非線性退化拋物變分不等式問題解的存在性和唯一性

李志廣,康淑瑰

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西大同 037009)

1　引言

期權(quán)定價是金融數(shù)學(xué)的重要研究內(nèi)容[1,2],變分不等式則在美式期權(quán)定價理論中起著至關(guān)重要的作用,美式期權(quán)定價問題最終都?xì)w結(jié)為一個拋物變分不等式問題(見文獻(xiàn)[3–6]).在美式期權(quán)定價和分期付款模型中構(gòu)成變分不等式的拋物微分算子完全是線性的(算子的系數(shù)是常數(shù)),其解的存在性和唯一性都得到了廣泛的研究.后來,人們在研究Levy模型下的美式期權(quán)定價時,發(fā)現(xiàn)構(gòu)成變分不等式的微分算子不可能是常系數(shù)的(見文獻(xiàn)[7]).近些年來,已有文獻(xiàn)在擬線性微分算子的基礎(chǔ)上開展上述工作.文獻(xiàn)[8,9]利用有限元逼近方法研究了擬線性算子情形下拋物變分不等式解的存在性和唯一性和范數(shù)下的誤差估計.文獻(xiàn)[10]研究了一類混合邊界條件下的變分不等式問題,提出了一種新的離散格式,得到了解的存在性和唯一性.

到目前有關(guān)退化拋物算子情形下的變分不等式問題還未見文獻(xiàn),本文在推廣的Lp(x)(?)空間和Sobolev空間W1,p(x)(?)上研究了一類基于退化拋物算子的變分不等式問題.采用懲罰方法給出了其弱解的存在性和唯一性.為了克服退化拋物算子帶來的困難,本文提供了一種新的構(gòu)造方法.

本文在柱體?T考慮如下退化拋物變分不等式的初邊值問題

其中?是RN上的有界集,?T=?×[0,T],T＞0,L是退化拋物算子滿足

p(x)為?上的可測函數(shù),γ∈(0,1),σ∈[1,1+γ),初值條件滿足

2　預(yù)備知識

為證明主要結(jié)論,需要用到如下有關(guān)推廣Lp(x)(?)空間和W1,p(x)(?)空間方面的理論,見文獻(xiàn)[11,12].設(shè)

引理2.1(1)Lp(x)(?)和W1,p(x)(?)是自反Banach空間.

(2)假設(shè)p1(x)和p2(x)是? 上的可測函數(shù)滿足p1(x)?1+p2(x)?1=1,p1(x)＞ 1,則?u ∈ Lp1(x)(?),v ∈ Lp2(x)(?),有

(3)若 |u|Lp1(x)(?)=1,則若 |u|Lp1(x)(?)＞ 1,則

若 |u|Lp1(x)(?)≤ 1,則

(4)如果 p1(x)≤ p2(x),則 Lp1(x)(?)? Lp2(x)(?).

引理2.2如果p(x)∈C(),則存在正常數(shù)C使得

引理 2.3設(shè)常數(shù),則

其中C是僅依賴p(x)的正常數(shù).

引理2.4設(shè)u1和u2滿足

若?x∈? 有u2(x,0)≥u1(x,0);?(x,t)∈??×(0,T)有u2(x,t)≥u1(x,t),則

引理2.5若Lu1+f(x,t,u1)≤Lu2+f(x,t,u2),?(x,t)∈?T,則引理2.4中結(jié)論依然成立,其中f(x,t,u)關(guān)于u單調(diào)非降.

定義單調(diào)極大算子

且令集合

定義2.1稱(u,ξ)∈B×L∞(?T)為拋物變分不等式(1)–(3)的弱解,若

3　主要結(jié)論

考慮如下懲罰問題

其中懲罰函數(shù)βε(·)滿足(見圖3.1)

圖3.1:β0.2

圖3.2:β0.1和β0.2

此外由圖3.2,可得當(dāng)ε1≤ε2時,對任意的t∈[0,ε2],

根據(jù)懲罰函數(shù) βε(·) 的定義

因此當(dāng)ε→0時可以用βε(·)控制不等式.下面給出非線性拋物問題(4)–(6)的弱解定義.

