用.目前,對(duì)具變號(hào)非線性項(xiàng)的三階常微分方程多點(diǎn)邊值問題正解的討論比較少見.本文首先建立與問題(1.1)等價(jià)的算子方程,利用錐上不動(dòng)點(diǎn)定理,給出了問題(1.1)正解與多個(gè)正解的存在性結(jié)論.文中允許非線性項(xiàng)變號(hào),因此所得結(jié)果不同于已有文獻(xiàn).最后,文中給出了具體的例子解釋了結(jié)論的應(yīng)用性.

2　預(yù)備知識(shí)

定義2.1設(shè)E為實(shí)Banach空間.非空閉凸集P?E稱為E上的錐,如果滿足

(1)au∈P,對(duì)u∈P,a≥0;

(2)u,?u∈P,u=0.

定義2.2函數(shù)x稱為[0,1]上的凸泛函,如果

引理2.1(見文獻(xiàn)[14])設(shè)K是Banach空間X上的錐,D為X上有界開子集,滿足設(shè)全連續(xù)且x/=Ax對(duì)x∈?DK,有如果iK(A,DK)=1,iK(A,UK)=0或iK(A,DK)=0,iK(A,UK)=1,則A在

(1) 如果‖Ax‖≤ ‖x‖,x∈ ?DK,則iK(A,DK)=1.

(2)若存在e∈K{0}使得x/=Ax+λe,x∈?DK,λ＞0,則iK(A,DK)=0.

(3)設(shè)U是X中有界開集中至少有一不動(dòng)點(diǎn).

3　主要結(jié)果與證明

首先考慮三階微分方程邊值問題

引理3.1記ξ0=0,ξm?1=1,β0= βm?1=0,y(t)∈ C[0,1],問題(3.1),(3.2)等價(jià)于

其中

證(3.1)式兩側(cè)積分并考慮條件x′′(1)=0,有

設(shè)G(t,s)是邊值問題

的Green函數(shù),由(3.4)式,可設(shè)由Green函數(shù)定義及性質(zhì),結(jié)合邊值條件(3.5),有

這樣

考慮(3.3)式,問題(3.1),(3.2)等價(jià)于

引理3.2函數(shù)G(t,s)滿足G(t,s)≥0,t,s∈[0,1].

證對(duì) ξi?1≤ s ≤ ξi,i=1,2, ···,m ?1,t≤ s,

對(duì) ξi?1≤ s ≤ ξi,i=1,2, ···,m?1,t≥ s,

綜上,G(t,s)≥0,t,s∈[0,1].

引理3.3設(shè)y(t)≥0,t∈[0,1],x(t)是邊值問題(3.1),(3.2)的解,則有

其中

證由 x′′′(t)=y(t) ≥ 0,t ∈ [0,1]知 x′′(t) 在 [0,1]上單調(diào)遞增.考慮到 x′′(1)=0,有x′′(t)≤ 0,t∈ (0,1). 結(jié)合 x′(0)=0,必有

由x(t)的凸性,

上式兩端乘以βi,i=1,2,···,m?1,結(jié)合邊值條件,有

定義

引理3.4?ρ具有如下性質(zhì):

(1)?ρ?Kρ是Kρ中開集.

(2)設(shè)x∈ ??ρ,則δρ≤ x(t)≤ρ,t∈[0,1].

記

定理3.1假定條件(H)成立.此外,若條件(H1)成立:

(H1) 存在正常數(shù)ρ1,ρ2,ρ3∈ (0,∞)滿足ρ1＜ δρ2＜ ρ2＜ ρ3使得

則問題(1.1)在K 中至少有三個(gè)解.假定條件(H)成立.此外,若條件(H2)成立:

(H2)存在正常數(shù)ρ1,ρ2,ρ3∈(0,∞)滿足ρ1＜ρ2＜ρ3使得

則問題(1.1)在K中至少有兩個(gè)解.