定義3.1稱非負(fù)函數(shù)uε為非線性拋物問題(4)–(6)的弱解,如果

文獻(xiàn)[12]利用半離散差分格式證明了非線性拋物方程(4)–(6)存在定義3.1意義下的弱解.本節(jié)將在非線性拋物方程(4)–(6)的基礎(chǔ)之上,考察變分不等式的弱解問題.在此之前,先給出幾個有用的引理.

引理3.1設(shè)ε,ε1和ε2為正常數(shù)滿足ε∈(0,1),0＜ε1≤ε2＜1,則

證首先證明uε≥u0.考慮公式(4),即

令t=0可得

易見u0ε和uε在拋物邊界上相等,因此聯(lián)立公式(12)和(13)并利用引理2.4,有

其次證明uε≤|u0|∞+ε.注意到|u0|∞+ε為常數(shù),并且

又因為

所以利用引理2.5可知uε≤|u0|∞+ε,?(x,t)∈?T.

最后證明公式(11)成立.因為

進(jìn)一步利用公式(8)可得

聯(lián)立初邊值條件,并利用引理2.5可得結(jié)論成立.

引理3.2對任意的α∈[0,1?γ),非線性拋物方程(4)–(6)的解滿足

其中C為不依賴ε的非負(fù)常數(shù).

證注意2(μ?1)=γ?σ,在公式(4)邊乘以并在?T上的積分,有

由Cauchy不等式,Holder不等式以及公式(10),可得

從而利用引理2.1(3)以及引理3.1可得

又因為2(μ?1)=γ?σ,利用引理3.1可得

聯(lián)立公式(16)和公式(17)可得公式(14)成立.

其中ν表示曲面??的外側(cè)法向量.進(jìn)一步聯(lián)立公式(7)和公式(10)有

又因為 uε≥ ε,所以這意味著

將公式(19)和公式(20)代入公式(18)可得

進(jìn)一步利用分步積分,有

注意1?α?γ＞0,1?α＞0.將上式代入公式(21)即可得到

其中C是僅依賴α、γ、?和|u0|∞的常數(shù).

引理3.1和引理3.2意味著,對任意的ε∈(0,1)存在子列{uε}(仍記為{uε})以及函數(shù)u∈ L∞(?T),使得

通過下面的引理(引理3.3),還可以得到

引理 3.3設(shè)則

證在公式(4)中選擇可得

利用公式(24)以及罰函數(shù)βε(·)的定義,

注意γ?p?+1＜0,將公式(30)和公式(31)代入公式(29),有

又因為ε≤uε≤|u0|∞+1,所以利用三角不等式可得

利用公式(10)和公式(14),并利用Holder不等式可得

這意味著

此外由公式(22)和公式(23)有

將公式(34)和公式(35)代入公式(33),有

進(jìn)一步利用引理2.3可得

因此利用公式

從而令ε→0可得

因此公式(27)和公式(28)成立.進(jìn)一步利用公式(27)和公式(28),公式(26)亦是成立的.

引理3.4當(dāng)ε→0時有

證設(shè)χη和分別是集合{(x,t)∈?T;u(x,t)＜η}和{(x,t)∈?T;uε(x,t)＜η}的特征函數(shù).顯然利用三角不等式,有

取α=(1?γ)/2,利用引理3.2,可得

利用引理3.3和公式(40),當(dāng)η→0時,

從而將公式(40)–(43)代入公式(39),并令η→0可得

因此再由公式(22)可得公式(36)成立.

下面證明公式(37)成立.利用三角不等式,可得

再由Holder不等式和引理2.6,當(dāng)ε→0時,

再次利用Holder不等式同樣有

利用引理2.1和公式(26),當(dāng)ε足夠小時,

此時當(dāng)ε→0時,

下面估計H6.再次利用三角不等式,當(dāng)ε足夠小時,

因此將公式(14)和(25)代入公式(47),可得

從而,聯(lián)立公式(44),(45)和(48)可得(37)成立.

最后證明公式(38).利用公式(7)和(10),可見

由極限的保號性,易得

根據(jù)G(·)的定義,若證明公式(38)只需證明:當(dāng)u(x0,t0)＞ u0(x0)時,ξ(x0,t0)=0.事實上,當(dāng)u(x0,t0)＞u0(x)時,存在常數(shù)λ＞0和鄰域Bδ(x0,t0),當(dāng)ε足夠小時,

當(dāng) ε足夠小時,?(x,t)∈ Bδ(x0,t0),0≥ βε(uε?u0)≥ βε(λ)=0.因此當(dāng) ε→ 0 時,

公式(38)得證.

引理3.4意味著ξ(x,t)=0和u(x,t)＞u0(x)等價,ξ(x,t)＞0和u(x,t)=u0(x)等價.據(jù)此,我們給出本文的主要結(jié)果.

定理3.1設(shè)γ∈(0,1),則拋物變分不等式(1)–(3)存在唯一的弱解滿足

證首先證明解的存在性.由公式(25)和公式(38)可知定義2.1之條件(a)和條件(c)成立,在公式(5)中令ε→0易知定義2.1之條件(b)亦成立.由引理3.4和公式(22)可知定義2.1中等式(d)也成立.最后證明定義2.1中條件(e)成立.定義

利用Holder不等式,有

故由公式(14)可得

其中C是不依賴ε的正常數(shù).進(jìn)一步利用三角不等式又有

先令ε→0,可得

由公式(51),再令t→0,又有

因此,解的存在性得證.

下面證明解的唯一性.假設(shè)(u1,ξ1)和(u2,ξ2)是拋物變分不等式(1)–(3)的兩個解,令

并定義

則由定義2.1可得

上述兩個公式相減可得

下面證明

當(dāng)u1(x,t)＞u2(x,t)時,u1(x,t)＞u0(x),并且此時ξ1=0＜ξ2.故

當(dāng)u1(x,t)≤u2(x,t)時,u1(x,t)≤u2(x,t),易得

因此對任意的(u1,ξ1)和(u2,ξ2)總有

故公式(54)成立.

下面證明

注意當(dāng)a,b,c1和c2為正常數(shù)時,在[0,∞)上是單調(diào)函數(shù),故

其中

故對任意的(x,t)∈?T有u1≤u2.同理亦可證明任意的(x,t)∈?T有u1≥u2.故解的唯一性成立.

[1]莊乾乾,程希駿,李靜.基于Fourier變換的裂解價差期權(quán)定價[J].數(shù)學(xué)雜志,2016,36(4):841–850.

[2]李志廣,康淑瑰.混合分?jǐn)?shù)布朗運動環(huán)境下短期利率服從vasicek模型的歐式期權(quán)定價[J].數(shù)學(xué)雜志,2016,36(3):641–648.

[3]Chen X,Yi F,Wang L.American lookback option with fixed strike price 2-D parabolic variational inequality[J].J.Diff.Equ.,2011,251(1):3063–3089.

[4]Zhou Y,Yi F.A free boundary problem arising from pricing convertible bond[J].Appl.Anal.,2010,89(1):307–323.

[5]Chen X,Yi F.Parabolic variational inequality with parameter and gradient constraints[J].J.Math.Anal.Appl.,2012,385(1):928–946.

[6]Zhou Y,Yi F.A variational inequality arising from American installment call options pricing[J].J.Math.Anal.Appl.,2009,357(1):54–68.

[7]Maria C M,Indranil S.Solutions to an integro-differential parabolic problem arising in the pricing of financial options in a L é vy market[J].Nonl.Anal.:Real World Appl.,2011,12(6):3103–3113.

[8]Boulaaras S,Haiour M.Overlapping domain decomposition methods for elliptic quasi-variational inequalities related to impulse control problem with mixed boundary conditions[J].Proc.Indian Acad.Sci.-Math.Sci.,2011,121(2):481–493.

[9]Boulaaras S,Haiour M.L∞-asymptotic bhavior for a finite element approximation in parabolic quasi-variational inequalities related to impulse control problem[J].Appl.Math.Comp.,2011,217(1):6443–6450.

[10]Boulaaras S,Haiour M.The finite element approximation in parabolic quasi-variational inequalities related to impulse control problem with mixed boundary conditions[J].J.Taibah Univ.Sci.,2013,7(1):105–113.

[11]Dibenedetto E.Degenerate parabolic equations[M].New York:Springer-Verlag,2010.

[12]Lian S,Gao W.Existence of solutions to an initial Dirichlet problem of evolutional-Laplace equations[J].Ann.l’Institut Henri Poincare(C)Nonl.Anal.,2012,29(2):863–886.