證 首先設(shè)條件(H1)成立.定義輔助函數(shù)f?(t,x)∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)):

考慮如下輔助邊值問題

定義算子

顯然T:K→K是全連續(xù)的.由條件(H1),有

這表明ρ2≥ρ2+λ0,矛盾.由引理2.1,iK(T,?ρ2)=0.同理可證這樣,輔助邊值問題存在三個(gè)正解x1,x2,x3使得

易驗(yàn)證輔助邊值問題(?)在[ρ1φ(t),∞)中存在三個(gè)正解x1,x2,x3,這說明邊值問題(1.1)存在至少三個(gè)正解.條件(H2)成立時(shí),正解的存在性同理可證.完全類似定理3.1,可證得如下結(jié)論.

定理3.2設(shè)條件(H)成立.此外,下列條件之一成立:

(H3)存在正常數(shù)ρ1,ρ2∈(0,∞)滿足ρ1＜δρ2使得

(H4)存在正常數(shù)ρ1,ρ2∈(0,∞)滿足ρ1＜ρ2使得

則邊值問題(1.1)在K中至少有一正解.

4　例子

考慮如下三階四點(diǎn)邊值問題

其中

計(jì)算可得函數(shù)G(t,s)由下式給出

取 ρ1=1,ρ2=11, ρ3=122,有易驗(yàn)證f(t,x)滿足條件(H)和

這樣定理3.1的所有條件均滿足,因此,問題(4.1)至少存在三個(gè)單調(diào)遞增的凸正解.

注 問題(4.1)中非線性項(xiàng)是變號(hào)的,已有文獻(xiàn)中對(duì)三階邊值問題正解存在性的討論,就作者所知,均無法適用此問題.

[1]Gregus M.Third order linear differential equations[J].Math.Appl.,Reidel,Dordrecht,1987,11(3):919–944.

[2]Anderson D R.Multiple positive solutions for a three-point boundary value problem[J].Math.Comput.Model.,1998,27(6):49–57.

[3]Palamides P,George Smyrlis.Positive solutions to a singular third-order three-point boundary value problem with an indefinitely signed Green’s function[J].Nonl.Anal.,2008,68:2104–2118.

[4]Guo D,Lakshmikantham V.Nonlinear problems in abstract cones[M].New York:Academic Press,1988.

[5]Guo L,Sun J,Zhao Y.Existence of positive solutions for nonlinear third-order three-point boundary value problems[J].Nonl.Anal.,2008,68:3151–3158.

[6]Hopkins B,Kosmatov N.Third-order boundary value problems with sign-changing solutions[J].Nonl.Ana.,2007,67:126–137.

[7]Chu J,Zhou Z.Positive solutions for singular non-linear third-order periodic boundary value problems[J].Nonl.Ana.,2006,64:1528–1542.

[8]Graef J,Kong L.Positive solutions for third order semipositone boundary value problems[J].Appl.Math.Lett.,2009:22:1154–1160.

[9]Lin X,Du Z,Liu W.Uniqueness and existence results for a third-order nonlinear multi-point boundary value problem[J].Appl.Math.Comput.,2008,205:187–196.

[10]Minghe P,Chang S.Existence and uniqueness of solutions for third-order nonlinear boundary value problems[J].J.Math.Anal.Appl.,2007,327:23–35.

[11]Li S.Positive solutions of nonlinear singular third-order two-point boundary value problem[J].J.Math.Anal.Appl.,2006,323:413–425.

[12]Yao Q.Positive solution for a semi-linear third-order two-point boundary value problem[J].Appl.Math.Lett.,2004,17:1171–1175.

[13]Ji D,Feng M,Ge W.Multiple positive solutions for multipoint boundary value problems with sign changing nonlinearity[J].Appl.Math.Comput.,2008,196:511–520.

[14]Lan K Q.Multiple positive solutions of semi-linear differential equations with singularities[J].J.London Math.Soc.,2001,63:690–704.